수학의 정석 책에 나온 설명이네요! 미분을 왜 극한으로 설명해야 하는지부터 시작하다 보니 미분적분학의 기본정리까지 왔었는데, 이 때 정말 밤을 새워 고민했던 것 같아요.. 수학을 그냥저냥 하는 수준이라 어찌나 어렵던지..ㅎㅎ 이 내용을 선생님 설명으로 다시 들으니 더 직관적으로 이해가 되네요! 감사합니다
넓이를 미분하면 함수값이 나오는게 아니고 어떤 함수 f(x) 아래 구간 [a,b]의 면적이 f(x)를 부정적분한 (indefinite integral) 함수 F(x)의 F(b)-F(a) 값으로 구할 수 있다는 것입니다. 다시 F(x) + C 를 미분하면 f(x)가 되는 관계를 가지고 있는 것이죠. 그러나 definite integral을 그대로 넓이를 미분하면 함수값이 나온다고 오해하면 안됩니다.
개인적으로는 수학 교과서 읽을 때마다 드는 생각이 논리의 엄밀성을 높이는 과정에서 설명 방식이 인간의 자연스러운 사고 흐름과 맞지 않다는 것입니다. 대표적으로 미적분학의 기본 정리를 이끌어내는 과정에서 y = f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이를 미분한다는 아이디어 자체를 떠올린다는 생각 자체가 너무 억지스럽다는 느낌이 들더라고요. 개인적으로 이 아이디어는 이미 미적분학의 기본 정리를 알고 있는 상태에서 그 증명 과정을 깔끔하게 정리한 것에 가깝다는 생각이 듭니다.
1. 이게 지금 미분한 함수가 사실은 기울기 값의 의미뿐 아니라 2. 넓이의 변화율이란 의미도 갖는다는 거다. 넓이의 변화율. 율! 그게 미분값이니까. 즉 미분값은 변화율이다. 3. 그것을 제자리로 돌린값 즉 적분값은 변화율에서 율자를 뺀 넓이 변화분이 되서 넓이가 되는 것이었다. 4. 눈을 뜨게 해주네! 미분한 함수값이 실은 그 미분한 함수의 넓이의 변화율이라니! 이거 실화냐! 5. 이분은 누구냐! 24.06.01(토) 6. 이게 지금 대단한게 그냥 함수밑의 사각형을 더한다는 적분개념에서 그 함수자체가 실은 넓이의 변화율이란 것까지 끌어올렸다는 것이다. 7. 왜냐면 그래야 변화율을 적분하면 변화분이 된다는 논리가 성립되기 때문이다. 그런데 다들 보통은 함수그래프밑의 아주 가는 사각형을 더하는데 까지만 설명한다. 8. 그러다보니 거기서 왜 그식이 미분을 되돌린 식인지는 설명을 못한다. 9. 그런데 이분은 어떤 함수가 사실은 그 자체가 그 함수의 넓이의 변화율이라고 정의함으로서 10. 그값을 미분값으로 놓고 미분 전값으로 돌리면 변화분이 된다는 것을 알려준 것이다. 24.06.01(토)
넓이S(X)의 미분은 x에서의 넓이의 변화율일 뿐 기울기의 의미는 전혀 없습니다. 면적이 곡선(또는직선)의 순간기울기를 구하는 것인데 넓이에서는 무슨 기울기를 어떻게 구한다는 겁니까. S'(X)--->? 미분법이 아니고 "정의" 라고 한 강사도 있습니다. 위키백과에는 S'(X)의 의미는 면적S(X)의 에서의 면적변화율이라고 정의를 하고 있습니다. 강사들이 이런 설명없이 그냥 기호와 식으로만 전개를 하니 알아 듣기가 힘들죠. 그런데 f(t)가 F(t)의 도함수 인 동시에 면적변화율을 나타내는 함수이기도하죠.
@@hansungeun 저도 공부를 더해서 이젠 좀 알 것 같네요. 다만 S' (X)에서 이것이 면적의 변화율을 구하는 것이 아니고 그냥 함수미분처럼 도함수를 구한다는 것 처럼 보여서 아주 혼란을 많이 느꼈습니다. 면적에서 도함수를 구한다는 것은 말이 안되죠. S'(X) 의 기호를 다르게 S*(x)등으로 써서 이것이 일반 미분이 아니고 면적미분이라는 것을 알게 한다면 어떤가 하는 생각이듭니다.
5:20 이 부분에서 불편함을 느끼실 분들을 위해, 여기서 "직사각형과 넓이가 거의 같다"고 말한 부분은 더 구체적으로는 "적분의 평균값 정리"라는 것을 도입한 것과 같습니다. 쌤은 "대충 살자고"이라 하셨지만 수학적으로는 전혀 틀림이 없어요.
이것을 신기해하지 않으면, 인간으로서의 뭔자 결여되어 있는게 맞음,, 이강의 찾아서 너무 많은 세월과 노력을 허비 하였음 감사
리만 적분 개념을 고교 수준에 맞추어 덤덤하니 핵심적으로 정확하게 설명해주셔서 큰 도움이네요 늘 영상보고 가르침 받고 있습니다 감사합니다
애초에 고등학교에서 배우는 미적분도 리만 적분인데요..
@@지웅김-c7fpartition을 정의하거나 엡실론델타논법을 가져와서 설명하진 않잖습니까
@@지웅김-c7f 에휴
적분하면 넓이값이 나오는 것을 신기해하지 않는 사람은 사이코패스이거나 옛날에는 문과라고도 했었지.... ㅋㅋ
수학의 정석 책에 나온 설명이네요! 미분을 왜 극한으로 설명해야 하는지부터 시작하다 보니 미분적분학의 기본정리까지 왔었는데, 이 때 정말 밤을 새워 고민했던 것 같아요.. 수학을 그냥저냥 하는 수준이라 어찌나 어렵던지..ㅎㅎ 이 내용을 선생님 설명으로 다시 들으니 더 직관적으로 이해가 되네요! 감사합니다
유튜브 파깨비에서
"미분과 적분의 계산관계"
"정적분 ,진정아는가"를 보면
훨씬 이해가 빠르고 좋습니다.
이게 바로 직관입니다.
넓이를 미분하면 함수값이 나오는게 아니고 어떤 함수 f(x) 아래 구간 [a,b]의 면적이 f(x)를 부정적분한 (indefinite integral) 함수 F(x)의 F(b)-F(a) 값으로 구할 수 있다는 것입니다. 다시 F(x) + C 를 미분하면 f(x)가 되는 관계를 가지고 있는 것이죠. 그러나 definite integral을 그대로 넓이를 미분하면 함수값이 나온다고 오해하면 안됩니다.
F(x)와 f(x)는 서로 미분과 부정적분의 관계에 있을 때 미적분의 기본정리는 f(x)로 둘러싸인 구간 [a, b]의 면적을 F(b) - F(a)로 구할 수 있다는 인류 역사상 가장 위대하고 중요한 발견(발명)입니다. 모르시는 분은 그냥 이렇게 외우는게 좋습니다.
좀더 자세히 알고 싶은 분들은 유튜브 알버트 아카데미 (비영리)애서 미적분 쉽게 가르쳐주는 강의들 시리즈를 들어보시고 영어가 되시는 분들은 CalTech의 알리 하지미리 (Ali Hajimiri) 교수님의 원본 강의를 들어보시면 좋을 듯 합니다.
MIT open courseware OCW Gilbert Strang 교수님의 Highlights of Calculus (5 videos)도 추천합니다.
유튜브 파깨비에서
"미분과 적분의 계산관계"
"정적분 ,진정아는가"를 보면
훨씬 이해가 빠르고 좋습니다.
이게 바로 직관입니다.
4:11 식으로 정리
공대생인데 새로운 지식 한개 더 배워갑니다 감사합니다 😊
와 미쳤다 설명ㅋㅋ진짜 개똑똑하네
구분구적법 배울 때 한참 고민했던 내용. 대체 넓이와 적분, 부정적분과 정적분이 어떤 관계가 있는지 한참을 생각했었는데 추억돋네요ㅋㅋㅋ
1:44 헉..
이분은 진짜 수학적도사느낌 저도 고딩때 왜 저게 넓이야? 하는 궁금증을 제대로해소 못했었음
재밌네용. 좋은 영상 감사합니다
멋져요 니들이 멀느끼겠어 내가그냥설명할께 내스타일이야~
만세,,, 만만세,, 미분을 정의하고, 적분은 미분과의 관계 설렴으로 이것을 찾아 50년을 헤매었습니다.
유튜브 파깨비에서
"미분과 적분의 계산관계"
"정적분 ,진정아는가"를 보면
훨씬 이해가 빠르고 좋습니다.
이게 바로 직관입니다.
감사합니다~
진짜 내용 너무좋다
어느 함수의 부정적분과 그 초깃값끼리의 차함수 그래프를 그릴 때에도 많이 써먹죠
와 진짜 감사합니다
저는 처음에 적분을 배울때 넓이를 단지 양끝점의 무엇(여기서는 부정적분 중 하나의 함숫값)들로 구할수 있다는게 신기했었어요.
그린정리, 발산정리 등 미적분학 기본정리가 차원이 확장되는부분도 신기했던 경험이 있습니다.
저도 자주 했던 생각이예요. 중간에 어떻게 변하는 줄 알고 끝값들만 넣어서 계산하지?
이게 필요했습니다 다음주 월요일에 설명해주어야지
그저 빛
인간으로써 기본적인 게 결여 되어 있는 거야.
싸이코패스이거나 예전엔 문과라고 불렀는데,,
넓이를 나타내는 함수를 미분하면 어떤 함수가 나오고, 그 함수를 적분하면 나오는 식이 넓이를 나타내는 함수!
즉 어떤 함수를 나타내는 함수를 적분하면 나오는 함수는 넓이를 타내는 함수
따라서 적분해서 나온 함수에 값을 넣으면 나오는 값은 넓이
개인적으로는 수학 교과서 읽을 때마다 드는 생각이 논리의 엄밀성을 높이는 과정에서 설명 방식이 인간의 자연스러운 사고 흐름과 맞지 않다는 것입니다. 대표적으로 미적분학의 기본 정리를 이끌어내는 과정에서 y = f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이를 미분한다는 아이디어 자체를 떠올린다는 생각 자체가 너무 억지스럽다는 느낌이 들더라고요. 개인적으로 이 아이디어는 이미 미적분학의 기본 정리를 알고 있는 상태에서 그 증명 과정을 깔끔하게 정리한 것에 가깝다는 생각이 듭니다.
유튜브 파깨비에서
"미분과 적분의 계산관계"
"정적분 ,진정아는가"를 보면
훨씬 이해가 빠르고 좋습니다.
이게 바로 직관입니다.
산 이쪽 저쪽에서 따로따로 땅굴을 뚫다가 중간에서 만나니 진짜 신기하죠. 신기한데... 문과임. 문관데 신기한 것도 신기함.
훌륭한 문과시군요.
1. 이게 지금 미분한 함수가 사실은 기울기 값의 의미뿐 아니라
2. 넓이의 변화율이란 의미도 갖는다는 거다. 넓이의 변화율. 율! 그게 미분값이니까. 즉 미분값은 변화율이다.
3. 그것을 제자리로 돌린값 즉 적분값은 변화율에서 율자를 뺀 넓이 변화분이 되서 넓이가 되는 것이었다.
4. 눈을 뜨게 해주네! 미분한 함수값이 실은 그 미분한 함수의 넓이의 변화율이라니! 이거 실화냐!
5. 이분은 누구냐! 24.06.01(토)
6. 이게 지금 대단한게 그냥 함수밑의 사각형을 더한다는 적분개념에서 그 함수자체가 실은 넓이의 변화율이란 것까지
끌어올렸다는 것이다.
7. 왜냐면 그래야 변화율을 적분하면 변화분이 된다는 논리가 성립되기 때문이다. 그런데 다들 보통은 함수그래프밑의 아주 가는 사각형을 더하는데 까지만 설명한다.
8. 그러다보니 거기서 왜 그식이 미분을 되돌린 식인지는 설명을 못한다.
9. 그런데 이분은 어떤 함수가 사실은 그 자체가 그 함수의 넓이의 변화율이라고 정의함으로서
10. 그값을 미분값으로 놓고 미분 전값으로 돌리면 변화분이 된다는 것을 알려준 것이다. 24.06.01(토)
넓이S(X)의 미분은 x에서의 넓이의 변화율일 뿐 기울기의 의미는 전혀 없습니다.
면적이 곡선(또는직선)의 순간기울기를 구하는 것인데 넓이에서는 무슨 기울기를 어떻게 구한다는 겁니까.
S'(X)--->? 미분법이 아니고 "정의" 라고 한 강사도 있습니다.
위키백과에는 S'(X)의 의미는 면적S(X)의 에서의 면적변화율이라고 정의를 하고 있습니다.
강사들이 이런 설명없이 그냥 기호와 식으로만 전개를 하니 알아 듣기가 힘들죠.
그런데
f(t)가 F(t)의 도함수 인 동시에 면적변화율을 나타내는 함수이기도하죠.
이거 요즘 교과서에 없더군요..
교육부는 정신차려라..
이건 있어요. 구분구적법이 없어짐..
최댓값과 최솟값이라는 설명이 샌드위치 정리를 이용해서 하는 설명인가요?
넹.
쌤 수학공부하신썰 듣고싶네요 ㅇ:
뭐 그냥 하니까 점수 나오던데요?
@@hansungeun 와..그래 보이긴 함..ㅋㅋ
(df/dx)=y이면 df=ydx
인테그랄df=인테그랄ydx
f=인테그랄ydx
이증명의 참, 거짓은 각자 판단
각자 판단이 아니라 그냥 거짓인데요...?
엄밀하지 않음 차라리 교과서대로 설명하세요. 일단. 본인부터 정독하고
그 엄밀함 때문에 본질을 못 보는 학생들이 있으니 찍은 영상이죠.
@@hansungeun 둘 다 옳은 말인듯. 엄밀한 설명이 중요한 건 자명하고, 새로운 개념을 접할 땐 직관적인 설명을 듣는 게 본질을 금방 활용하게 해주는 것 같아요.
@@김정철-x6c 전 이해하고 있습니다만
@@hansungeun
저도 공부를 더해서 이젠 좀 알 것 같네요.
다만 S' (X)에서 이것이 면적의 변화율을 구하는 것이 아니고
그냥 함수미분처럼 도함수를 구한다는 것 처럼 보여서 아주 혼란을 많이
느꼈습니다.
면적에서 도함수를 구한다는 것은 말이 안되죠.
S'(X) 의 기호를 다르게 S*(x)등으로 써서 이것이 일반 미분이 아니고 면적미분이라는 것을 알게 한다면
어떤가 하는 생각이듭니다.
성은쌤 펙트폭행 멈처!!
결여 ㅋㅋ