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本当に目の付け所が凄い。大先輩が挑んだ大正時代の入試問題、良く入手出来ましたね。しかも、最新の知識であえて、板書という当時の全アナログ手法で解決。あなたが、タイムスリップしたら、当時の学者達から講師の依頼が相次ぐことでしょう。
旅順工科大学は1922年度(T11年)発足、最初の入学試験は大正12年なので、動画の上帯は昭和7年の間違いかと存じます。
あらほんとですね💦昭和 7 年の間違いでした。ご指摘ありがとうございます！
初回は√(x^2 + 1)をyと1/yを使って表せるという事に気付けずに詰みました代わりに邪道なんですけど x = isinθ とおいて整理すると1/3 exp( 3iθ/2 ) - exp( -iθ/2 )が解となり、また、 exp( iθ/2 ) は被積分関数と等しいので、これをtとおくと、 1/3 t^3 - 1/t が解となります天下り的にこれを微分するとtになる事を言えば、一応高校数学を逸脱しない答案になります…(ちなみに √(x + √(x^2 + 1)) について考えてます)
類題を解いてみました．x+root(1+x²)=t(t>0)とおくと,x=(1/2)(t-1/t)……①であることから,root(1+x²)=(1/2)(t+1/t) また,①よりdx=(1/2)(1+1/t²)dtよって，∫[0,1]root(1+x²)dx=∫[1,1+root(2)](1/2)(t+1/t)•(1/2)(1+1/t²)dt=∫[1,1+root(2)](1/4)(t+2/t+t⁻³)dt=(1/4)[(1/2)t²+2log(t)-(1/2)t⁻²][1,1+root(2)]=(1/4){(1/2)(3+2root(2))+2log(1+root(2))-(1/2)•(1/(3+2root(2)))-1/2+1/2}=(1/4){(1/2)(3+2root(2))+2log(1+root(2))-(1/2)•(3-2root(2))}=(1/4)(2root(2)+2log(1+root(2))=(1/2)root(2)+(1/2)log(1+root(2))
正解です！素晴らしい🎉
root（ｘ＊x+2）=y-xなので右辺のxにyを代入すれば即決です。
類題ノ結果ハ、√2/2+1/2log(1+√2)デセウカ。
正解です！🎉
塾終わりの電車内で見ています。x＋√x²＋a系列のこの置換はよく見ますね
そうですね！大学入試で出題されるときは（さすがに）誘導つきかつ定積分のことが多いですが，覚えておいて損はないでしょう。
x=√2sinhtで置換しようと思ったけど計算が面倒くさくてできなかった。
後半のやり方でやりました。どういう時に全体を丸々置換すると上手くいくのかはよく分かってないのですが、チマチマ置換しても上手くいかない時に、全体を丸々置換すると上手くいく事があるという事自体は知ってるので、一か八かやってみたら出来ました。最後の書き方をどういう形にするのがベストかは悩み所ですね。zの式を通分しないまま、zを代入しちゃいました。宿題の問題は、動画の誘導のやり方とx＝sinh tで置換するやり方と二通りの解き方で解いてみましたが、sinhを使う方が必ずしも簡単というワケでもないですね。不定積分ならsinhの置換の方が楽ですが、定積分だと代入する値の処理が多少めんどくさいので、動画の誘導の方がその点は楽だったりしますね。
根号を含む積分では，根号部分を文字でおくと積分が実行可能になるケースがありますが，今回もその一例といえますね。（もちろん，x + √(x^2 + a) の形があるおかげだとも思いますが。）置換積分をすることで，被積分関数の数学的な性質が見えてくることがありますが，sinh による置換はその代表例です。ただ，仰る通り定積分だと（特に 0 → 1 など見た目がシンプルな区間では）置換後の積分区間が面倒な形になります。定積分の場合，▶︎ 元の変数の世界では積分区間が綺麗▶︎ だけど元の変数では積分方法が見つからないという場合に置換をすることが多いわけですから，置換後の変数の世界では▶︎ 積分区間が複雑になりがち▶︎ でも積分は実行できる状態になるわけですね。
みなさん，こんばんは！今回は，二重根号を含む不定積分の問題です。数学III の積分を学習したばかりの人だとなかなか手が出ないと思いますが，x + √(x^2 + a) の形に着目し，それをそのまま文字でおくのがポイントです。また，動画の後半では被積分関数全体を文字でおくという方法もあります。そんなのでうまくいくのか，という気もしますが，実はうまくいくというのが面白いところですね。一見面倒な形をしていますが，大胆な置換により解決する積分でした。★訂正問題とは直接関係ありませんが，画面右上に表示されている年度の大正 7 年は誤りで，昭和 7 年が正しいです。ごめんなさい！ご指摘くださった方，ありがとうございます。
戦前の大学の出題範囲は分かりませんが、被積分関数 = √(x/2+i/√2) + √(x/2-i/√2)と二重根号を外すやり方もありそうですね。実用性は謎ですがよりシンプルな結果になります。
被積分関数をまるごとfと置き、(fx)' = f^2 f' + f/2 = (f^3/3)' + f/2となることから、f = ( 2f (x - f^3/3) )'ということが分かり答えが求まりました。
コメントありがとうございます。f というのは何を指しているのでしょうか？
すみません、間違えてました。コメント編集しました。
おーなるほど！ありがとうございます😊
敗戦と共にソ連に摂取されて廃校になった学校ですね。このシリーズ、そのうち台北帝国大学（現：国立台湾大学）の問題もやるのかな？
問題がなかなか見つからないのですが，見つかったら扱うかもしれません！
教師全員帰国かもしれん、校址はいま歴史博物館のようにおるそれに、台湾大学はその前により弱くなりました
すごい、外人かつ文系の自分でもハマってしまった(笑)
それは嬉しいです！ありがとうございます。
現役時代この手の丸ごと置換してうまくいくタイプのやつ、とにかく楽したい一心でここでいうと非積分関数をzでおいたあとx=の式にしてこれをzで微分してdx=〇dzって表すやり方で解きがちでしたね
先に x = (zの式) にしてから両辺を z で微分した方が，手順としてはわかりやすいかもしれませんね！
xと√(x^2+a)を比較するとa=0のときに絶対値が同じになるので正負を判定しやすいですよね。積分の問題は特徴的な式を覚えていて，それに置換して，あとはなんかガチャガチャしとけば解けるだろっていう感覚でいつもできてしまいます。周りの人にすげーとか頭いいなとか言われるんですが…本当は大したことはしてないのになと思います。複雑です。
数をこなせば，定番のやり方とか，「こういうのはどうせこう置換すれば積分できる」「とりあえず有理関数にすればなんとかなる」みたいな考え方が身につくので，大学入試レベル＋αくらいなら大体の問題に対処できるようになりますよね。なんだかんだ，積分では場数が大事だと思います。
そろそろ最近の問題やってほしい!
コメントありがとうございます！今後の動画作りの参考にします。
旅顺工科大学，还有大连理工大学
よく分からないけど、当時の難関校なんでしょうね。
今でいう海外にあった大学ですが，工科大学ということもあり，軍事産業にも貢献していた重要な大学だったのかもしれません。（詳しく調べたわけではないです。）
えー全く手が出ませんでしたあざす
だいぶ難易度高いですよね。
上品な方や
ありがとうございます😌
好家伙 居然还有旅顺工科大学 这难度不低
おーそうなんですね！普段は日本の大学の数学入試問題を解説しているのですが，旅順工科大学は（当時は）日本の大学だったということで，ピックアップしました。
@@884 コンテンツは面白いと思います。楽しく見ました。当時の日本の教育レベルがすごいですね。
ありがとうございます✨
おーそうだったんですねー
解くのは面白そうだけど、答えが汚い。不安になる。
まさか旅順工科大學なんて…中国の土地で何をやっていたんだろうね。
1895年清国の敗戦より、旅順は奪われた、又1945年日本の敗戦より中華民国に返還されました正に植民地時代じゃのう
![Felix "Unfair" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/Oswujxm2Ag0/mqdefault.jpg)
![I.N "HALLUCINATION" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/n5B5q1Hwt_U/mqdefault.jpg)
本当に目の付け所が凄い。大先輩が挑んだ大正時代の入試問題、良く入手出来ましたね。しかも、最新の知識であえて、板書という当時の全アナログ手法で解決。あなたが、タイムスリップしたら、当時の学者達から講師の依頼が相次ぐことでしょう。
旅順工科大学は1922年度(T11年)発足、最初の入学試験は大正12年なので、動画の上帯は昭和7年の間違いかと存じます。
あらほんとですね💦
昭和 7 年の間違いでした。
ご指摘ありがとうございます！
初回は√(x^2 + 1)をyと1/yを使って表せるという事に気付けずに詰みました
代わりに邪道なんですけど x = isinθ とおいて整理すると
1/3 exp( 3iθ/2 ) - exp( -iθ/2 )
が解となり、また、 exp( iθ/2 ) は被積分関数と等しいので、これをtとおくと、 1/3 t^3 - 1/t が解となります
天下り的にこれを微分するとtになる事を言えば、一応高校数学を逸脱しない答案になります…
(ちなみに √(x + √(x^2 + 1)) について考えてます)
類題を解いてみました．
x+root(1+x²)=t(t>0)とおくと,x=(1/2)(t-1/t)……①であることから,
root(1+x²)=(1/2)(t+1/t) また,①よりdx=(1/2)(1+1/t²)dt
よって，∫[0,1]root(1+x²)dx
=∫[1,1+root(2)](1/2)(t+1/t)•(1/2)(1+1/t²)dt
=∫[1,1+root(2)](1/4)(t+2/t+t⁻³)dt
=(1/4)[(1/2)t²+2log(t)-(1/2)t⁻²][1,1+root(2)]
=(1/4){(1/2)(3+2root(2))+2log(1+root(2))-(1/2)•(1/(3+2root(2)))-1/2+1/2}
=(1/4){(1/2)(3+2root(2))+2log(1+root(2))-(1/2)•(3-2root(2))}
=(1/4)(2root(2)+2log(1+root(2))
=(1/2)root(2)+(1/2)log(1+root(2))
正解です！素晴らしい🎉
root（ｘ＊x+2）=y-xなので右辺のxにyを代入すれば即決です。
類題ノ結果ハ、√2/2+1/2log(1+√2)デセウカ。
正解です！🎉
塾終わりの電車内で見ています。x＋√x²＋a系列のこの置換はよく見ますね
そうですね！
大学入試で出題されるときは（さすがに）誘導つきかつ定積分のことが多いですが，覚えておいて損はないでしょう。
x=√2sinhtで置換しようと思ったけど計算が面倒くさくてできなかった。
後半のやり方でやりました。
どういう時に全体を丸々置換すると上手くいくのかはよく分かってないのですが、チマチマ置換しても上手くいかない時に、全体を丸々置換すると上手くいく事があるという事自体は知ってるので、一か八かやってみたら出来ました。
最後の書き方をどういう形にするのがベストかは悩み所ですね。
zの式を通分しないまま、zを代入しちゃいました。
宿題の問題は、動画の誘導のやり方とx＝sinh tで置換するやり方と二通りの解き方で解いてみましたが、sinhを使う方が必ずしも簡単というワケでもないですね。
不定積分ならsinhの置換の方が楽ですが、定積分だと代入する値の処理が多少めんどくさいので、動画の誘導の方がその点は楽だったりしますね。
根号を含む積分では，根号部分を文字でおくと積分が実行可能になるケースがありますが，今回もその一例といえますね。
（もちろん，x + √(x^2 + a) の形があるおかげだとも思いますが。）
置換積分をすることで，被積分関数の数学的な性質が見えてくることがありますが，sinh による置換はその代表例です。
ただ，仰る通り定積分だと（特に 0 → 1 など見た目がシンプルな区間では）置換後の積分区間が面倒な形になります。
定積分の場合，
▶︎ 元の変数の世界では積分区間が綺麗
▶︎ だけど元の変数では積分方法が見つからない
という場合に置換をすることが多いわけですから，置換後の変数の世界では
▶︎ 積分区間が複雑になりがち
▶︎ でも積分は実行できる
状態になるわけですね。
みなさん，こんばんは！今回は，二重根号を含む不定積分の問題です。
数学III の積分を学習したばかりの人だとなかなか手が出ないと思いますが，x + √(x^2 + a) の形に着目し，それをそのまま文字でおくのがポイントです。
また，動画の後半では被積分関数全体を文字でおくという方法もあります。そんなのでうまくいくのか，という気もしますが，実はうまくいくというのが面白いところですね。
一見面倒な形をしていますが，大胆な置換により解決する積分でした。
★訂正
問題とは直接関係ありませんが，画面右上に表示されている年度の大正 7 年は誤りで，昭和 7 年が正しいです。ごめんなさい！
ご指摘くださった方，ありがとうございます。
戦前の大学の出題範囲は分かりませんが、被積分関数 = √(x/2+i/√2) + √(x/2-i/√2)と二重根号を外すやり方もありそうですね。実用性は謎ですがよりシンプルな結果になります。
被積分関数をまるごとfと置き、
(fx)' = f^2 f' + f/2 = (f^3/3)' + f/2
となることから、
f = ( 2f (x - f^3/3) )'
ということが分かり答えが求まりました。
コメントありがとうございます。
f というのは何を指しているのでしょうか？
すみません、間違えてました。コメント編集しました。
おーなるほど！
ありがとうございます😊
敗戦と共にソ連に摂取されて廃校になった学校ですね。このシリーズ、そのうち台北帝国大学（現：国立台湾大学）の問題もやるのかな？
問題がなかなか見つからないのですが，見つかったら扱うかもしれません！
教師全員帰国かもしれん、校址はいま歴史博物館のようにおる
それに、台湾大学はその前により弱くなりました
すごい、外人かつ文系の自分でもハマってしまった(笑)
それは嬉しいです！ありがとうございます。
現役時代この手の丸ごと置換してうまくいくタイプのやつ、とにかく楽したい一心で
ここでいうと非積分関数をzでおいたあとx=の式にしてこれをzで微分してdx=〇dzって表すやり方で解きがちでしたね
先に x = (zの式) にしてから両辺を z で微分した方が，手順としてはわかりやすいかもしれませんね！
xと√(x^2+a)を比較するとa=0のときに絶対値が同じになるので正負を判定しやすいですよね。
積分の問題は特徴的な式を覚えていて，それに置換して，あとはなんかガチャガチャしとけば解けるだろっていう感覚でいつもできてしまいます。
周りの人にすげーとか頭いいなとか言われるんですが…本当は大したことはしてないのになと思います。複雑です。
数をこなせば，定番のやり方とか，「こういうのはどうせこう置換すれば積分できる」「とりあえず有理関数にすればなんとかなる」みたいな考え方が身につくので，大学入試レベル＋αくらいなら大体の問題に対処できるようになりますよね。
なんだかんだ，積分では場数が大事だと思います。
そろそろ最近の問題やってほしい!
コメントありがとうございます！
今後の動画作りの参考にします。
旅顺工科大学，还有大连理工大学
よく分からないけど、当時の難関校なんでしょうね。
今でいう海外にあった大学ですが，工科大学ということもあり，軍事産業にも貢献していた重要な大学だったのかもしれません。（詳しく調べたわけではないです。）
えー全く手が出ませんでしたあざす
だいぶ難易度高いですよね。
上品な方や
ありがとうございます😌
好家伙 居然还有旅顺工科大学 这难度不低
おーそうなんですね！
普段は日本の大学の数学入試問題を解説しているのですが，旅順工科大学は（当時は）日本の大学だったということで，ピックアップしました。
@@884 コンテンツは面白いと思います。楽しく見ました。当時の日本の教育レベルがすごいですね。
ありがとうございます✨
おーそうだったんですねー
解くのは面白そうだけど、答えが汚い。不安になる。
まさか旅順工科大學なんて…中国の土地で何をやっていたんだろうね。
1895年清国の敗戦より、旅順は奪われた、又1945年日本の敗戦より中華民国に返還されました
正に植民地時代じゃのう