Für diesen Typ Aufgaben gibt es eine sehr einfache Überlegung "Marke gesunder Menschenverstand": Es sind 25 Tiere, wären das alles Hühner, ergäbe das 50 Beine. Also können die überzähligen 16 Beine nur den Kühen gehören. Da sie pro Kuh "2 zusätzliche" Beine haben, müssen es 8 Kühe sein. Ergibt von den 25 Tieren abgezogen 17 Hühner. Fertig. Jetzt können wir noch die Probe machen: 17 Hühner haben 34 Beine, 8 Kühe haben 32, macht also 66, stimmt. Die Zahl der Tiere ist auch korrekt. Wichtig ist nun, daß man so auf Dauer solche math. Probleme nicht lösen kann. Das Beispiel liefert uns aber auch dafür einen Ansatz. Wir sind uns ja wohl einig, daß man solche Dinge am besten mit LGS löst. Das hat den Vorteil, daß wir alle Erkenntnisse der linearen Algebra in bezug auf die Lösbarkeit solcher LGS anwenden können. Erst dann verlassen wir das Gebiet des bloßen Rechnens und wenden die Mathematik an, dafür ist sie ja schließlich da. Wie können wir nun in unserem Beispiel einen Ansatz für ein solches LGS finden? Die Methode, die hier wie auch in vielen anderen Gebieten hilft, besteht aus zwei Schritten: 1. "Wir tun so, als hätten wir die Lösung erraten und machen die Probe." 2. Wir ersetzen die konkreten Zahlenwerte durch Variablen. Und so sieht das aus: 1. Schritt: Angenommen, wir schätzen, daß es 6 Kühe sind. Die Probe lautet also: 4 * 6 + 2 * 19 = 24 + 38 = 62 =! 66. Ist also fehlgeschlagen. Das interessiert und aber überhaupt nicht, denn nun folgt Schritt 2.: 2. Variablen verwenden: 4 * K + 2 * H = 66. Das Gleichheitszeichen dürfen wir setzen, weil mit den richtigen Werten für K und H die Gleichung aufgehen muß. Gleichzeitig formulieren wir eine "Forderung" an die Variablen: Wenn sie die richtige Lösungsmenge für das LGS darstellen, muß die Gleichung wahr sein. Der 2. Teil der Probe lautet: K + H = 25. Jetzt haben wir ein LGS: I. 4K + 2H = 66 II. K + H = 25 Für die Lösung stehen nun verschiedene Verfahren zur Verfügung, vom einfachen Eliminationsverfahren über das Gauß'sche Eliminationsverfahren bis zu Lösung mit Matrizen und Determinanten. Man kommt mit diesem Verfahren, einen Ansatz zu finden, sehr weit. Alles weitere ist Erfahrung: Beachtet bitte, daß Lernen nicht das Aufnehmen und "Lernen" von Wissen ist, sondern das Lernen aus Erfahrung. Dazu gehört "machen, machen, machen" und vor allem: Fehler machen! Wir würden allerdings in einem solchen Prozess an der Theorie nicht vorbeikommen, weil die uns die Möglichkeit gibt, Aussagen über die Lösbarkeit von LGS zu machen. Gleichzeitig wird Euch nicht entgangen sein, daß ich versucht habe, jeweils vom "gesunden Menschenverstand" auszugehen und auf der Basis durch Übung + Theorie fortzuschreiten, um für JEDES Problem, das grundsätzlich mit LGS lösbar ist, eine solche zu finden oder eben begründen zu können, warum es eindeutig nicht lösbar ist. Was sind nun die Unterschiede zwischen der Lehrmethode von Tom und meiner? Was sagt Ihr?
Ich hab das im Kopf ausgerechnet , allerdings ausschließlich durch ausprobieren . Ich hab nur rein zufällig mit 9 Kühen angefangen . Also 9x4+16x2=68 . Da sind jetzt 2Beine zuviel , also kann ich nur die Anzahl der 4 Beiner reduzieren . 8x4+17x2=32+34=66 . Ich gebe aber zu das ihre Antwort deutlich besser ist . Würde die Frage lauten , "Ein Bauer hat 120 Tiere die insgesamt 316 Beine haben .... ", so würde ich mit dieser Art wohl scheitern (keine Ahnung ob das überhaupt aufgeht🙈).
😂 ja, das wäre etwas schwer im Kopf oder per Zufall. Ich habe es extra so gewählt, dass man es auch mit Probieren schaffen kann. Ich finde sowas muss auch Spaß machen und das macht es, wenn man auch durch Probieren ans Ziel kommen kann. Vielen Dank für den netten Kommentar.
Ja geht auf. Das Video zeigt ja schön den Formalismus der halt immer funktioniert (lineares Gleichungssystem + Einsetzverfahen, gibt auch andere ist aber oft das am einfachsten verständliche). Bei dieser Art von Aufgabe kann man für das Rechnen im Kopf einen kleinen Kniff ( wobei der Begriff schon etwas hochgegriffen erscheint) anwenden. Da sowohl Hühner als auch Kühe mindestens 2 Beine haben und nur die Kühe mehr (+2) multipliziert man die Gesamtzahl der Tiere mit 2 (120*2=240). Addiert aufwärts bis man zur Anzahl der geforderten Beine kommt (Kassiererrechnen 240+60+16=316). Also 60+16=76 Beine fehlen noch, da die nur von Kühen kommen können mit jeweils 2 Beinen also 76/2= 38 (oder 60/2 + 16/2=30+8=38). Das ist die Anzahl der Kühe: Gesamtanzahl - Kühe sind Hühner 120-38=82. Lässt sich meines Erachtens besser im Koipf rechnen als das Gleichungssystem (das funktioniert aber immer, wenn es Lösungen gibt und dient hier pädagogischen Zwecken).
@@Techmagus76 Ja , 316 ist mit absoluter Sicherheit ein mögliches Ergebnis . Die Antwort für 9 Kühe mit 68 Beinen im Ergebnis und 8 Kühe mit 66 Beinen zeigt ja schon dass das Ergebnis nur immer + - 2 voran schreitet . Nur drei Regeln gelten für die mögliche Summe an Beinen , eine Zahl teilbar durch 2 , eine Zahl größer als 240 und kleiner als 480 (wir wollen ja das beide Tierarten vertreten sind ).
Ich habe es mit dem Gleichsetzungs-Gesetz gelöst. H + K = 25 / - K H = 25 - K (2H) + (4K) = 66 / - 4 K 2H = 66 - 4K / : 2 H = 33 - 2K jetzt H gleichgesetzt 25 - K = 33 - 2 K nach K umgestellt K = 8 also H = 17 😳
![Hunxho - Ball Forever [Official Video]](http://i.ytimg.com/vi/nki9ZTF9Uls/mqdefault.jpg)
Für diesen Typ Aufgaben gibt es eine sehr einfache Überlegung "Marke gesunder Menschenverstand": Es sind 25 Tiere, wären das alles Hühner, ergäbe das 50 Beine. Also können die überzähligen 16 Beine nur den Kühen gehören. Da sie pro Kuh "2 zusätzliche" Beine haben, müssen es 8 Kühe sein. Ergibt von den 25 Tieren abgezogen 17 Hühner. Fertig.
Jetzt können wir noch die Probe machen: 17 Hühner haben 34 Beine, 8 Kühe haben 32, macht also 66, stimmt. Die Zahl der Tiere ist auch korrekt.
Wichtig ist nun, daß man so auf Dauer solche math. Probleme nicht lösen kann. Das Beispiel liefert uns aber auch dafür einen Ansatz. Wir sind uns ja wohl einig, daß man solche Dinge am besten mit LGS löst. Das hat den Vorteil, daß wir alle Erkenntnisse der linearen Algebra in bezug auf die Lösbarkeit solcher LGS anwenden können. Erst dann verlassen wir das Gebiet des bloßen Rechnens und wenden die Mathematik an, dafür ist sie ja schließlich da.
Wie können wir nun in unserem Beispiel einen Ansatz für ein solches LGS finden? Die Methode, die hier wie auch in vielen anderen Gebieten hilft, besteht aus zwei Schritten:
1. "Wir tun so, als hätten wir die Lösung erraten und machen die Probe."
2. Wir ersetzen die konkreten Zahlenwerte durch Variablen.
Und so sieht das aus:
1. Schritt: Angenommen, wir schätzen, daß es 6 Kühe sind. Die Probe lautet also:
4 * 6 + 2 * 19 = 24 + 38 = 62 =! 66. Ist also fehlgeschlagen. Das interessiert und aber überhaupt nicht, denn nun folgt Schritt 2.:
2. Variablen verwenden: 4 * K + 2 * H = 66. Das Gleichheitszeichen dürfen wir setzen, weil mit den richtigen Werten für K und H die Gleichung aufgehen muß. Gleichzeitig formulieren wir eine "Forderung" an die Variablen: Wenn sie die richtige Lösungsmenge für das LGS darstellen, muß die Gleichung wahr sein.
Der 2. Teil der Probe lautet: K + H = 25.
Jetzt haben wir ein LGS:
I. 4K + 2H = 66
II. K + H = 25
Für die Lösung stehen nun verschiedene Verfahren zur Verfügung, vom einfachen Eliminationsverfahren über das Gauß'sche Eliminationsverfahren bis zu Lösung mit Matrizen und Determinanten.
Man kommt mit diesem Verfahren, einen Ansatz zu finden, sehr weit. Alles weitere ist Erfahrung: Beachtet bitte, daß Lernen nicht das Aufnehmen und "Lernen" von Wissen ist, sondern das Lernen aus Erfahrung. Dazu gehört "machen, machen, machen" und vor allem: Fehler machen!
Wir würden allerdings in einem solchen Prozess an der Theorie nicht vorbeikommen, weil die uns die Möglichkeit gibt, Aussagen über die Lösbarkeit von LGS zu machen.
Gleichzeitig wird Euch nicht entgangen sein, daß ich versucht habe, jeweils vom "gesunden Menschenverstand" auszugehen und auf der Basis durch Übung + Theorie fortzuschreiten, um für JEDES Problem, das grundsätzlich mit LGS lösbar ist, eine solche zu finden oder eben begründen zu können, warum es eindeutig nicht lösbar ist.
Was sind nun die Unterschiede zwischen der Lehrmethode von Tom und meiner? Was sagt Ihr?
Ich bin gespannt auf die Antworten. Vielen Dank für diesen ausführlichen und sehr informativen Kommentar.
Ich hab das im Kopf ausgerechnet , allerdings ausschließlich durch ausprobieren . Ich hab nur rein zufällig mit 9 Kühen angefangen . Also 9x4+16x2=68 . Da sind jetzt 2Beine zuviel , also kann ich nur die Anzahl der 4 Beiner reduzieren . 8x4+17x2=32+34=66 . Ich gebe aber zu das ihre Antwort deutlich besser ist . Würde die Frage lauten , "Ein Bauer hat 120 Tiere die insgesamt 316 Beine haben .... ", so würde ich mit dieser Art wohl scheitern (keine Ahnung ob das überhaupt aufgeht🙈).
😂 ja, das wäre etwas schwer im Kopf oder per Zufall. Ich habe es extra so gewählt, dass man es auch mit Probieren schaffen kann. Ich finde sowas muss auch Spaß machen und das macht es, wenn man auch durch Probieren ans Ziel kommen kann. Vielen Dank für den netten Kommentar.
Ja geht auf. Das Video zeigt ja schön den Formalismus der halt immer funktioniert (lineares Gleichungssystem + Einsetzverfahen, gibt auch andere ist aber oft das am einfachsten verständliche).
Bei dieser Art von Aufgabe kann man für das Rechnen im Kopf einen kleinen Kniff ( wobei der Begriff schon etwas hochgegriffen erscheint) anwenden. Da sowohl Hühner als auch Kühe mindestens 2 Beine haben und nur die Kühe mehr (+2) multipliziert man die Gesamtzahl der Tiere mit 2 (120*2=240). Addiert aufwärts bis man zur Anzahl der geforderten Beine kommt (Kassiererrechnen 240+60+16=316). Also 60+16=76 Beine fehlen noch, da die nur von Kühen kommen können mit jeweils 2 Beinen also 76/2= 38 (oder 60/2 + 16/2=30+8=38). Das ist die Anzahl der Kühe: Gesamtanzahl - Kühe sind Hühner 120-38=82. Lässt sich meines Erachtens besser im Koipf rechnen als das Gleichungssystem (das funktioniert aber immer, wenn es Lösungen gibt und dient hier pädagogischen Zwecken).
@@Techmagus76 Vielen Dank für deinen ausführlichen Kommentar. Sehr lehrreich
@@Techmagus76 Ja , 316 ist mit absoluter Sicherheit ein mögliches Ergebnis . Die Antwort für 9 Kühe mit 68 Beinen im Ergebnis und 8 Kühe mit 66 Beinen zeigt ja schon dass das Ergebnis nur immer + - 2 voran schreitet . Nur drei Regeln gelten für die mögliche Summe an Beinen , eine Zahl teilbar durch 2 , eine Zahl größer als 240 und kleiner als 480 (wir wollen ja das beide Tierarten vertreten sind ).
Ich habe es mit dem Gleichsetzungs-Gesetz gelöst. H + K = 25 / - K H = 25 - K (2H) + (4K) = 66 / - 4 K
2H = 66 - 4K / : 2 H = 33 - 2K jetzt H gleichgesetzt 25 - K = 33 - 2 K nach K umgestellt K = 8 also H = 17 😳
genau so habe ich es auch gemacht
Super, vielen Dank für deine Lösung.