Ik snap niet zo goed wat u bedoelt wanneer u zegt dat de afgeleide functie bij x=0 gelijk is aan de natuurlijke logaritme van 3. Zou u hier wat verder op kunnen ingaan?
Hallo Nathan, Vooraf: Het is niet heel erg belangrijk als je dat stukje niet volgt. Het allerbelangrijkste is de rekenregel die uit dit stukje theorie volgt: f(x) = g ͯ geeft f '(x) = g ͯ · ln(g). Kijk goed: Als je g ͯ differentieert, dan krijg je g ͯ terug, vermenigvuldigd met de natuurlijk logaritme g. Maar, de natuurlijk logaritme van het grondtal is een constante. En die constante kwam §9.3 A naar voren, waarna we in deze video verder op zoek gaan naar die constante. Hieronder nog in het kort de afleiding, met helemaal onderaan het antwoord op je vraag. Let op dat in de afleiding van de rekenregel de factoren g ͯ en ln(g) steeds zijn omgewisseld. Het antwoord zit 'm in §9.3 A. Hier is de link naar de video. ruclips.net/video/OIu-jarroMA/видео.html Op 5:55 vinden we: f(x) = g ͯ geeft f '(x) = a · g ͯ , waarbij die a een of andere constante blijkt te zijn. Op 7:00 zien we dat a = f '(0), maar dan wel f '(0) die bij het grondtal g hoort. Als f(x) = 2 ͯ , dan is f '(0) een andere waarde dan als f(x) = 3 ͯ . (Met andere woorden, de raaklijn loopt voor x = 0 aan de grafiek van f(x) = 3 ͯ steiler omhoog dan aan de grafiek van f(x) = 2 ͯ .) Dus f(x) = g ͯ geeft f '(x) = f '(0) · g ͯ , waarbij die f '(0) een of andere constante blijkt te zijn. Maar, wat is die constante f '(0) dan toch? In de video van §9.3 A komen we met het bepalen van die constante niet verder dan een beetje prutsen met de GR. In deze video gaan we erop door en wordt achterhaald wat die constante EXACT is. Er is een herleiding waaruit blijkt: f(x) = g ͯ geeft f '(x) = ln(g) · g ͯ . Dus nog even onder elkaar: §9.3 A: f(x) = g ͯ geeft f '(x) = f '(0) · g ͯ , waarbij die f '(0) een of andere constante blijkt te zijn. Maar wat? §9.4 B: f(x) = g ͯ geeft f '(x) = ln(g) · g ͯ . Als je f '(x) vergelijkt met die in de regel erboven, dan zie je dat f '(0) in dit geval gelijk moet zijn aan ln(g). Dus de constante waar we in §9.3 A tegenaan liepen, blijkt ln(g) te zijn. Let wel, ln(g) is gewoon een getalletje! Getallenvoorbeeld: §9.3 A: f(x) = 3 ͯ geeft f '(x) = f '(0) · 3 ͯ , waarbij die f '(0) een of andere constante blijkt te zijn. Maar wat? §9.4 B: f(x) = 3 ͯ geeft f '(x) = ln(3) · 3 ͯ . De exacte waarde van de constante is dus in dit geval ln(3). Is dit voldoende duidelijk?
@@wiskundemetbobpruiksma9766 Dag meneer Pruiksma, ik snap dat het niet heel belangrijk is om dat stuk te begrijpen maar ik leer wiskunde het liefst om het waarom in plaats van het hoe. Ik snap dat je uiteindelijk een constante vermenigvuldigt krijgt met g^x, en dat je dus een willekeurig grondtal kan nemen tot de macht het logaritme van de macht om tot een bepaalde macht te komen. Echter snap ik niet waarom Euler's constant hierbij van belang is als grondtal, waarom hebben we het natuurlijke logaritme nodig in plaats van een normale? Of om het beter te verwoorden, waarom nemen we niet een ander getal als grondtal tot de macht het logaritme in plaats van e tot de macht het natuurlijke logaritme? Bedankt voor de snelle reactie, u maakt trouwens echt top video's. Zoals ik al zei ben ik altijd meer geïnteresseerd in het waarom in plaats van het hoe en daar helpen uw video's perfect bij.
Ik snap niet zo goed wat u bedoelt wanneer u zegt dat de afgeleide functie bij x=0 gelijk is aan de natuurlijke logaritme van 3. Zou u hier wat verder op kunnen ingaan?
Hallo Nathan,
Vooraf: Het is niet heel erg belangrijk als je dat stukje niet volgt. Het allerbelangrijkste is de rekenregel die uit dit stukje theorie volgt: f(x) = g ͯ geeft f '(x) = g ͯ · ln(g).
Kijk goed: Als je g ͯ differentieert, dan krijg je g ͯ terug, vermenigvuldigd met de natuurlijk logaritme g. Maar, de natuurlijk logaritme van het grondtal is een constante. En die constante kwam §9.3 A naar voren, waarna we in deze video verder op zoek gaan naar die constante.
Hieronder nog in het kort de afleiding, met helemaal onderaan het antwoord op je vraag. Let op dat in de afleiding van de rekenregel de factoren g ͯ en ln(g) steeds zijn omgewisseld.
Het antwoord zit 'm in §9.3 A. Hier is de link naar de video.
ruclips.net/video/OIu-jarroMA/видео.html
Op 5:55 vinden we:
f(x) = g ͯ geeft f '(x) = a · g ͯ , waarbij die a een of andere constante blijkt te zijn.
Op 7:00 zien we dat a = f '(0), maar dan wel f '(0) die bij het grondtal g hoort.
Als f(x) = 2 ͯ , dan is f '(0) een andere waarde dan als f(x) = 3 ͯ . (Met andere woorden, de raaklijn loopt voor
x = 0 aan de grafiek van f(x) = 3 ͯ steiler omhoog dan aan de grafiek van f(x) = 2 ͯ .)
Dus f(x) = g ͯ geeft f '(x) = f '(0) · g ͯ , waarbij die f '(0) een of andere constante blijkt te zijn.
Maar, wat is die constante f '(0) dan toch?
In de video van §9.3 A komen we met het bepalen van die constante niet verder dan een beetje prutsen met de GR. In deze video gaan we erop door en wordt achterhaald wat die constante EXACT is.
Er is een herleiding waaruit blijkt: f(x) = g ͯ geeft f '(x) = ln(g) · g ͯ .
Dus nog even onder elkaar:
§9.3 A: f(x) = g ͯ geeft f '(x) = f '(0) · g ͯ , waarbij die f '(0) een of andere constante blijkt te zijn. Maar wat?
§9.4 B: f(x) = g ͯ geeft f '(x) = ln(g) · g ͯ . Als je f '(x) vergelijkt met die in de regel erboven, dan zie je dat f '(0) in dit geval gelijk moet zijn aan ln(g). Dus de constante waar we in §9.3 A tegenaan liepen, blijkt ln(g) te zijn. Let wel, ln(g) is gewoon een getalletje!
Getallenvoorbeeld:
§9.3 A: f(x) = 3 ͯ geeft f '(x) = f '(0) · 3 ͯ , waarbij die f '(0) een of andere constante blijkt te zijn. Maar wat?
§9.4 B: f(x) = 3 ͯ geeft f '(x) = ln(3) · 3 ͯ . De exacte waarde van de constante is dus in dit geval ln(3).
Is dit voldoende duidelijk?
@@wiskundemetbobpruiksma9766 Dag meneer Pruiksma, ik snap dat het niet heel belangrijk is om dat stuk te begrijpen maar ik leer wiskunde het liefst om het waarom in plaats van het hoe.
Ik snap dat je uiteindelijk een constante vermenigvuldigt krijgt met g^x, en dat je dus een willekeurig grondtal kan nemen tot de macht het logaritme van de macht om tot een bepaalde macht te komen. Echter snap ik niet waarom Euler's constant hierbij van belang is als grondtal, waarom hebben we het natuurlijke logaritme nodig in plaats van een normale? Of om het beter te verwoorden, waarom nemen we niet een ander getal als grondtal tot de macht het logaritme in plaats van e tot de macht het natuurlijke logaritme?
Bedankt voor de snelle reactie, u maakt trouwens echt top video's. Zoals ik al zei ben ik altijd meer geïnteresseerd in het waarom in plaats van het hoe en daar helpen uw video's perfect bij.