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今の教科書では平方完成から解の公式の導出までわりとちゃんと載ってるんですよね。触れるかどうかは教員次第ですが。
それは、"ゆとり教育" という教育の暗闇の時代に教科書に載ってなかったということですか？
@@nomadkyoto5431 あそれ気になる
file:///C:/Users/User/Downloads/43(2),%20107-108,%202001-10-01-1.pdf東 京理 科大 学数学 教育 研 究 会誌 第 43巻 2 号 （20el年 〉一 2 次方程式 の 解 の 公式 は 基 礎 ・基 本か 一東京 中野 区 立第 二 中学校 大 澤 弘 典2002年か らの 中学校数学の 教育 課程で ， 「2 次 方程式 の 解 の 公式 （以 下 ， 解の 公 式と略記）」 が 削除され る ，週 5 日制 に伴 う授業 時 間全 体数の 削減， 総合的な学習 の 時 間の 特設 と い っ た状 況 を受 け， 数 学の 授業時間数は 従来に 比べ2 割程 度削減 さ れ ， 数学の 学 習 内容 も大幅に削減 され る ． そ れ らの 改訂 作 業の 中で ， 解の 公式が削減 さ れ る こ と にな っ た．そ の よ うな 経緯 に 留意 しつ つ も， 解の 公式 を積極的 に 中学校 の 授業で 教える べ きで ある と私 は考 えて い る ．以上全引用だけど、まあ、序論だからいいかな？
公式は、すべて自分で導けるようにしておくべきでしょう。
中3のとき過去問解いてたら載ってたやつですね、学校でちゃんと解の公式の導出をやってたので詰まることなくできましたがやっぱこういう作業も大事ですよね。
言葉は出ないけど平方完成は中学校でもならうから大事だよね
公式は一回は自分で導かなければ、使ってはいけないと、数学の先生に言われたことがある！
平方完成か二次関数の頂点求める時やったなぁ。懐かしいわぁ。二次方程式で因数分解できないとつい解の公式使っちゃうんだけどね。
ほうほう、納得です。分かりやすい！！慢性鼻炎っぽい声がとても落ち着くと思う。
平方完成すればあっさりだけど、知らないときは解の公式から逆方向に変形していけばそれっぽく解答を書けそうだなあ最初の式から(2x+b)^2=b^2-4acを導いてる風にして
高校大学と理系に行くと数学や物理では公式は証明して理解する、また公式は導出するもの、というの徹底して学ぶ。本件のような問題からその習慣をつけるといいね。こういう内容の濃い講座がいつでも見られるなんて便利な時代になった。
私の年代では、高校生の一学期の数学Ⅰで、aX²+bX+c=0を先生が黒板に平方完成して二次関数の解を文字で導き出してくれました。そして、家に帰って必ず復習するようにと言われました。また、この考え方が二次関数のグラフを書く✏️ことにつながっていくと思います。中学校で知らなくても、高校生になったら高校1年生の一学期で直ぐに理解出来ると思いますけどね。
俺の中学の時も機械的に覚えさせられてたな〜改めて大学生なってから見ると生徒にしっかり教えていきたい
要するに解の公式を自ら求められますか？ってことを聞いてる問題ですね！
確かに平方完成は中学の授業ではろくにやらなかったな。けど高校の二次関数では必須なんだから中学のうちからきちんとやっておくべきかと。自分は中学時分、公文式でたくさん解いたおかげで助かったけど。それと解の公式使わず因数分解でたすき掛け使ってたしね。公文式のおかげで中学では楽出来た部分が大きかった。
同感です。公文式はひたすら反復ですからね。頭でなく体で覚えてる感じですね。
かつての教育指導要領だと、中学では解の公式のみで 高校で初めて平方完成の履修だったんだよ。
最初b^2-4c>0 がb^2-4c70 に見えて、ただしのところで悩んでしまいました笑
おはようございます。朝から、頭の回転が良くなる問題です。僕は、今回、数学検定準２級２次試験不合格でした。ただ、途中式が沢山書く事が出来たので、後、もう一歩だと思います。川端先生の問題を解きながら、ドラゴン桜数学Ⅰ・Aの問題を全クリアしたいと思います。本当に、皆様、ありがとうございます。
これ学校の授業で、解の公式がなぜあの形になるのかという問題で全くおんなじことやらされたw
平方完成は解の公式を求めてるだけなので気合で因数分解しか手はなさそう。
2次の項にaがあれば、解の公式の求め方そのものだな。
良い問題ですね
おっさんは平方完成を教えてもらっていないが、今は平方完成を教えている(はず)なので、できると思います。少なくとも、何でもかんでも解の公式ではありません。
これは復習しといてよかったー
何故かハブられる重解ww実数の範囲で解け、で但し書きなけりゃ大学入試でも出そう、、x^2の係数も文字なら更に
これは良問だ。
数年前に埼玉県入試で解の公式の証明問題がありましたよね
(x+b/2)^2で平方完成してから和と差の積で無理やり因数分解すればx^2の係数が1の時の解の公式になる高校のときやったなぁ
a=1のときの解の公式の導出をさせたかったという話ですかね。東大入試の三角関数の定義を問う問題などトップ校は面白い問題を出しますね
中3ならx^2+px+q=0を平方完成で解かせるレベルで十分で、解の公式は丸暗記という立場で指導してました
平方完成ってこう使うんだな～川端さん前に平方完成の授業してくれてたから飲み込みが早かった(^-^)
基本式(頂点のわかる式)に持っていくんだねわかります。
一般形と基本形と分解形があるんでしたっけ？
懐かしい問題です。中2か中3のとき、数学のテストで出たことを思い出しました。
今回の解説もとても素晴らしいと思います。因みに私は解けました。解説と同じく平方完成を使いました。平方完成は、高校数学の内容ですが、高校入試でも頻出ですね。平方完成することで、最大値最小値が分かったりして、図形問題などの他分野でも活用できるので、しっかりと定着させたいですね。
私の年代では平方完成は公立中学校でも中３で習いました。
へー、高校数学の内容なんだ🤔
微分、積分の問題もお願いします(^^)
普通に公立中学でも、解の公式を導く際に平方完成は行なっている。大日本図書の教科書使ってる地域は、既習内容。
ダメなものはダメという鉄よりも固い意志
与方程式が解で因数分解できる事を示せば一瞬。
面白い問題
解の公式はダメです。なぜなら、ダメであるからダメなのです。ここでダメな理由を聞く人がいますが、ダメと決められた以上、ダメというしかない、つまり、ダメという理由でダメなのです。
（）内の但し書は高校入試で虚数出さない為の配慮で数学的にはあまり関係ありませんか
まあ解の公式自体が平方完成をつかって導出してるんだから、平方完成の方が基本なんだけどね。
正の数とことわらないと、高校3年の範囲になってしまう。虚数は中学では習わないから。
↓失礼しました。平方かんせいって漢字も分からないくらいで、習ったおぼえもないなぁ…
x2乗の係数に「a」がついてないから脳死で丸覚えした解の公式の証明を丸写しすると事故るんだな
これ、やってることは解の公式なのに、解の公式を使わずにって言って良いんですか?
代数学の基本定理より与式はただ2つの根を持つ。x=(-b±√(b^2-4c))/2を与式に代入すれば、確かに成立する。従って、与式の根はこの2つで全てである■
これ結局解の公式使ってるのと変わんねえか
解の公式を中3で習わなかった世代からすると、余裕で解ける問題。
解の公式はおぼえていたけど、何でこういう式になるのかっていうのは初めて知ったよ。へいほうかんすう
解の公式を用いるな(解の公式の考え方は使用して良い)
普通に「解の公式を導け」にして欲しかったなぁ。解の公式って平方完成の作業の省略だから「用いずに」だと平方完成丸ごと否定してるようにも取れる
数学禁止と言っときながら表向きないだけで発想には殆ど中学、高校の数学知識が必要だったり背景にある解き方みたいな感じ
熊本県の高校入試で出たなぁ〜
公立中学ではここまでやって無かったと思います。
解の公式を丸暗記ではなくきちんと導出できるか。
「灯台下暗し」で、進学校の問題は、なぜこの公式ができたのかと言う問題がよく出ます(一般はこれを当然としてしまい、いつの間にか忘れてしまいます、大学入試の微積問題はこのての基本仕様が多いです）これを教科書レベルと言いますが・・公理から定理を導くとか・・ただ試験時に定理をそのまま利用してよいかどうか悩んだりもしますが・・
開成でこんな簡単な問題出すの？ちょっとびっくり。
開成はこういう教科書の隅に載っているような問題が大好きですね。大手塾に対策されにくいので。これ以外にも空間幾何の証明など当たり前に使っている定理の証明は頻出です。
三角関数の二倍角の公式とか半角の公式を暗記していたが忘れた際に導くことは大事だよなでも...公式があるんだから導かせるのもなあ結果も大事だけど過程も大事だと教えたいのかなん～～でも令和の時代ではちょっと時代遅れな教育法な気もするのだが...
でも共通テストではそういう過程を問われることがあるから...
なぜ公式が成り立つのか理解したうえで、速さのために暗記するのがベストですね
b²-40 ＞ 0 が無かったらどうなるのですか？
b²-4C これは、解の公式のルート内b²-4acのa=1の時の値。問題を解くときx²+bx+c=（x+b/2）²-（b²-4C）/4=0（x+b/2）²=+（b²-4C）/4ここで両辺ルートを取るわけだけどxが実数範囲で左辺≧0は明らかだから、右辺は0より大きい必要が（中学範囲では）ある。これを事前に保証しているのが問題文の条件。
開成 受験者からしたらサービス 問題だな
2つの解をα, β (α ≦ β) とすると、(x - α)(x - β) = x*x - (α + β)x + αβ = 0 からα + β = -b, αβ = c ここで α と β の平均値は (α + β)/2 = -b/2 また、この平均値と α, β との差の絶対値を z とすると、α = (-b/2) - z, β = (-b/2) + z となるのでαβ = ((-b/2) + z )((-b/2) - z) = (-b/2)(-b/2) - z*z = (b*b)/4 - z*z = c よって z*z = (b*b)/4 - c となりz = ±√((b*b)/4 - c) 従って、α, β = (-b/2) ±√((b*b)/4 - c) = (-b±√(b*b-4c))/2これは Po-Shen Loh 解法と呼ばれ、論理をこの様に文字で追うとめんどいですが、実際に解の値を求める際には（慣れれば）解の公式より計算が簡単になる可能性大です。虚数の解にも対応しているそうです。古バビロニアで用いられていた解法だと聞いた事があります。
この解法で実際に解を求める際には、基本的に -b/2 を計算するだけですね。二次方程式 x*x + bx + c = 0 において b' = -b/2 とすると、x = b' ± √(b'*b' - c) ととても簡単な形になります。
古バビロニアすげえ...確かまだ0の概念すらなかったんだよね？
平方完成
平方完成か簡単
平方完成かなー
2次方程式とは1次の項を消すことである、つまりA^2=Xの形にすれば解は簡単に出せるこの意識が重要です、3次方程式の解の公式も本質的には同じ発想です
問題文に「解の公式」って書いても良いのかな……「解の公式」ってワードが、さも一般常識であるかのように扱ってることに違和感がある。「x^2+bx+c=0ならばx=(-b±√(b^2-4c))/2であることを証明せよ。」ってしたほうが良いと思う。
解の公式と言われて、なんのことか分からない子はうちに来なくていいって、ただそれだけのことです。
@@soratoriku0621 そもそも「根の公式」だし
本当にこんな問題文なの？xをa,bを使って表せならわかるけど
こう因数分解できるよね〜、じゃ流石に雑すぎますかね
中学が平方完成教えてくれるとこでよかったI˙꒳˙)
余裕
中２で解の公式を授業で教わった時平方完成で証明したからなんかといた実感わかないへるぷ
はんべつしき
今の教科書では平方完成から解の公式の導出までわりとちゃんと載ってるんですよね。触れるかどうかは教員次第ですが。
それは、"ゆとり教育" という教育の暗闇の時代に教科書に載ってなかったということですか？
@@nomadkyoto5431 あそれ気になる
file:///C:/Users/User/Downloads/43(2),%20107-108,%202001-10-01-1.pdf
東 京理 科大 学数学 教育 研 究 会誌 第 43巻 2 号 （20el年 〉
一 2 次方程式 の 解 の 公式 は 基 礎 ・
基 本か 一
東京 中野 区 立第 二 中学校 大 澤 弘 典
2002年か らの 中学校数学の 教育 課程で ， 「2 次 方程式 の 解 の 公式
（以 下 ， 解の 公 式と略記）」 が 削除され る ，週 5 日制 に伴 う授業
時 間全 体数の 削減， 総合的な学習 の 時 間の 特設 と い っ た状 況 を
受 け， 数 学の 授業時間数は 従来に 比べ2 割程 度削減 さ れ ， 数学の
学 習 内容 も大幅に削減 され る ． そ れ らの 改訂 作 業の 中で ， 解の
公式が削減 さ れ る こ と にな っ た．
そ の よ うな 経緯 に 留意 しつ つ も， 解の 公式 を積極的 に 中学校 の
授業で 教える べ きで ある と私 は考 えて い る ．
以上全引用だけど、まあ、序論だからいいかな？
公式は、すべて自分で導けるようにしておくべきでしょう。
中3のとき過去問解いてたら載ってたやつですね、学校でちゃんと解の公式の導出をやってたので詰まることなくできましたがやっぱこういう作業も大事ですよね。
言葉は出ないけど平方完成は中学校でもならうから大事だよね
公式は一回は自分で導かなければ、使ってはいけないと、数学の先生に言われたことがある！
平方完成か
二次関数の頂点求める時やったなぁ。
懐かしいわぁ。
二次方程式で因数分解できないとつい解の公式使っちゃうんだけどね。
ほうほう、納得です。
分かりやすい！！
慢性鼻炎っぽい声がとても落ち着くと思う。
平方完成すればあっさりだけど、知らないときは解の公式から逆方向に変形していけばそれっぽく解答を書けそうだなあ
最初の式から(2x+b)^2=b^2-4acを導いてる風にして
高校大学と理系に行くと数学や物理では公式は証明して理解する、また公式は導出するもの、というの徹底して学ぶ。本件のような問題からその習慣をつけるといいね。
こういう内容の濃い講座がいつでも見られるなんて便利な時代になった。
私の年代では、高校生の一学期の数学Ⅰで、aX²+bX+c=0を先生が黒板に平方完成して二次関数の解を文字で導き出してくれました。そして、家に帰って必ず復習するようにと言われました。また、この考え方が二次関数のグラフを書く✏️ことにつながっていくと思います。中学校で知らなくても、高校生になったら高校1年生の一学期で直ぐに理解出来ると思いますけどね。
俺の中学の時も機械的に覚えさせられてたな〜
改めて大学生なってから見ると生徒にしっかり教えていきたい
要するに解の公式を自ら求められますか？ってことを聞いてる問題ですね！
確かに平方完成は中学の授業ではろくにやらなかったな。
けど高校の二次関数では必須なんだから
中学のうちからきちんとやっておくべきかと。
自分は中学時分、公文式でたくさん解いたおかげで助かったけど。
それと解の公式使わず因数分解でたすき掛け使ってたしね。
公文式のおかげで中学では楽出来た部分が大きかった。
同感です。公文式はひたすら反復ですからね。頭でなく体で覚えてる感じですね。
かつての教育指導要領だと、中学では解の公式のみで 高校で初めて平方完成の履修だったんだよ。
最初b^2-4c>0 がb^2-4c70 に見えて、ただしのところで悩んでしまいました笑
おはようございます。朝から、頭の回転が良くなる問題です。
僕は、今回、数学検定準２級２次試験不合格でした。
ただ、途中式が沢山書く事が出来たので、後、もう一歩だと思います。
川端先生の問題を解きながら、ドラゴン桜数学Ⅰ・Aの問題を全クリアしたいと思います。
本当に、皆様、ありがとうございます。
これ学校の授業で、解の公式がなぜあの形になるのかという問題で全くおんなじことやらされたw
平方完成は解の公式を求めてるだけなので気合で因数分解しか手はなさそう。
2次の項にaがあれば、解の公式の求め方そのものだな。
良い問題ですね
おっさんは平方完成を教えてもらっていないが、今は平方完成を教えている(はず)なので、できると思います。少なくとも、何でもかんでも解の公式ではありません。
これは復習しといてよかったー
何故かハブられる重解ww
実数の範囲で解け、で但し書きなけりゃ大学入試でも出そう、、x^2の係数も文字なら更に
これは良問だ。
数年前に埼玉県入試で解の公式の証明問題がありましたよね
(x+b/2)^2で平方完成してから和と差の積で無理やり因数分解すればx^2の係数が1の時の解の公式になる
高校のときやったなぁ
a=1のときの解の公式の導出をさせたかったという話ですかね。東大入試の三角関数の定義を問う問題などトップ校は面白い問題を出しますね
中3ならx^2+px+q=0を平方完成で解かせるレベルで十分で、解の公式は丸暗記という立場で指導してました
平方完成ってこう使うんだな～川端さん前に平方完成の授業してくれてたから飲み込みが早かった(^-^)
基本式(頂点のわかる式)に持っていくんだねわかります。
一般形と基本形と分解形があるんでしたっけ？
懐かしい問題です。
中2か中3のとき、数学のテストで出たことを思い出しました。
今回の解説もとても素晴らしいと思います。因みに私は解けました。解説と同じく平方完成を使いました。平方完成は、高校数学の内容ですが、高校入試でも頻出ですね。平方完成することで、最大値最小値が分かったりして、図形問題などの他分野でも活用できるので、しっかりと定着させたいですね。
私の年代では平方完成は公立中学校でも中３で習いました。
へー、高校数学の内容なんだ🤔
微分、積分の問題もお願いします(^^)
普通に公立中学でも、解の公式を導く際に平方完成は行なっている。大日本図書の教科書使ってる地域は、既習内容。
ダメなものはダメという鉄よりも固い意志
与方程式が解で因数分解できる事を示せば一瞬。
面白い問題
解の公式はダメです。なぜなら、ダメであるからダメなのです。ここでダメな理由を聞く人がいますが、ダメと決められた以上、ダメというしかない、つまり、ダメという理由でダメなのです。
（）内の但し書は高校入試で虚数出さない為の配慮で
数学的にはあまり関係ありませんか
まあ解の公式自体が平方完成をつかって導出してるんだから、平方完成の方が基本なんだけどね。
正の数とことわらないと、高校3年の範囲になってしまう。虚数は中学では習わないから。
↓失礼しました。平方かんせいって漢字も分からないくらいで、習ったおぼえもないなぁ…
x2乗の係数に「a」がついてないから
脳死で丸覚えした解の公式の証明を丸写しすると事故るんだな
これ、やってることは解の公式なのに、解の公式を使わずにって言って良いんですか?
代数学の基本定理より与式はただ2つの根を持つ。x=(-b±√(b^2-4c))/2を与式に代入すれば、確かに成立する。従って、与式の根はこの2つで全てである■
これ結局解の公式使ってるのと変わんねえか
解の公式を中3で習わなかった世代からすると、余裕で解ける問題。
解の公式はおぼえていたけど、何でこういう式になるのかっていうのは初めて知ったよ。へいほうかんすう
解の公式を用いるな(解の公式の考え方は使用して良い)
普通に「解の公式を導け」にして欲しかったなぁ。
解の公式って平方完成の作業の省略だから「用いずに」だと平方完成丸ごと否定してるようにも取れる
数学禁止と言っときながら表向きないだけで発想には殆ど中学、高校の数学知識が必要だったり背景にある解き方みたいな感じ
熊本県の高校入試で出たなぁ〜
公立中学ではここまでやって無かったと思います。
解の公式を丸暗記ではなくきちんと導出できるか。
「灯台下暗し」で、進学校の問題は、なぜこの公式ができたのかと言う問題がよく出ます(一般はこれを当然としてしまい、いつの間にか忘れてしまいます、大学入試の微積問題はこのての基本仕様が多いです）これを教科書レベルと言いますが・・公理から定理を導くとか・・ただ試験時に定理をそのまま利用してよいかどうか悩んだりもしますが・・
開成でこんな簡単な問題出すの？ちょっとびっくり。
開成はこういう教科書の隅に載っているような問題が大好きですね。大手塾に対策されにくいので。これ以外にも空間幾何の証明など当たり前に使っている定理の証明は頻出です。
三角関数の二倍角の公式とか半角の公式を暗記していたが
忘れた際に導くことは大事だよな
でも...公式があるんだから導かせるのもなあ
結果も大事だけど過程も大事だと教えたいのかな
ん～～でも令和の時代ではちょっと時代遅れな教育法な気もするのだが...
でも共通テストではそういう過程を問われることがあるから...
なぜ公式が成り立つのか理解したうえで、速さのために暗記するのがベストですね
b²-40 ＞ 0 が無かったらどうなるのですか？
b²-4C これは、解の公式のルート内b²-4acのa=1の時の値。
問題を解くとき
x²+bx+c=（x+b/2）²-（b²-4C）/4=0
（x+b/2）²=+（b²-4C）/4
ここで両辺ルートを取るわけだけど
xが実数範囲で左辺≧0は明らかだから、
右辺は0より大きい必要が（中学範囲では）ある。
これを事前に保証しているのが問題文の条件。
開成 受験者からしたらサービス 問題だな
2つの解をα, β (α ≦ β) とすると、
(x - α)(x - β) = x*x - (α + β)x + αβ = 0 から
α + β = -b, αβ = c
ここで α と β の平均値は (α + β)/2 = -b/2
また、この平均値と α, β との差の絶対値を z とすると、
α = (-b/2) - z, β = (-b/2) + z
となるので
αβ = ((-b/2) + z )((-b/2) - z) = (-b/2)(-b/2) - z*z = (b*b)/4 - z*z = c
よって
z*z = (b*b)/4 - c となり
z = ±√((b*b)/4 - c)
従って、
α, β = (-b/2) ±√((b*b)/4 - c) = (-b±√(b*b-4c))/2
これは Po-Shen Loh 解法と呼ばれ、論理をこの様に文字で追うとめんどいですが、実際に解の値を求める際には（慣れれば）解の公式より計算が簡単になる可能性大です。虚数の解にも対応しているそうです。古バビロニアで用いられていた解法だと聞いた事があります。
この解法で実際に解を求める際には、基本的に -b/2 を計算するだけですね。
二次方程式 x*x + bx + c = 0 において b' = -b/2 とすると、
x = b' ± √(b'*b' - c)
ととても簡単な形になります。
古バビロニアすげえ...
確かまだ0の概念すらなかったんだよね？
平方完成
平方完成か
簡単
平方完成かなー
2次方程式とは1次の項を消すことである、つまりA^2=Xの形にすれば解は簡単に出せる
この意識が重要です、3次方程式の解の公式も本質的には同じ発想です
問題文に「解の公式」って書いても良いのかな……
「解の公式」ってワードが、さも一般常識であるかのように扱ってることに違和感がある。
「x^2+bx+c=0ならばx=(-b±√(b^2-4c))/2であることを証明せよ。」ってしたほうが良いと思う。
解の公式と言われて、なんのことか分からない子はうちに来なくていいって、ただそれだけのことです。
@@soratoriku0621 そもそも「根の公式」だし
本当にこんな問題文なの？
xをa,bを使って表せ
ならわかるけど
こう因数分解できるよね〜、じゃ流石に雑すぎますかね
中学が平方完成教えてくれるとこでよかったI˙꒳˙)
余裕
中２で解の公式を授業で教わった時平方完成で証明したからなんかといた実感わかない
へるぷ
はんべつしき