昔の数IIのカリキュラムだと、三角関数は度数法のままで、数IIIになって弧度法をやってから極限値やら微分やらやったような気がしますね。 度数法は1年が365日というより、2でも3でも4でも5でも割れるような数だからこそ360が選ばれたという話を聞いたことがあります。 今回の問題は、(sin x)' = cos x を利用して、 lim_[x→π] sin x/(x^2-π^2) = lim_[x→π] (sin x - sin π)/((x-π)(x+π)) = cos π ×1/(π+π) = -1/(2π) ですね。 ロピタルの定理を使うと記述が大変なので(ネット上の記事で間違っていることも多い)お勧めしません。
基本的な事項からのご説明ありがとうございました。解き方は解説と同じです。
三角関数の極限は結局のところ
lim(θ→0){(sinθ)/θ)}=1
を利用できるように式変形すればいいのだから、
lim(x→π){(sinx)/(x^2-π^2)} ..(1)
このままでは「分母→0, 分子→0」の不定形なので、x→π のときに x-π→0 を活かし、t=x-π とすると
(1)=lim(t→0){(sin(t+π))/(t(t+π))}
=lim(t→0){((-sint)/t)×(1/(t+π)}
=-1/(2π)
最近解いた類題
lim(x→0)[(5x^2+12x)sin(sin(2x/3))/(x^2)]
大括弧の中、わかりにくいので言葉で説明すると、
sin(sin(2x/3)) と 5x^2+12x という２式の積を x^2 で割ったものです。
（答えは 8 です。）
徹底してsinθ/θを利用するのと、ロピタルの定理でやるのと、どちらか楽ですかね。(笑)
貫太郎先生のお陰でモヤモヤを抱えることなく、穏やかな気持で天寿を全うできそうです。
ありがとうございました。
動画と同じく分母は和と差の積、分子は-sin(x-π)と変形して解きました。
「ロピタルの定理」（大学で習うのが普通）を使った解法の紹介:
(sinx)'=cosx , (x^2-π^2)'=2x ∴ (与式) = lim[x→π] (cosx / 2x) = cosπ / 2π = -1 / 2π ∴ - 1/2π
ロピタルの定理は40年前の高校生は数Ⅲで習った。私もこれしか浮かばなかった。
ロピタルは神
記述はもっと複雑になるはずですがロピタルが良いですな
Hospital
微分の定義から f(t) = sin(√t) としたときの f'(π^2) がこたえなので, 合成関数の微分から f'(π^2) = cos{√(π^2)}/{2√(π^2)} = -1/(2π).
……としたとき、までを理解することの方が難しい気が…。うまく置いてありますねぇ。(笑)
こんにちは。私はアゼルバイジャン出身です。あなたの授業を興味深く聞いています。あなたの説明は本当に素晴らしいです
答えだけなら全く難しくないですが、今回の動画は三角関数で弧度法を使う理由がメインですかね。
貫太郎さんの動画を見ると基礎・基本に立ち返ることができてとてもタメになります。
私はいつぞやの指導要領改訂の狭間世代だった関係で（当時の）旧課程新課程両方の数２の参考書を持っていたのですが、学校の授業で習った旧課程では弧度法は数３で極限や微積分をやるときに初登場でわりと自然だったのに、新課程の本だと弧度法の部分だけ数２に降りてきていて「お役所もおかしなことやっとる」と思った覚えがあります。
sinの微分の証明は分子をsin-sin→2*cos*sinの形に変形する方針でいくと計算がちょっとだけ簡単になりますね（まあ結局同じ加法定理なので大した違いではない感想です）。
sinπ=0だから、
lim[x→π]sinx-sinπ/x-π=(sinx)’[x=π]として解きました
sinx/x系の極限はパズル要素が強くて好きです！
物理や工学ではラジアン(radian, 単位としては"(rad)")を明記しますが、この考え方を見直すことで、「角度は長さ/長さ、つまり無次元数」というのがしっかり再認識できるのがいいところだと思います。
微分の定義と因数分解の融合問題（そんな大げさな！?）sinx=sinx-0=sinx-sinπ
解けた！
置換せずsin(π-x)=-sinxを使って解きました
僕も先生のチャンネルで、数学の捉え方がπ変わった一人です⭕🐣（弧度法で表記）
今日は自分が同じことを誰かに説明している状態をイメージしながら、定義の復習も兼ねて観ました🤓
2πで一周して元の木阿弥にならなくてよかった。(笑)
これからも4π6π（二転三転）せずに一貫して継続してやって行きたいです（？）😅
改めて基本を学べて勉強になりました。今日もありがとうございました。
360は約数が24個もありますからね。確かに都合が良いですね。
雨の音ではなく川の声だった
π句の創始者として、1日考えました。なんとか、ついていけました。どうも、ありがとうございました。
窓を開けて、歯をみがく。
おはようございます。（関西医科大の所在する大阪府の北河内地域の方言では何というのでしょう…www）
"円の一周の角度が360度"といえば、戦後１ドル＝360円と定められた理由が「"円"だから…」とか言われていますね。
日銀の建物を真上から見ると、「円」の字に見えることもよく知られています。
円を"Yen"と表記するのは、"en"だと「アン」と発音する言語が多いからだそう…
（今日も、経済学士＝文系の独り言でした…）
円の単位を百分の一にして銭を復活させる気はありませんかね。元々1ドルは百円程度の価値しかなかったのを、国力の差で360円にさせられただけですから。当時、1ポンドは1600円くらいだった記憶があります。(戦前は一円が少なくとも今の千円くらいの価値はあったと聞いたことがあります。)よくここまで来たものです。学ぶことがあるでしょう、阪神さん。(笑)
@@kosei-kshmt さん
私が学生だった頃、McDonald の社長 藤田田（フジタデン）さんは「わが国がデノミをしそうな雰囲気があれば、その前に日銀の出資証券（≒株式）を買っておきなさい。デノミで貨幣の額面が例えば100分の１になると日銀の資本金（類似のものの）額が一億円から百万円になる。それでは中央銀行として格好がつかないので、増資してその差額は出資証券を持っている者に割り当てられるだろうから…」とその著書でまことしやかに喧伝していましたよ。
資本金額だけで考えるなら、私だってタイガースのオーナーに…
え、ここは誰？私はどこ…？
As the limit is 0/0, just use L’ Hospital rule and get cosx/2x=-1/2pi
It is really wonderful to come across your beautiful explainations
「radを使えるようになること」より「なぜradを使うのか」の方が数学的には大事なんで、そこを飛ばす先生は何やってるのかなって思いますね。
昔の数IIのカリキュラムだと、三角関数は度数法のままで、数IIIになって弧度法をやってから極限値やら微分やらやったような気がしますね。
度数法は1年が365日というより、2でも3でも4でも5でも割れるような数だからこそ360が選ばれたという話を聞いたことがあります。
今回の問題は、(sin x)' = cos x を利用して、
lim_[x→π] sin x/(x^2-π^2) = lim_[x→π] (sin x - sin π)/((x-π)(x+π)) = cos π ×1/(π+π) = -1/(2π) ですね。
ロピタルの定理を使うと記述が大変なので(ネット上の記事で間違っていることも多い)お勧めしません。
360度の根拠は確かにおっしゃるとおりでしょう。でも、60でも90でもなく360というのは、やっぱり１年の日数を踏まえてのことなのではないでしょうか。（あくまで私見ですが…）
毎度おなじみ京都大にいらっしゃった森毅先生の受売りです。
ナポレオンは10進法がお気に入りでメートル法を力強く推し進め、角度も１周400度なんて定めたものだから、トラファルガーの海戦で英国のネルソン提督に「南東120度の方向にフランス海軍発見！」と照準を向けられた時、「北西133.333333…」ってやってて反撃が間に合わず敗れてしまったそうです…www
@@HachiKaduki0501 さん
天文学で考えると、360°は一日につき約1°、ひと月に約30°、1年でほぼ一周、夜観る星の動きが１時間に約15°と非常に便利だったのが重宝された原因と思われます。数学は不便なのでラジアン単位が好まれますね。(笑)
その昔、一年は360日でした。
しかし、それでは天文学上の暦とずれてくるので、それを修正するために我が国では19年に7回、閏年が設けられ、閏四月という月を三月と四月の間に挿入して調整していました。（因みに中国では閏年は13月まである点が日本と異なる。）
360は小さい約数が多いので何かと重宝がられるというのが採用された理由としては大きいのではないでしょうか。
ロピタルの定理しか思い付かない😭
三角関数の極限なんてやってね～からなぁ…
そもそも弧度法って文系だとさらっとやるだけだし。
私の場合はsinXの微分…じゃなくって、角度法だと数が大きくなると、図で書くと説明しやすい（笑）のでこういうことをやる…という感じの説明だった。
まぁ、確かに弧度法ならsin60度とsin240 度を図で説明しろ、と言われればすぐに表現出来てしまうけどｗ
…そういう事だったのね。
問題見たとき、ｘの方ばっかり見てしまうが、カラクリが理解できれば一気呵成というのは驚き。
多分文系の人は苦戦するんじゃないですかねぇ…これ。
فعلا نهايات جميلة وطريقة ذكية لحل النهاية تحية من المغرب 🇲🇦
360°はπじゃなく、2πラジアンですな。
基本やで！
答えだけなら、ベルヌーイが発見したと言われる「ロピタルの定理」を使えば一発ですが、このような基礎的な考え方は応用範囲が広くて重要ですね。
Lopital
Lim x->pi (cosx)/2x = -1/2pi
limは∞とか収束だっけ？習った記憶あるけど理解も出来んまま授業進められて終わったなぁ。今この動画で説明聞いてもやはりワケわからん。
Pov: You use De L'Hopital Rule and you resove this monster in 2 seconds (Btw really well explaination I really enjoyed it
合成数合成関数をつかった極限 苦手や、
なんで苦手か考えたら
高校数学ではきっちり証明されてないんやよね
平均変化率は中学校の数学で学習する内容ですが、貫太郎さんがおっしゃるように、中学生にとって負担になるだけの学習事項に思えます。高校で扱う内容で良いように感じます。
中学では「変化の割合」でした。
基本基本基本基本。
計算自体は五郎案件でしょうか🤔
約分っぽい書き方はざっくり説明としては良くても
本番の答案には書けないですかね🤔
ここら辺は視聴者側で脳内補完ってことで
もっとも，この動画の趣旨は問題の解法と言うよりは弧度法を使うのはなぜかという話で
確かに言われてみれば，文系の人はそこが日の目を見ないまま数学とサヨナラするわけですね。
五郎案件ってどういう意味ですか？
もうこの質問出過ぎだから、このコメ欄でなければ通じない言葉遣いはやめたほうが良いかもしれない。
仲良しが馴れ合うのは構わないが、排他的な雰囲気が出ちゃうと書き込みしにくいと感じる人もいるでしょうから。
@@masuo64 さん
ご返信ありがとうございます。
あ、すみません。
このチャンネルの一部視聴者が使っているワードで
要は暗算で解けるって話です。
@@APEMVN さん
まあ、確かにそうかもですね。
@@APEMVN そんな事言っちゃダメ（笑）❗
KTさん、真面目だから、そんな事言っちゃうと、使わなくなっちゃうかも知れないじゃないか❗
符丁の使用は、同族意識の増進につながるから、意識的に広めようと努力している最中なのに、水を差されると困ります。まぁ、努力と言っても、みなさんが面白がって使ってくれるの頼みなんですが（笑）。
業界用語・専門用語・若者言葉など、全てそうですが、特定の集団内で使用される「分かる人には分かるけど、分からない人には分からない」符丁は、分かる人と分からない人の間に壁を設けて内と外を区切る排他性と引き換えに、壁の内側の人間の同族意識やその社会への帰属意識を高めます。
私見ですが、恐らく、マナーやエチケットの類いもルーツを辿れば、似たような要請から出てきた物ではないでしょうか？
古くは、間者などのよそ者を見分ける踏み絵機能を果たしていたハズ。言葉は完璧に仕上げて来ても、ちょっとした所作の一つ一つまで完璧に地元民と同じにするのは難しい。つまり、どこかでボロを出す可能性が高い。
そういう間者の見分けの必要がなくなって来ると、今度は、階級差や相手の力量を図る試金石として使われて来たのだろうと思います。
「五郎」とか「ポンチータ」というのは、茶道で茶碗をグルグルッと回すのと同じ事。ヨシッ❗ちゃんと回してるな、というのを見るための物ですね。
…というワケで、せっかく広めようとしてるのに、イラン事言っちゃイカンぞ（笑）❗プンプン💢💢💨
You can also use Taylor series of sinx at pi up to first order getting -(x-pi)/[(x+pi)(x-pi])=-1/(x+pi). And for x->pi we get -1/2*pi 😊
I love math
数学を勉強する意義はどの程度でしょうか。現在はコンピュータ関連がありますし、そして、語学に関してもコンピュータがあります。「愛」とか「正義」とか「平和」などを数学や物理や化学や生物学や医学で解ければ良いと思いますがそのような定理はできますでしょうか。AIという手段を持ってしても難しいでしょうか。少子化やウクライナとロシアの紛争などを解決する「公式」などはどうでしょうか。
分子分母、各微分したら、一発わかる
万事不决洛必达😂
ヨシッ❗
五郎。
五郎、応援しています。(笑)
@@kosei-kshmt ご返信ありがとうございます。
世界平和のために、どんどん広めて行きましょう（笑）❗
懐かしの数学教師を思い出します。「お前ら、検算やっとけ！！文句があったら職員室に来い」
Jika x-pi=€--->0, maka x=€+pi,
sin x=sin(€+pi)=-sin€.
Jadi hasilnya -sin€/€=-1
不定形やな、よしロピるわ
になりがち
رائع
👏
Basic solution is very clear....i like it Simple metode with DHospital Law.
・・・
三角関数の微分は数Ⅲの範囲ですが、教科書でのラジアン単位の説明は抽象的過ぎて、解る人にしか解らないという教育らしからぬ有り様です。出来る限り解るようにしようとする貫太郎先生の姿勢、素晴らしいと思います。
m(_ _)m
lim[x→π]-sin(x-π)/(x-π)(x-π+2π) という式変形がわかりやすかったです。
-1/2ㅠ?
자 로피탈 써야겠지?
드걔쟤~