과학쿠키님 안녕하세요. 댓글 감사드립니다. 현대 과학(혹은 물리학)에서 사용되는 심도있는 수학을 이해할 수 있을 만한 대단한 내용을 제가 다루지는 못합니다만^^; 기초적인 수학 지식이나 공학(특히 신호처리나 기계학습)에서 필요한 수학 지식들을 제 나름대로 이해한 내용을 바탕으로 정리해 올리고 있습니다. 응원해주셔서 감사하고 과학쿠키님도 건승하세요!
왜냐면 모든 변화량을 합친것으로 발산을 정의하기 때문입니다~ 그런데 특별히 곱셈으로 발산량을 정의할 필요가 있을까요? 그렇게 되면, 만약 x 방향으로 발산값이 0.1이고, y방향으로 발산값이 100이라면 결국 모든 방향으로의 발산 값은 x 방향으로의 발산 값 때문에 줄어든 것 처럼 보이겠네요. 아무래도 각 방향으로의 발산량을 더한 것으로 발산을 정의한것이 그렇게 나빠보이지는 않는 것 같네요~ 그리고, 여기서 중요한 포인트 중 하나는 각 방향으로의 발산 값을 더한다는 것은 결국에 나블라(nabla) 연산자와 벡터필드의 내적으로 정의할 수 있게 되어서 내적의 개념을 확장시킬 수 있다는 장점까지 갖게 된다는 것입니다 ^^
그래디언트를 설명하신 영상을 보고 이 영상을 보니 좀 헷갈리는데, 그래디언트는 x,y로 이루어진 다변수 함수를 x,y에 대해 각각 편미분해서 더한것이고, 이영상에서 다이버전스 설명도 x,y에 대해 각각 편미분해서 더한것이다라고 이해를 했는데, 그러면 그래디언트와 다이버전스는 같은것인가요?? 이해가 잘안되는거 같습니다. 많이 헷갈리네요ㅠㅠ
오우... 그레디언트는 벡터이고 다이벌전스는 스칼라량입니다... 그레디언트는 각 방향에 대한 기울기 성분이 편미분으로 계산되는 것이구요 ㅎ 그런 뒤에 각 방향 끼리 더한다고 한 것은 벡터를 생각하려면 각 성분들이 더해져 표현되니까 그렇게 말씀드렸던 것입니다. 반면에 발산의 경우에는 각 방향에 대한 변화량의 총합을 말해준다고 할 수 있습니다. 혹시 도움 되셨을까용...?
@@AngeloYeo 빠른 답변 감사합니다! 이제 다가오는 주에 초고주파 공학이랑, 반도체 공학 시험을 보는데 전자기학에 대해서 배웠는데도 하나도 이해를 못하고, 수학적으로도 제대로 알고있는게 없어서 이제서야 늦은 공부를 하고있네요ㅠㅠ 차근차근 하나씩 해나가야 될거같습니다...
공돌님 안녕하세요 1. 11분 32초쯤 source라고 표시하신 부분에서, 화살표들이 나오고 있는데요, 오른쪽 위쪽으로 가면 발산 값이 커지고 왼쪽 아래로 가면 0이 되었다가 음으로 됩니다. 즉 source라고 표시하신 부분 근처에서 모든 방향으로 퍼져나가지만 퍼져나가는 유속(속력)이 동일하지는 않은 것 같은데, 이 경우에도 source라고 해도 되는 건가요? 2. 발산 값이 해당 포인트에서 변한다면 이는 나가는 유량이 들어오는 유량보다 많다는 의미이고(유량의 단위 : kg/sec) 해당점에서 입자가 생성되는 것을 의미한다고 할 수는 없나요? 즉 이런 의미에서는 발산값이 0 이상이면 모두 source라고 할수는 없는건지요?
안녕하세요. 발산값이 0보다 크다고 해서 꼭 source가 되는 것은 아니고 발산값이 0보다 작다고해서 꼭 sink가 되는 것은 아닙니다. 예시에 사용된 벡터장이 모든 방향으로 퍼져나가되 source와 sink 외의 부분 에서는 유속(속력)이 일정한 경우에만 그렇게 얘기할 수 있을 것 같습니다. 예전에도 관련 질문 올려주셨던 것으로 기억하는데, 아무래도 제가 만든 예시 벡터장이 source와 sink를 설명하기에는 적절한 예시는 아니었던 것 같습니다 ㅠㅠ
좋은 강의 감사합니다. 하나 질문 드리자면 화살표가 모이는 곳이 sink라고 하셨습니다. 벡터장으로 보면 그렇게 보이지만(예를 들면 2,2에서는 영벡터) div F로 보면 그 주위 영역도 음의 값이고 오히려 왼쪽 아래로 갈수록 이 값이 음의 값으로 증가하는데 이런 곳들은 sink가 아닌가요? 즉, div F가 음수 = sink 가 맞는지 궁금합니다 위의 벡터장이 유량응 표현한 것이라 가정하면 2,2에서 유량이 0이 되고 해당 위치로 입자가 가서 사라지는 것 처럼 보이지만, 사실은 div F가 0보다 작은 지점에서는 입자들이 사라지고 있는 거 아닐까 합니다
이졸리님 안녕하세요. 우선 후원해주신 것 너무 감사합니다. 보통 후원해주시는 분들에게 메세지 보낼 수 있는 방법이 없는 편인데, 이렇게 직접 메세지 드릴 수 있으니 그것도 기분이 좋고 그러네요 ㅎㅎ 일단은 divF가 음수라고 꼭 그 부분이 sink라고 할 수는 없습니다. 우선 말씀하신 그림에서 제가 사용했던 벡터장의 식은 f(x,y) = (x-2)(x-8) i + (y-2)(y-8) j 입니다. 이 벡터장의 발산을 계산하면 nabla f = 2x+2y-20 임을 알 수 있습니다. 따라서 이 벡터장의 divergence는 x와 y의 값이 둘다 커지면 함께 커지고 x와 y의 값이 둘 다 작아지면 함께 작아집니다. 반면, y = -x + 10이라는 경계에서 divergence = 0인 경계선이 생기게 됩니다. 그래서 왼쪽 아래로 갈 수록 divergence의 값이 더 커지게 되는 것이구요. 그리고 또 한 가지 더 언급하자면 divergence는 주변 유량의 속도에 대한 '변화량'입니다. 즉, 속도가 얼마나 많이 변하는가를 언급하고 있는 것입니다. div F 가 음수일 때 그 부분이 꼭 sink이기 위해서는 그 외의 다른 부분에서는 유속이 일정하고, 해당 부분에서만 유속의 변화가 커야 할 것 같습니다. 혹시 이해에 도움이 되셨을까요... ? 부정확한 부분이나 이해가 안되시는 부분 있다면 한번 더 언급 부탁드리겠습니다! 감사합니다.
상세답변감사드립니다. 1. 그렇다면 벡터장 그래프 없이 divF 그래프만 가지고 어디가 sink이고 source인지는 모르는 건가요? 2. divF가 음이라는 것은 예를들면 기름의 유량(mol/sec)의 변화가 작아진다는 것이고 이것이 의미하는 것이 해당 위치에서 기름 자체가 사라져서 줄수도 있지만(sink), 주위에 sink가 존재함으로써도 음의 값이 나올 수 있다고 봐도 되는 걸까요?
안녕하세요. 1. 만약 sink 주변의 point에서만 급격하게 유속의 변화가 빨라지고 그 point로 particle들이 들어가고, 다른 point에서는 유속의 변화가 일정하다면 divF의 그래프만 가지고 sink인지를 판단할 수 있겠습니다. sourc도 마찬가지이구요. 그래서 상황에 따라서 다르다고 할 수 있겠습니다. 다시 한번 강조드리자면 div F는 결국 '변화량'을 나타내는 것입니다. 2. divF가 음이라는 것은 말씀하신 것과 반대로 기름의 유량의 변화가 커지는 것을 의미합니다. 다만 divF의 부호가 음이라는 것은 그 방향이 해당 point 주변으로 particle들이 가속되어서 **모여들고 있음**을 의미합니다. 주위에 sink가 존재한다고해서 꼭 divF가 음의 값이 나온다고 보기 보다는... 제가 영상에서 보여드렸던 예시에서는 sink 쪽에서 먼 곳 (가령, 왼쪽 아래)에서도 유속이 더 빠른 경우이기 때문에 sink point가 아님에도 더 큰 음의 div F 값이 나타났던 것으로 보아야 합니다... 제가 영상에서 보여드린 예시가 혼란을 드린 것 같네요.
올려주신 영상들 잘 보고 있습니다. 항상 감사합니다. 이런 강의를 무료로 볼 수 있다니 ㅠㅠ 실례가 안된다면 질문 한가지 드려도 될까요?? 저는 전기전자공학부에서 공부하는 학부생입니다. 강의 영상을 보면서 항상 느끼는 건데 나무보다는 숲(물리적, 공학적인 의미와 이유)을 알려주셔서 도움이 많이 됩니다. 그런데 학교에서 교수님께 수업을 들을 때나 혼자 전공책 보고 공부할 때는 숲을 보기가 힘듭니다.ㅜㅜ 사실 연습문제 풀어보고 족보 달달 외우면 성적은 잘 나오는데 고등학교와 다를께 없어 회의감이 많이 듭니다. 이러려고 비싼 돈 들여서 대학왔나 싶어서요. 그래서 여쭤보고 싶은게 공부를 어떤 식으로 하셨는지가 궁금합니다. 공학 기술과 수학적 도구의 의미와 그것을 사용하는 이유를 깨닫는 공부 방법이요.
안녕하세요. 질문 감사드립니다. 너무 좋은 질문인데, 제가 이런 중요한 질문에 대답해드릴 수 있을 만한 사람인지 고민해보았습니다. 부족하지만, 제 경험을 바탕으로 짧게나마 조언드리고자 합니다. 먼저, '나무보다는 숲'을 보기가 어렵다고 말씀해주셨는데, 그건 당연한 것 같습니다. 처음 접해보는 개념들이 대부분이기 때문이고 아직은 배경 지식이 부족할 수 있기 때문이라고 생각합니다. 너무 회의적으로 받아들이지는 마시고 제가 보기에는 좋은 학자가 될 수 있는 태도를 갖고 있는 것으로 보여서 오히려 긍정적으로 보입니다. 각설하여서, '나무보다는 숲을 보는 공부 방법'에 대해서 질문해주셨는데 저의 대답은 두 가지 입니다. 첫번째는 '의심하라(질문하라)'입니다. 수업 시간에 사소하게 정의(definition)만을 알아보고 넘어가는 개념들에 대해서 끊임없이 의심(질문)해야 합니다. 특히 저는 '어떤 유용성이 있어서 이 개념을 도입했어야 했나?' 혹은 '어떤 근본적 원리가 이 안에 숨어있는가?'에 대해 알아보고자 노력했던 것 같습니다. 먼저는 교수님이나 주변 친구들에게 질문(혹은 토론)해보세요. 그 과정에서 스스로 답을 찾을 수도 있습니다. 주변 사람들로부터 답을 얻을 수 없다면 인터넷 커뮤니티에 물어봐도 좋을 것 같네요. 두 번째는 '교과서를 다시 한번 더 읽어보라'입니다. 이해되지 않던 개념에 대해서 몇날 며칠을 고민하다가 한참 뒤에 교과서를 다시 읽어보면 내가 깨달았던 내용들이 책 안에 이미 고스란히 담겨있던 것임을 경험을 할 수 있습니다. 특히, 이해가 되지 않는 개념의 "용어(이름)"를 다시 한번 잘 곱씹어보세요. 처음 이 개념을 정립한 사람은 그 개념이 담고 있는 내용을 함축한 이름을 만들기 위해서 몇날 며칠을 고민했을 겁니다. 마무리하자면, '숲을 볼 수 있게 되는 것'은 시간이 많이 걸리는 일입니다. 너무 조급해하지 마세요. 또, 내가 '숲을 보고 있구나'라고 느끼는 깨달음이 오더라도 그 깨달음은 또 깨질 수도 있습니다. 그럴 때는 너무 자괴감 갖지도 마시구요. 화이팅입니다. 공돌이 드림
답변 감사합니다! 매우 바쁘실텐데 이렇게 장문으로 답변해주실줄은 정말 몰랐네요. 정말 정말 정말 감사합니다. 비록 인터넷 공간이지만 좋은 선배를 알게 된 것 같아 기분이 좋습니다. 제가 개인사로 인해 학교를 몇년 쉬었다가 다시 공부를 시작하는데, 주신 조언을 바탕으로 열심히 공부하겠습니다. 앞으로도 올려주신 강의 영상 보고 제것으로 만들겠습니다. 항상 건강하세요.
공간상에서 온도의 변화를 표현할때 편미분을 이용하는데 엄밀한 물리적 표현으로는 이상하다고 느껴집니다. 일단 저의 생각을 말하자면 온도의 공간에 대한 함수를 T(x,y,z)라 할때 편미분시 두가지 공간 변수를 상수로 보고 x축 공간 변화만 있을경우의 온도 변화를 나타내고 나머지 y축 z축도 나머지 변수를 상수로 보고 변화를 나타내는데 엄밀하게 보면 입자가 한 축으로만 이동하는게 아닌 x,y,z축으로 각각 dx,dy,dz 미소간격으로 이동 하였을때 3축을 동시에 운동하므로 변화량은 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)으로 봐야하는거 아닌가요? 한마디로 실제로는 3축에 대해 동시에 입자가 이동하므로 그 입자에 작용하는 온도는 3변수중(xyz) 한축만 이동한다고 가정하고 각각의 축에 대한 변화율을 더한것은 근접할수는 있겠지만 다르다고 생각되어지는데 이에 대한 공리 같은게 있을까요?? 정리하면 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)의 x성분의 온도 변화크기와 T(x+dx,y,z)-T(x,y,z)의 온도 변화크기가 다른것이 아닌가가 궁금하네요 y와z성분도 마찬가지로 T(x,y+dy,z)-T(x,y,z)와 T(x,y,z+dz)-T(x,y,z)또한 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)의 각각의 y,z성분과 다르다고 생각합니다.
안녕하세요 질문이있어 댓글남겨요 지금까지 배웠던 개념을 정리하면 Gradient는 함수 f의 각 x,y축에 대한 기울기며 이가 가지고 있는 의미는 함수가 어느 방향으로 커지는가 이고, Div(발산)의 의미는 헷갈리는데 1. 밀도 변화량 2. 단위 부피당 유량 1번 개념으로 이해하자면, 점(0,0)에서 div(f)의 값이 최저치라 밀도가 가장 높아야하는데 (0,0)보다 조금 위인 (2,2)에서 sink가 생겨 밀도가 가장 높은데 이런 해석방법이 맞는건지.... Div가 가지는 물리적 의미를 알려고 하는데 너무 헷갈리네요.... 2번으로 해석하자면 (10,10)에서 유량이 가장 크니 gradient가 가장 커야하는데 MATLAB에서 나오는 벡터장 화살표는 (10,10)에서보다 (0,0)에서가 더 크고 div의 음수와 양수가 어떤 차이인지 이해가 잘 안됩니다ㅠㅜ DIV이 가지는 물리적 의미를 어떻게 해석해야하는지와 div의 음수 양수가 각각 어떤 물리적의미를 가지는지 설명좀 부탁드립니다
발산의 물리적 의미는 말씀하신 내용 중 2번이 맞는 것입니다. 단위 면적(혹은 부피)당 유량의 차이로 보시면 됩니다. 그리고 말씀하신 내용에서 (10,10)에서 유량이 가장 크니 gradient가 가장 커야한다는 것은 무슨 말씀이신지 잘 모르겠습니다만, (10,10)과 (0,0)에서 각각 보아야 하는 것은 한 점에서의 유량이 아니라 그 점 주변에서의 유량 차이입니다. 또, div의 부호는 들어가고 나가는 벡터의 순 합이 양인지 음인지에 따라 결정되는 것이라고 할 수 있습니다.
제 생각을 말씀드리면, 시간에 대한 고려는 하지 않는 것이 발산의 기본 바탕이지만 실제로 위 매틀랩은 시간에 대한 고려를 하고 있으므로, 시간을 고려한다고 생각했을 때 시간이 지남에 따라 밀도변화는 줄어든다고 할 수 있다. 그러나 공간상의 변화를 고려했을 때는 divF>0이 맞다. 이게 맞나요?
말씀하신 부분이 일리가 있습니다. 사실 밀도가 줄어든다라고 말하는건 엄밀히 말하면 성립하지 않는 얘기입니다. 그저 이해를 돕기 위해서 쓴 표현이라고 봐주시면 좋을 것 같습니다. 발산값은 해당 포인트에서 양수입니다. 발산은 말씀하신대로 공간상의 변화에 대해 고려해야하고 주변 벡터와의 공간상에서 차이(즉 미분계수)를 보고 결정하면 됩니다.
답변을 희망하며! 질문드려봅니다. 1) divergence와 gradient가 어떤 다변수 함수에 대해서 x,y,z 변수에대해서 편미분하는식으로 생각되는(?)데 영상 두개를 보면 divergence는 크기가 큰 함수값에서 작은 값으로 화살표가 되고(빨강에서 파랑으로) gradient는 반대로 파랑에서 빨강으로 향해있는데 수식적으로 차이가 어떻게 되길래 그런건가요..? 기초가 많이 부족해 여쭤봅니다... 2) 그리고 제가 수중음향전공이라 파동방정식을 많이 사용하는데, 편미분 두번(나블라를 두번 취한) 한다의 의미는 직관적으로 함수가 위로 볼록 혹은 아래로 볼록 변하는것을 확인할수 있다고 다른영상에서 봤는데 또 갖는 직관적의미가 있을까요?
심심해서 이 채널까지 흘러들어온 고3입니다 ! 그래디언트나 컬, 나머지 지표들은 잘 이해가 되는데 발산만 뭔가 애매한 부분이 있어서 질문드립니다 ! 1) 벡터장에서 말하는 벡터는 무슨 뜻을 가지는 벡터인가요? 그리고 위치 변화에 따른 벡터값의 변화가 밀도변화를 뜻하는 이유는 무엇인가요...? 그냥 순간적인 벡터 변화에 대한 값을 뜻하는 것 인가요? 2) x방향으로의 변화와 y방향으로의 변화를 더하면 두 값이 벡터인 이상 두 수직 방향의 변화값을 더한다는 개념인 것 같은데요 ! 발산이 클수록 벡터의 변화가 우상향, 음수방향으로 클수록 좌하향한다는 의미인 것인가요? 만약 그렇다면 큰 변화폭으로 좌상향하는 지점의 발산값은 0이 되어서 지표의 의미가 (씹혀버리는 것 아닌가요....?) 오히려 두 편미분값의 절댓값의 합이라면 이해하겠는데, 그냥 합이라 매우 헷갈립니다 ㅠㅠㅠ 수능이나 공부해야할 고3이 여기있어서 죄송하구요 (사정이 있습니다..) 항상 영상 잘 보고 있습니다! 앞으로도 활발한 활동(?) 부탁드립니다 ^^
안녕하세요! 환영합니다 :) 1-1) 벡터장에서 말하는 벡터라는 것은, 가령 2차원 실수공간 상에서 벡터장을 생각하자고 해봅시다. 그러면, 모든 x, y 좌표에 대해 크기와 방향을 갖는 벡터를 매핑할 수 있을 겁니다. 이것은 x, y 두 개의 입력을 받는 함수를 이용할 수 있겠지요. 이것이 벡터장의 벡터를 생각하는 방법입니다. 1-2) 위치 변화에 따른 벡터값의 변화가 밀도변화를 뜻하는 이유? 이 질문이 어떤 의미인지 잘 이해가 되지 않습니다만, 제가 이해하는 대로 설명드리자면, 앞서 모든 x, y 좌표에 대해 벡터를 생각할 수 있다고 했습니다. 따라서, 주어진 x, y에 대해서 매우 작은 위치의 변화를 생각하면, x+h와 y+h에서의 벡터의 크기와 방향도 생각할 수 있겠지요. 그렇다면, 그 두 벡터에 대해서 변화율을 생각한다면, 그것이 미분계수를 뜻하게 될 것 입니다. 이것에 말씀하시는 '밀도 변화'인 것 같습니다. 다시 말해 다변수 입력을 갖는 함수에 대해서 미분계수를 구하면 모든 x, y에 대한 벡터의 변화율을 생각할 수 있는 것입니다. 2) 발산이 클 수록 변화가 우상향(?), 음수방향으로 클수록 좌하향(?). 이 질문도 잘 이해가 되지 않는데요 (ㅠㅠ). 벡터장에서의 미분계수는 주어진 x, y 좌표와 그 주변의 좌표 x+h, y+h에서 주어진 벡터들의 차이를 생각하는 것으로 생각하면 됩니다. 하지만, 결국은 x방향으로의 벡터는 x 방향에서만 차이를 확인하면 되고, y 방향으로의 벡터는 y 방향에서만 차이를 확인하면 됩니다. 이 질문도 한번 더 다듬어서 말씀해주시면 답변 드리는데 더 도움될 것 같습니다... ^^
@@AngeloYeo 보통 변화율의 분모에 들어가는 미소길이의 변화는 양수니까요, (x,y)에서의 x성분 벡터보다 (x+h,y)에서의 x성분 벡터가 작다고 생각하면, 미분계수가 음수겠죠? 근데 그렇다면 x방향으로의 미분계수 값도 양음을 그질테고, y방향으로의 미분계수 값도 양음을 가질텐데 두 값을 더하면 면적 상에서의 변화를 어떻게 따지는 것인지 모르겠어요 ! 가령, 두 미분계수 값이 모두 0인 상황도 발산이 0일테고, x방향의 미분계수가 -3, y방향의 미분계수가 3인 상황도 발산이 0이잖아요? 그 두 상황의 차이를 발산은 따질 수 없는 지에 대해 궁금해요 !
근데... 정말 고3이 맞으신지... 대단한 통찰력인 것 같습니다. 제 생각에는 이렇습니다. 일단 말씀하신대로 두 미분계수 값이 모두 0인 상황도 발산이 0이고, x 방향의 미분계수와 y 방향의 미분계수가 크기는 동일한데 부호가 다른 경우도 발산이 0입니다. 이것이 뜻하는 바가 무엇일까요? 우선 첫번째 경우에는 주어진 포인트 (x,y)에서나 (x+h, y+h)에서나 벡터의 크기와 방향에 변화가 없다는 뜻일겁니다. 그러니까 발산하지 않는다고 보는 것입니다. 이것은 상식적으로 말이 되겠네요. 두 번째 경우는 주어진 포인트 (x,y)와 (x+h, y+h)에 대해서 x 방향으로는 커지고, y 방향으로는 줄어든다는 얘기가 되겠네요. 발산한다는 것이 무엇일까요? 계속 그 방향으로 커져가는 상태에 있다는 것을 의미한다고 생각할 수 있을 것 같습니다. 그러면, 이 두 번째 경우는 발산하는 경우라고 할 수 있을까요? 조금 과장해서 생각하면 (x, y) 위치의 벡터는 2시 방향이고 (x+h, y+h) 위치의 벡터는 4시 방향을 가르키되, (x+h, y+h) 위치의 벡터에 대해서 x 방향으로 크기는 좀 더 커진다고 하면 이 두 번째 경우를 만족할 수 있을 것 같습니다. 이 경우 (x, y)에서 (x+h, y+h) 방향으로 벡터장의 변화를 생각했을 때 발산한다고 할 수 있을까요? 제가 보기엔 발산한다고 보기는 어렵고 오히려 회전한다고볼 수 있지는 않을까 생각합니다. 그래서, 결론짓자면 말씀하신대로 위의 첫번째 경우와 두번째 경우는 모두 발산값이 0이될 수 있습니다. 그런데, 그 의미가 제 생각에는 두 경우 모두 '발산하지 않는다'라는 뜻으로 볼 수 있기 때문에 모두 발산값이 0으로 취급된다고 생각할 수 있을 것 같습니다.
@@AngeloYeo 아...!!! 이해했습니다 그런 의미가 있군요.... 마지막 질문 하나만 더 드리고 전 이 영상에서 물러나보겠습니다! 발산의 형태가 나블라 연산자와 다변수함수의 내적값과 같잖아요? 혹시 이러한 결론을 도출한 인과는 어떻게 되나요? '지표를 만들고 보니 연산자와 함수를 내적한 값과 일치하더라.'의 경우인가요 아니면 '내적값은 이런 지표로 생각할 수 있다.' 의 경우인가요..? 이 질문은 안 하려고 했는데 궁금한 거 못 참아서 올립니다!! 오늘 정말 감사합니다 ^^
뭐하시는 분이시죠... 말씀하신 부분의 첫번째 경우로 생각하는게 맞다고 생각합니다. 사실 나블라 연산자라는 것은 gradient divergence curl laplacian 등을 쉽게 표현하기 위해서 개발한 벡터화 된 연산자로 보는 것이 맞을 것 같습니다. 그래서 연산자와의 특정 관계를 통해서 발산이 정의될 수 있다고 보기보다는 발산을 정의해놓고 보니(그리고 그레디언트나 컬 등도 마찬가지로...) 나블라 연산자와의 관계로 이렇게 설명하면 깔끔하겠다~ 정도로 나블라 연산자를 만들어냈다고 보는 것이 저는 정답에 더 가깝지 않나 생각합니다 ^^ 근데 진짜 한국에서 공부하시는 고3 맞으신가요? 정말 보기 드문 통찰력이네요... 대학생들보다 훨씬 더 깊이 사고하는 것 같아서 놀랍습니다
올해 이과 지원한 고등학생 2학년입니다. 학교는 지금 적분 들어가기 직전이고 학원에서는 적분을 예습하고 있습니다. 부정적분과 정적분에 대하여 부정적분은 꽤 쉬웠습니다. 근데 정적분을 하는데 절댓값이 포함된 정적분, 주기함수 등 들어도 제대로 이해가 아닌 약 70%정도 이해하고 넘어가는 경우가 있습니다. 이에 관해 미적분 I에서 미분과 적분에 대한 영상을 올려주실수 있으신지 묻고 싶습니다.
안녕하세요. 저는 기하학적 의미가 있다고 생각합니다. 임의의 한 점에 대해서 상하좌우 방향으로 향하는 단위벡터와 내적하게 되면 그 점에서 상하좌우 방향으로 얼마만큼의 변화(혹은 이동 등으로도 표현 가능 할 듯)가 있는지 수치적으로 알 수 있기 때문입니다. 이는 curl의 의미를 생각해보면 더 뚜렷히 드러난다고 생각합니다. (curl에 대해서는 영상 올리지는 않았는데 외적과 관련되어 있습니다)
안녕하세요. 질문 감사합니다. vector analysis는 대학 학부과정에서 보통 배우는 걸로 알고 있습니다. 미적분학 관련 선행 지식을 갖췄다고 했을 때, 2-3주 정도면 기초적인 개념들을 훑어보실 수 있을 것 같습니다. MATLAB에 관한 질문이라면 ... 저는 MATLAB을 본격적으로 사용하기 시작한지는 5-6년 정도 된 것 같네요. 답변이 되셨길 바랍니다 :) 댓글 감사합니다!
오우.. 전공자가 아니라면 쉽게 다가가지 못할 법한 수학을 설명하시는 채널이라니.. 멋지십니다. 제 영상 속에서 심도있는 수학을 설명해야 할 때 이 채널로 토스해드리면 되는것입니까!? 너무 잘 보고 가요! 앞으로도 더욱 많은 수학 컨텐츠 부탁드리겠습니다 :)
과학쿠키님 안녕하세요. 댓글 감사드립니다. 현대 과학(혹은 물리학)에서 사용되는 심도있는 수학을 이해할 수 있을 만한 대단한 내용을 제가 다루지는 못합니다만^^; 기초적인 수학 지식이나 공학(특히 신호처리나 기계학습)에서 필요한 수학 지식들을 제 나름대로 이해한 내용을 바탕으로 정리해 올리고 있습니다. 응원해주셔서 감사하고 과학쿠키님도 건승하세요!
두분 다 멋지십니다. 많이 배우고 가요!
유튜브 이과 짱들 😍
두분 다 굳!!
두 분 다 정말 유익하고 재밌게 보고있습니다:) 감사합니다.
공돌님 진짜 사랑합니다..... 이런 강의영상은 구독자들 천명단위가 아니라. 만명 단위 십만명 단위. 그 이상이 되었으면 해요. ㅜㅜ
감사합니다 선생님 도움 많이 되었어요 :)
발산이 무엇인지 이해하는데 도움이 되었어요 😊 정말 감사합니다!
이해하는데 큰도움을 받았어요 감사합니다~~
전기전자 전공 학부생으로 너무 감사드립니다. 구독도 했고 친구에게도 많이 추천해주고 있습니다. 정말 감사합니다.
안녕하세요. 도움이 되고 있다니 다행입니다 ^^ 주변 친구분들에게 추천도 감사드립니다. 좋은 하루 되세요!
외국꺼로 공부하기 힘들었는데 한국어로 이렇게 유익한 영상 만들어 주셔서 감사합니다.
부족한 영상임에도 댓글 감사드립니다 ㅎ 도움이 되었다면 좋겠습니다 ㅎㅎ
정말 감사합니다.🙂
깔끔한 설명 감사합니다!
응원합니다~~
응원의 댓글 감사합니다 !
좋은 영상 감사합니다 너무 도움이 많이 되었고 매트랩으로 시각적으로 보여주셔서 이해가 쉽게 되네요😄
너무 좋은 강의 감사합니다 ㅠㅠㅠ
사랑합니다
어둠속에서 빛을본다는 느낌
정말 대단하군요.
재밌게 봐주셔서 감사합니다 ^^ 도움 되었으면 좋겠습니다 !
잘 보고 갑니다, 직관적이고 시각적인 설명이 매우 흥미롭습니다. 설명도 차분히 잘 하시구요ㅎ. 전자기학에 필요한 어려운 수학(grad, div, curl 등)을 감미롭게 풀어주셔서 많은 도움을 받았습니다.
고수님께서 좋게 봐주시니 기분이 좋네요 ^^~ 감사합니다😁
앞으로 전개 될 발산정리가 기대되네요!
안녕하세요. 우선은 조금 더 기본적인 개념으로 볼 수 있는 curl, laplacian 등에 대해서 다루는 영상을 만들고 발산정리와 관련된 정리들(그린정리, 가우스 정리)로 넘어가보겠습니다~ 댓글 감사합니다!
lecture들 모두가 유익하고 재미있습니다. 특히 자연상수와 허수에 관한 lecture 잘봤습니다.
혹시 중적분에 대한 강의가 가능할지요?
감사합니다!!ㅎ
도움이 되셨는지요...? ㅎㅎ 댓글 감사드립니다
최고네요
오늘은 어떤 영상을 보며 힐링을 할 까하다가... 얼마전에 장비 하나가... 말썽을 부려 모터 속도가 제어가 안되고... 발산해버리는.. 아주 끔찍한 일이 발생했던 것이 기억이 나서 오늘은 벡터장의 "발산"에 대하여 보고 갑니다... 꿀잼 영상 감사합니다.
의식의 흐름이란 무섭군요 ㅋㅋㅋ 영상 재밌게 봐주셔서 감사합니다 ~!
진짜 완벽하네요... 감사합니다 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
많은 사람이 보는 영상은 못되겠지만 적은 사람들에게 엄청 큰 도움이 될 채널인것 같네 물론 나에게도
좋게 봐주셔서 감사합니다 ~~^^
7:46 쯤에 x량 에서의 변화량과 y량 에서의 변화량이 합친것이 더한 것이라 했는데 어째서 곱하기가 아니라 더한 것일까요?
왜냐면 모든 변화량을 합친것으로 발산을 정의하기 때문입니다~ 그런데 특별히 곱셈으로 발산량을 정의할 필요가 있을까요? 그렇게 되면, 만약 x 방향으로 발산값이 0.1이고, y방향으로 발산값이 100이라면 결국 모든 방향으로의 발산 값은 x 방향으로의 발산 값 때문에 줄어든 것 처럼 보이겠네요.
아무래도 각 방향으로의 발산량을 더한 것으로 발산을 정의한것이 그렇게 나빠보이지는 않는 것 같네요~
그리고, 여기서 중요한 포인트 중 하나는 각 방향으로의 발산 값을 더한다는 것은 결국에 나블라(nabla) 연산자와 벡터필드의 내적으로 정의할 수 있게 되어서 내적의 개념을 확장시킬 수 있다는 장점까지 갖게 된다는 것입니다 ^^
곱하면 각기 다른 방향의 발산값이 서로 영향을 주기 때문에 더하는 게 더 좋아보이는 군요.. 정말 감사합니다!
그래디언트를 설명하신 영상을 보고 이 영상을 보니 좀 헷갈리는데, 그래디언트는 x,y로 이루어진 다변수 함수를 x,y에 대해 각각 편미분해서 더한것이고, 이영상에서 다이버전스 설명도 x,y에 대해 각각 편미분해서 더한것이다라고 이해를 했는데, 그러면 그래디언트와 다이버전스는 같은것인가요??
이해가 잘안되는거 같습니다. 많이 헷갈리네요ㅠㅠ
오우... 그레디언트는 벡터이고 다이벌전스는 스칼라량입니다... 그레디언트는 각 방향에 대한 기울기 성분이 편미분으로 계산되는 것이구요 ㅎ 그런 뒤에 각 방향 끼리 더한다고 한 것은 벡터를 생각하려면 각 성분들이 더해져 표현되니까 그렇게 말씀드렸던 것입니다. 반면에 발산의 경우에는 각 방향에 대한 변화량의 총합을 말해준다고 할 수 있습니다. 혹시 도움 되셨을까용...?
@@AngeloYeo 그럼 그래디언트와 다이버전스 둘다 수행하는 방식은 x,y에 대해 각각 편미분해서 더하는, 즉 방식은 똑같다라고 이해해도 될까요??
아니요 그레디언트는 더할 필요까지는 없습니다... x y 혹은 x y z 에 대한 성분이 따로 존재하는 것이고 다만 시각화를 위해 더한것 뿐입니다 ~
@@AngeloYeo 빠른 답변 감사합니다! 이제 다가오는 주에 초고주파 공학이랑, 반도체 공학 시험을 보는데 전자기학에 대해서 배웠는데도 하나도 이해를 못하고, 수학적으로도 제대로 알고있는게 없어서 이제서야 늦은 공부를 하고있네요ㅠㅠ 차근차근 하나씩 해나가야 될거같습니다...
@@DKKim-vs7po 와우... ㅠㅠ 차근차근 준비해보셔서 좋은 결과 거두시길 기원드려요 😁
전자기학 공부할떄 많이 도움이 되었습니다
감사합니다
영상 잘봤습니다. 이해가 잘 되네요. 처음 공부하는 입장에서는 저렇게 시뮬레이션을 봐야 이해가 되는건데, 왜 대부분의 가르쳐주는 사람들은 말로만 몇마디하고 이해했다고 생각하는걸까요...
강의 너무 잘듣고 있습니다. 한가지 질문이 있는데 수열에서도 발산을 divergence라고 하고 벡터장에서도 발산을 divergence라고 소개하는데 이 두가지가 그저 다른 개념으로 각각 받아드려야하나요? 아니면 연결된 개념이 있을까요?
전혀 관계 없는 개념입니다.
뭔가 알것 같으면서도 돌아서면 까먹는...ㅠ
공돌님 안녕하세요
1. 11분 32초쯤 source라고 표시하신 부분에서, 화살표들이 나오고 있는데요, 오른쪽 위쪽으로 가면 발산 값이 커지고 왼쪽 아래로 가면 0이 되었다가 음으로 됩니다. 즉 source라고 표시하신 부분 근처에서 모든 방향으로 퍼져나가지만 퍼져나가는 유속(속력)이 동일하지는 않은 것 같은데, 이 경우에도 source라고 해도 되는 건가요?
2. 발산 값이 해당 포인트에서 변한다면 이는 나가는 유량이 들어오는 유량보다 많다는 의미이고(유량의 단위 : kg/sec) 해당점에서 입자가 생성되는 것을 의미한다고 할 수는 없나요? 즉 이런 의미에서는 발산값이 0 이상이면 모두 source라고 할수는 없는건지요?
안녕하세요. 발산값이 0보다 크다고 해서 꼭 source가 되는 것은 아니고 발산값이 0보다 작다고해서 꼭 sink가 되는 것은 아닙니다. 예시에 사용된 벡터장이 모든 방향으로 퍼져나가되 source와 sink 외의 부분 에서는 유속(속력)이 일정한 경우에만 그렇게 얘기할 수 있을 것 같습니다.
예전에도 관련 질문 올려주셨던 것으로 기억하는데, 아무래도 제가 만든 예시 벡터장이 source와 sink를 설명하기에는 적절한 예시는 아니었던 것 같습니다 ㅠㅠ
좋은 강의 감사합니다. 하나 질문 드리자면 화살표가 모이는 곳이 sink라고 하셨습니다. 벡터장으로 보면 그렇게 보이지만(예를 들면 2,2에서는 영벡터) div F로 보면 그 주위 영역도 음의 값이고 오히려 왼쪽 아래로 갈수록 이 값이 음의 값으로 증가하는데 이런 곳들은 sink가 아닌가요?
즉, div F가 음수 = sink 가 맞는지 궁금합니다
위의 벡터장이 유량응 표현한 것이라 가정하면 2,2에서 유량이 0이 되고 해당 위치로 입자가 가서 사라지는 것 처럼 보이지만, 사실은 div F가 0보다 작은 지점에서는 입자들이 사라지고 있는 거 아닐까 합니다
이졸리님 안녕하세요.
우선 후원해주신 것 너무 감사합니다. 보통 후원해주시는 분들에게 메세지 보낼 수 있는 방법이 없는 편인데, 이렇게 직접 메세지 드릴 수 있으니 그것도 기분이 좋고 그러네요 ㅎㅎ
일단은 divF가 음수라고 꼭 그 부분이 sink라고 할 수는 없습니다.
우선 말씀하신 그림에서 제가 사용했던 벡터장의 식은
f(x,y) = (x-2)(x-8) i + (y-2)(y-8) j 입니다.
이 벡터장의 발산을 계산하면
nabla f = 2x+2y-20
임을 알 수 있습니다.
따라서 이 벡터장의 divergence는 x와 y의 값이 둘다 커지면 함께 커지고 x와 y의 값이 둘 다 작아지면 함께 작아집니다. 반면, y = -x + 10이라는 경계에서 divergence = 0인 경계선이 생기게 됩니다.
그래서 왼쪽 아래로 갈 수록 divergence의 값이 더 커지게 되는 것이구요.
그리고 또 한 가지 더 언급하자면 divergence는 주변 유량의 속도에 대한 '변화량'입니다. 즉, 속도가 얼마나 많이 변하는가를 언급하고 있는 것입니다.
div F 가 음수일 때 그 부분이 꼭 sink이기 위해서는 그 외의 다른 부분에서는 유속이 일정하고, 해당 부분에서만 유속의 변화가 커야 할 것 같습니다.
혹시 이해에 도움이 되셨을까요... ?
부정확한 부분이나 이해가 안되시는 부분 있다면 한번 더 언급 부탁드리겠습니다! 감사합니다.
상세답변감사드립니다.
1. 그렇다면 벡터장 그래프 없이 divF 그래프만 가지고 어디가 sink이고 source인지는 모르는 건가요?
2. divF가 음이라는 것은 예를들면 기름의 유량(mol/sec)의 변화가 작아진다는 것이고 이것이 의미하는 것이 해당 위치에서 기름 자체가 사라져서 줄수도 있지만(sink), 주위에 sink가 존재함으로써도 음의 값이 나올 수 있다고 봐도 되는 걸까요?
안녕하세요.
1. 만약 sink 주변의 point에서만 급격하게 유속의 변화가 빨라지고 그 point로 particle들이 들어가고, 다른 point에서는 유속의 변화가 일정하다면 divF의 그래프만 가지고 sink인지를 판단할 수 있겠습니다.
sourc도 마찬가지이구요. 그래서 상황에 따라서 다르다고 할 수 있겠습니다.
다시 한번 강조드리자면 div F는 결국 '변화량'을 나타내는 것입니다.
2. divF가 음이라는 것은 말씀하신 것과 반대로 기름의 유량의 변화가 커지는 것을 의미합니다. 다만 divF의 부호가 음이라는 것은 그 방향이 해당 point 주변으로 particle들이 가속되어서 **모여들고 있음**을 의미합니다.
주위에 sink가 존재한다고해서 꼭 divF가 음의 값이 나온다고 보기 보다는... 제가 영상에서 보여드렸던 예시에서는 sink 쪽에서 먼 곳 (가령, 왼쪽 아래)에서도 유속이 더 빠른 경우이기 때문에 sink point가 아님에도 더 큰 음의 div F 값이 나타났던 것으로 보아야 합니다... 제가 영상에서 보여드린 예시가 혼란을 드린 것 같네요.
감사합니다.. 마지막으로 하나 더 여쭤보면 2. divF가 음으로 크다는 것은 그 지점(미소부피)으로 유량이 크게 들어오지만 나가는 것은 들어온 것 대비 훨씬 적다로 이해하면 되는건가요?
넵 벡터의 표현은 결국 net sum이 표현된 것이기 때문에 그렇게 이해해도 좋을것 같습니다
올려주신 영상들 잘 보고 있습니다. 항상 감사합니다. 이런 강의를 무료로 볼 수 있다니 ㅠㅠ
실례가 안된다면 질문 한가지 드려도 될까요?? 저는 전기전자공학부에서 공부하는 학부생입니다. 강의 영상을 보면서 항상 느끼는 건데 나무보다는 숲(물리적, 공학적인 의미와 이유)을 알려주셔서 도움이 많이 됩니다. 그런데 학교에서 교수님께 수업을 들을 때나 혼자 전공책 보고 공부할 때는 숲을 보기가 힘듭니다.ㅜㅜ 사실 연습문제 풀어보고 족보 달달 외우면 성적은 잘 나오는데 고등학교와 다를께 없어 회의감이 많이 듭니다. 이러려고 비싼 돈 들여서 대학왔나 싶어서요. 그래서 여쭤보고 싶은게 공부를 어떤 식으로 하셨는지가 궁금합니다. 공학 기술과 수학적 도구의 의미와 그것을 사용하는 이유를 깨닫는 공부 방법이요.
안녕하세요. 질문 감사드립니다. 너무 좋은 질문인데, 제가 이런 중요한 질문에 대답해드릴 수 있을 만한 사람인지 고민해보았습니다. 부족하지만, 제 경험을 바탕으로 짧게나마 조언드리고자 합니다.
먼저, '나무보다는 숲'을 보기가 어렵다고 말씀해주셨는데, 그건 당연한 것 같습니다. 처음 접해보는 개념들이 대부분이기 때문이고 아직은 배경 지식이 부족할 수 있기 때문이라고 생각합니다. 너무 회의적으로 받아들이지는 마시고 제가 보기에는 좋은 학자가 될 수 있는 태도를 갖고 있는 것으로 보여서 오히려 긍정적으로 보입니다.
각설하여서, '나무보다는 숲을 보는 공부 방법'에 대해서 질문해주셨는데 저의 대답은 두 가지 입니다. 첫번째는 '의심하라(질문하라)'입니다. 수업 시간에 사소하게 정의(definition)만을 알아보고 넘어가는 개념들에 대해서 끊임없이 의심(질문)해야 합니다. 특히 저는 '어떤 유용성이 있어서 이 개념을 도입했어야 했나?' 혹은 '어떤 근본적 원리가 이 안에 숨어있는가?'에 대해 알아보고자 노력했던 것 같습니다. 먼저는 교수님이나 주변 친구들에게 질문(혹은 토론)해보세요. 그 과정에서 스스로 답을 찾을 수도 있습니다. 주변 사람들로부터 답을 얻을 수 없다면 인터넷 커뮤니티에 물어봐도 좋을 것 같네요. 두 번째는 '교과서를 다시 한번 더 읽어보라'입니다. 이해되지 않던 개념에 대해서 몇날 며칠을 고민하다가 한참 뒤에 교과서를 다시 읽어보면 내가 깨달았던 내용들이 책 안에 이미 고스란히 담겨있던 것임을 경험을 할 수 있습니다. 특히, 이해가 되지 않는 개념의 "용어(이름)"를 다시 한번 잘 곱씹어보세요. 처음 이 개념을 정립한 사람은 그 개념이 담고 있는 내용을 함축한 이름을 만들기 위해서 몇날 며칠을 고민했을 겁니다.
마무리하자면, '숲을 볼 수 있게 되는 것'은 시간이 많이 걸리는 일입니다. 너무 조급해하지 마세요. 또, 내가 '숲을 보고 있구나'라고 느끼는 깨달음이 오더라도 그 깨달음은 또 깨질 수도 있습니다. 그럴 때는 너무 자괴감 갖지도 마시구요.
화이팅입니다.
공돌이 드림
답변 감사합니다! 매우 바쁘실텐데 이렇게 장문으로 답변해주실줄은 정말 몰랐네요. 정말 정말 정말 감사합니다.
비록 인터넷 공간이지만 좋은 선배를 알게 된 것 같아 기분이 좋습니다. 제가 개인사로 인해 학교를 몇년 쉬었다가 다시 공부를 시작하는데, 주신 조언을 바탕으로 열심히 공부하겠습니다.
앞으로도 올려주신 강의 영상 보고 제것으로 만들겠습니다. 항상 건강하세요.
공간상에서 온도의 변화를 표현할때 편미분을 이용하는데 엄밀한 물리적 표현으로는 이상하다고 느껴집니다.
일단 저의 생각을 말하자면 온도의 공간에 대한 함수를 T(x,y,z)라 할때 편미분시 두가지 공간 변수를 상수로 보고 x축 공간 변화만 있을경우의 온도 변화를 나타내고 나머지 y축 z축도 나머지 변수를 상수로 보고 변화를 나타내는데 엄밀하게 보면 입자가 한 축으로만 이동하는게 아닌 x,y,z축으로 각각 dx,dy,dz 미소간격으로 이동 하였을때 3축을 동시에 운동하므로 변화량은 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)으로 봐야하는거 아닌가요?
한마디로 실제로는 3축에 대해 동시에 입자가 이동하므로 그 입자에 작용하는 온도는 3변수중(xyz) 한축만 이동한다고 가정하고 각각의 축에 대한 변화율을 더한것은 근접할수는 있겠지만 다르다고 생각되어지는데 이에 대한 공리 같은게 있을까요??
정리하면 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)의 x성분의 온도 변화크기와 T(x+dx,y,z)-T(x,y,z)의 온도 변화크기가 다른것이 아닌가가 궁금하네요 y와z성분도 마찬가지로 T(x,y+dy,z)-T(x,y,z)와 T(x,y,z+dz)-T(x,y,z)또한 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)의 각각의 y,z성분과 다르다고 생각합니다.
혹시 벡터의 수렴과 발산 방향은 무엇으로 파악할 수 있나요?
안녕하세요 질문이있어 댓글남겨요
지금까지 배웠던 개념을 정리하면
Gradient는 함수 f의 각 x,y축에 대한 기울기며 이가 가지고 있는 의미는 함수가 어느 방향으로 커지는가 이고,
Div(발산)의 의미는 헷갈리는데
1. 밀도 변화량
2. 단위 부피당 유량
1번 개념으로 이해하자면, 점(0,0)에서 div(f)의 값이 최저치라 밀도가 가장 높아야하는데 (0,0)보다 조금 위인 (2,2)에서 sink가 생겨 밀도가 가장 높은데 이런 해석방법이 맞는건지....
Div가 가지는 물리적 의미를 알려고 하는데 너무 헷갈리네요....
2번으로 해석하자면 (10,10)에서 유량이 가장 크니 gradient가 가장 커야하는데 MATLAB에서 나오는 벡터장 화살표는 (10,10)에서보다 (0,0)에서가 더 크고 div의 음수와 양수가 어떤 차이인지 이해가 잘 안됩니다ㅠㅜ
DIV이 가지는 물리적 의미를 어떻게 해석해야하는지와 div의 음수 양수가 각각 어떤 물리적의미를 가지는지 설명좀 부탁드립니다
발산의 물리적 의미는 말씀하신 내용 중 2번이 맞는 것입니다. 단위 면적(혹은 부피)당 유량의 차이로 보시면 됩니다.
그리고 말씀하신 내용에서 (10,10)에서 유량이 가장 크니 gradient가 가장 커야한다는 것은 무슨 말씀이신지 잘 모르겠습니다만, (10,10)과 (0,0)에서 각각 보아야 하는 것은 한 점에서의 유량이 아니라 그 점 주변에서의 유량 차이입니다.
또, div의 부호는 들어가고 나가는 벡터의 순 합이 양인지 음인지에 따라 결정되는 것이라고 할 수 있습니다.
대학원 과정 중인데,, 공돌이님의 뇌를 빌리고 싶네요^^
안녕하세요 ^^; 힘든 과정일텐데 수고가 많으십니다 ㅎ 저도 몇년 대원생과정으로 있었는데 제 수준으로 도움이 될 수 있을까요 ㅎㅎ 재밌는 댓글 감사드립니다 ^^
@@AngeloYeo 제가 학사까지 문과였는데 지금 미국 대학원 공학석사하고 있습니다ㅎ 교수들이 다 알고있다고 생각하고 넘어가는 부분들이 많아서 유투브로 자주 찾아보게 되네요ㅎ 많은 도움이 되었고 앞으로도 그럴것 같네요^^
오 전공을 바꾸는게 정말 어려운 일인데... 꼭 완주하시고 값진 결과 얻으시길 바랍니다 ㅎ
@@AngeloYeo 군인 대학원이라 어떻게든 졸업은 시켜줄것같은데.. 제가 끌려다니는게 싫어서 열심히 하고 있습니다ㅎㅎ 공돌이님도 유투브 번창하셨으면 좋겠네요^^
감사합니다. 궁금한 점이 있는데, source에 해당하는 부분의 밀도변화 양상이 줄어든다(10:22)고 하셨는데, 그러면 divF
제 생각을 말씀드리면, 시간에 대한 고려는 하지 않는 것이 발산의 기본 바탕이지만 실제로 위 매틀랩은 시간에 대한 고려를 하고 있으므로, 시간을 고려한다고 생각했을 때 시간이 지남에 따라 밀도변화는 줄어든다고 할 수 있다. 그러나 공간상의 변화를 고려했을 때는 divF>0이 맞다. 이게 맞나요?
말씀하신 부분이 일리가 있습니다. 사실 밀도가 줄어든다라고 말하는건 엄밀히 말하면 성립하지 않는 얘기입니다. 그저 이해를 돕기 위해서 쓴 표현이라고 봐주시면 좋을 것 같습니다.
발산값은 해당 포인트에서 양수입니다. 발산은 말씀하신대로 공간상의 변화에 대해 고려해야하고 주변 벡터와의 공간상에서 차이(즉 미분계수)를 보고 결정하면 됩니다.
감사합니다 정말 많이 배우고 있습니다
보다가 뒷부분에서 약간 질문거리가 생겼긴 하지만... 이런 건 댓글로 묻고답하기 부적절한 거 같아서 제가 공부해볼게요 :) 영상 잘 보고 갑니다! + 메트랩이 어떤 건지 얼핏 잘 보고 갑니다!
답변을 희망하며! 질문드려봅니다.
1) divergence와 gradient가 어떤 다변수 함수에 대해서 x,y,z 변수에대해서 편미분하는식으로 생각되는(?)데 영상 두개를 보면 divergence는 크기가 큰 함수값에서 작은 값으로 화살표가 되고(빨강에서 파랑으로) gradient는 반대로 파랑에서 빨강으로 향해있는데 수식적으로 차이가 어떻게 되길래 그런건가요..? 기초가 많이 부족해 여쭤봅니다...
2) 그리고 제가 수중음향전공이라 파동방정식을 많이 사용하는데, 편미분 두번(나블라를 두번 취한) 한다의 의미는 직관적으로 함수가 위로 볼록 혹은 아래로 볼록 변하는것을 확인할수 있다고 다른영상에서 봤는데 또 갖는 직관적의미가 있을까요?
일단 2번에 대해서 먼저 말씀드리면 2계 도함수를 이용한 것 중 라플라시안은 스칼라함수에서 주변 값들의 평균값을 의미할 수도 있습니다. 자세한 설명은 라플라스 방정식의 의미편을 참고해주세요~
@@AngeloYeo 답변 정말감사합니다 좋은날되세요!
앞 영상하고 이 영상하고 같은건가요??
다른겁니다
심심해서 이 채널까지 흘러들어온 고3입니다 !
그래디언트나 컬, 나머지 지표들은 잘 이해가 되는데 발산만 뭔가 애매한 부분이 있어서 질문드립니다 !
1) 벡터장에서 말하는 벡터는 무슨 뜻을 가지는 벡터인가요? 그리고 위치 변화에 따른 벡터값의 변화가 밀도변화를 뜻하는 이유는 무엇인가요...? 그냥 순간적인 벡터 변화에 대한 값을 뜻하는 것 인가요?
2) x방향으로의 변화와 y방향으로의 변화를 더하면 두 값이 벡터인 이상 두 수직 방향의 변화값을 더한다는 개념인 것 같은데요 ! 발산이 클수록 벡터의 변화가 우상향, 음수방향으로 클수록 좌하향한다는 의미인 것인가요? 만약 그렇다면 큰 변화폭으로 좌상향하는 지점의 발산값은 0이 되어서 지표의 의미가 (씹혀버리는 것 아닌가요....?) 오히려 두 편미분값의 절댓값의 합이라면 이해하겠는데, 그냥 합이라 매우 헷갈립니다 ㅠㅠㅠ
수능이나 공부해야할 고3이 여기있어서 죄송하구요
(사정이 있습니다..)
항상 영상 잘 보고 있습니다! 앞으로도 활발한 활동(?) 부탁드립니다 ^^
안녕하세요! 환영합니다 :)
1-1) 벡터장에서 말하는 벡터라는 것은, 가령 2차원 실수공간 상에서 벡터장을 생각하자고 해봅시다. 그러면, 모든 x, y 좌표에 대해 크기와 방향을 갖는 벡터를 매핑할 수 있을 겁니다. 이것은 x, y 두 개의 입력을 받는 함수를 이용할 수 있겠지요. 이것이 벡터장의 벡터를 생각하는 방법입니다.
1-2) 위치 변화에 따른 벡터값의 변화가 밀도변화를 뜻하는 이유?
이 질문이 어떤 의미인지 잘 이해가 되지 않습니다만, 제가 이해하는 대로 설명드리자면, 앞서 모든 x, y 좌표에 대해 벡터를 생각할 수 있다고 했습니다. 따라서, 주어진 x, y에 대해서 매우 작은 위치의 변화를 생각하면, x+h와 y+h에서의 벡터의 크기와 방향도 생각할 수 있겠지요. 그렇다면, 그 두 벡터에 대해서 변화율을 생각한다면, 그것이 미분계수를 뜻하게 될 것 입니다. 이것에 말씀하시는 '밀도 변화'인 것 같습니다. 다시 말해 다변수 입력을 갖는 함수에 대해서 미분계수를 구하면 모든 x, y에 대한 벡터의 변화율을 생각할 수 있는 것입니다.
2) 발산이 클 수록 변화가 우상향(?), 음수방향으로 클수록 좌하향(?).
이 질문도 잘 이해가 되지 않는데요 (ㅠㅠ). 벡터장에서의 미분계수는 주어진 x, y 좌표와 그 주변의 좌표 x+h, y+h에서 주어진 벡터들의 차이를 생각하는 것으로 생각하면 됩니다.
하지만, 결국은 x방향으로의 벡터는 x 방향에서만 차이를 확인하면 되고, y 방향으로의 벡터는 y 방향에서만 차이를 확인하면 됩니다. 이 질문도 한번 더 다듬어서 말씀해주시면 답변 드리는데 더 도움될 것 같습니다...
^^
@@AngeloYeo 보통 변화율의 분모에 들어가는 미소길이의 변화는 양수니까요, (x,y)에서의 x성분 벡터보다 (x+h,y)에서의 x성분 벡터가 작다고 생각하면, 미분계수가 음수겠죠?
근데 그렇다면 x방향으로의 미분계수 값도 양음을 그질테고, y방향으로의 미분계수 값도 양음을 가질텐데 두 값을 더하면 면적 상에서의 변화를 어떻게 따지는 것인지 모르겠어요 !
가령, 두 미분계수 값이 모두 0인 상황도 발산이 0일테고, x방향의 미분계수가 -3, y방향의 미분계수가 3인 상황도 발산이 0이잖아요?
그 두 상황의 차이를 발산은 따질 수 없는 지에 대해 궁금해요 !
근데... 정말 고3이 맞으신지... 대단한 통찰력인 것 같습니다.
제 생각에는 이렇습니다.
일단 말씀하신대로 두 미분계수 값이 모두 0인 상황도 발산이 0이고, x 방향의 미분계수와 y 방향의 미분계수가 크기는 동일한데 부호가 다른 경우도 발산이 0입니다. 이것이 뜻하는 바가 무엇일까요?
우선 첫번째 경우에는 주어진 포인트 (x,y)에서나 (x+h, y+h)에서나 벡터의 크기와 방향에 변화가 없다는 뜻일겁니다. 그러니까 발산하지 않는다고 보는 것입니다. 이것은 상식적으로 말이 되겠네요.
두 번째 경우는 주어진 포인트 (x,y)와 (x+h, y+h)에 대해서 x 방향으로는 커지고, y 방향으로는 줄어든다는 얘기가 되겠네요.
발산한다는 것이 무엇일까요? 계속 그 방향으로 커져가는 상태에 있다는 것을 의미한다고 생각할 수 있을 것 같습니다. 그러면, 이 두 번째 경우는 발산하는 경우라고 할 수 있을까요? 조금 과장해서 생각하면 (x, y) 위치의 벡터는 2시 방향이고 (x+h, y+h) 위치의 벡터는 4시 방향을 가르키되, (x+h, y+h) 위치의 벡터에 대해서 x 방향으로 크기는 좀 더 커진다고 하면 이 두 번째 경우를 만족할 수 있을 것 같습니다.
이 경우 (x, y)에서 (x+h, y+h) 방향으로 벡터장의 변화를 생각했을 때 발산한다고 할 수 있을까요? 제가 보기엔 발산한다고 보기는 어렵고 오히려 회전한다고볼 수 있지는 않을까 생각합니다.
그래서, 결론짓자면 말씀하신대로 위의 첫번째 경우와 두번째 경우는 모두 발산값이 0이될 수 있습니다. 그런데, 그 의미가 제 생각에는 두 경우 모두 '발산하지 않는다'라는 뜻으로 볼 수 있기 때문에 모두 발산값이 0으로 취급된다고 생각할 수 있을 것 같습니다.
@@AngeloYeo 아...!!! 이해했습니다
그런 의미가 있군요....
마지막 질문 하나만 더 드리고 전 이 영상에서 물러나보겠습니다!
발산의 형태가 나블라 연산자와 다변수함수의 내적값과 같잖아요? 혹시 이러한 결론을 도출한 인과는 어떻게 되나요?
'지표를 만들고 보니 연산자와 함수를 내적한 값과 일치하더라.'의 경우인가요 아니면 '내적값은 이런 지표로 생각할 수 있다.' 의 경우인가요..?
이 질문은 안 하려고 했는데 궁금한 거 못 참아서 올립니다!! 오늘 정말 감사합니다 ^^
뭐하시는 분이시죠...
말씀하신 부분의 첫번째 경우로 생각하는게 맞다고 생각합니다. 사실 나블라 연산자라는 것은 gradient divergence curl laplacian 등을 쉽게 표현하기 위해서 개발한 벡터화 된 연산자로 보는 것이 맞을 것 같습니다. 그래서 연산자와의 특정 관계를 통해서 발산이 정의될 수 있다고 보기보다는 발산을 정의해놓고 보니(그리고 그레디언트나 컬 등도 마찬가지로...) 나블라 연산자와의 관계로 이렇게 설명하면 깔끔하겠다~ 정도로 나블라 연산자를 만들어냈다고 보는 것이 저는 정답에 더 가깝지 않나 생각합니다 ^^
근데 진짜 한국에서 공부하시는 고3 맞으신가요? 정말 보기 드문 통찰력이네요... 대학생들보다 훨씬 더 깊이 사고하는 것 같아서 놀랍습니다
올해 이과 지원한 고등학생 2학년입니다.
학교는 지금 적분 들어가기 직전이고 학원에서는 적분을 예습하고 있습니다.
부정적분과 정적분에 대하여 부정적분은 꽤 쉬웠습니다.
근데 정적분을 하는데 절댓값이 포함된 정적분, 주기함수 등 들어도 제대로 이해가 아닌 약 70%정도 이해하고 넘어가는 경우가 있습니다.
이에 관해 미적분 I에서 미분과 적분에 대한 영상을 올려주실수 있으신지 묻고 싶습니다.
안녕하세요. 죄송하지만 지금으로써는 고교 수학에 대해서는 다룰 계획이 없습니다. 대신에 수악중독 님의 유튜브 채널을 찾아보시길 추천드립니다 ㅎ. 수악중독님께서는 고교 수학 중심의 영상들을 주로 다루고 계시고 설명도 아주 깔끔하게 잘 하시더라구요 ~.
넵 답변 감사합니다
1:26 fx와 fy가 성분인가요. 아니면 방향도함수인가요????
x y 방향 성분입니다 ㅠ 애매하게 표현되었네요
혹시 선적분 경로 독립성도 올리실 생각잇으신가요...?
해당 내용은 제 예전 블로그에 올렸던 적이 있긴한데 영상으로는 만들지 않았습니다 (큰 흐름에서 벗어나는 내용이라고 생각해서요...) 해당 링크 보내드릴게요.
wikidocs.net/7180
벡터장은 미적분학에 있는과정인가요?
안녕하세요. 네 맞습니다 좀 더 자세하게는 다변수 미적분학에서 나오는 개념이라고 보시면 될 것 같아요!
내적으로 표현하는게 어떤 기하학적인 의미가 없고 그냥 계산상으로 같아서 내적으로 표현하는게 맞나요?
안녕하세요. 저는 기하학적 의미가 있다고 생각합니다. 임의의 한 점에 대해서 상하좌우 방향으로 향하는 단위벡터와 내적하게 되면 그 점에서 상하좌우 방향으로 얼마만큼의 변화(혹은 이동 등으로도 표현 가능 할 듯)가 있는지 수치적으로 알 수 있기 때문입니다. 이는 curl의 의미를 생각해보면 더 뚜렷히 드러난다고 생각합니다. (curl에 대해서는 영상 올리지는 않았는데 외적과 관련되어 있습니다)
왜 발산은 벡터적으로 표현되지 않는거죠???
미소면적의 x성분의 밀도변화량과 y성분의 밀도변화량이 있는데 단순하게 더하는지 이해가 안됩니다ㅠㅠ프로그램으로 나타낸 이미지도 뭔가 방향성 있게 발산하는걸로 보이는데 이해가 안갑니당...ㅠㅠㅠ
안녕하세요. 발산은 한 포인트에서 '발산하는 정도'를 스칼라값으로 표현한 것입니다. 방향에 대해선 궁금한 것은 아니지용... 그래서 내적으로 계산합니다. 근데 말씀하시는 것은 어떤걸로 표현하면 좋을지는 잘 모르겠군요. 방향성 있게 발산한다는게 무슨 의미인지... ㅠ
아하...그냥 미소면적에서 들어오고 나가는 크기만을 나타내는 거군요...저는 그 영상에서 선을 따라서 화살표가 있는게 방향성이 있다고 생각했네요..
이걸 왜 시험 전날 안거지 아니 시험 전날 안거가 다행인건가
화이팅입니닷 ㅎ
이런거 공부하는데 얼마나 걸리셨는지궁금하네요
안녕하세요. 질문 감사합니다.
vector analysis는 대학 학부과정에서 보통 배우는 걸로 알고 있습니다.
미적분학 관련 선행 지식을 갖췄다고 했을 때, 2-3주 정도면 기초적인 개념들을 훑어보실 수 있을 것 같습니다.
MATLAB에 관한 질문이라면 ... 저는 MATLAB을 본격적으로 사용하기 시작한지는 5-6년 정도 된 것 같네요.
답변이 되셨길 바랍니다 :) 댓글 감사합니다!
답변감사합니다~ 버터워스 필터를 찾아보다가 우연히 보게되었는데 이 영상이나 블로그에 있는 자료를 혼자 다 정리하셨다니 정말 대단하시네요. 음향학 쪽 전공하셨나봐요.
영상들 중에 고등학생한테 유익한 영상도 있는 것 같은데 잘 보겠습니다~~~~
대단하다고 말씀해주시니 그저 감사할 따름이네요... ^^;
전공한 것은 전기전자공학 쪽에 더 가까운 것인데... 주로 신호처리 쪽에 관심을 두고 있습니다 ㅎ
관심있게 봐주셔서 감사합니다!
미소 단위 영역이라는게 정확히 뭔가요. . . .
미소영역에 대한 연산을 하려고 한 것 같은데... 용어가 애매하게 들리네요 ㅠ.ㅠ 혹시 몇분 몇초에서 언급 되었는지 알려주실 수 있으신가요?
@@AngeloYeo 7:50정도입니다~
미소 영역 내에서의 유량의 변화량을 의미하고 싶었습니다. 다만 이 유량의 변화량은 단위 영역의 변화(그러니까 변화량을 면적으로 나눈 것)라는 것을 의미하고자 했습니다
님 보다가 궁금해졌는데, 님 무슨과 이세요?
안녕하세요. 뇌신경공학을 전공했고 ... 지금도 공부하고 있습니다 ~^^
벡터쟝