Maturity 2023 - Euclidean geometry (Thales' theorem) - SUPPLEMENTARY QUESTION 1
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- Опубликовано: 11 фев 2025
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0😊
Si può dimostrare con la Geometria Analitica (il quesito non lo esclude).
Per comodità ruotiamo il triangolo sino ad avere il vertice B nell'origine (0,0) di un riferimento cartesiano ed il lato BC che giaccia sull'asse positivo delle ascisse.
Il baricentro di un triangolo è dato dalla somma delle coordinate dei suoi vertici diviso 3 (la media aritmetica).
Cioè Xg=(xA+xB+xC)/3 e Yg=(yA+yB+yC)/3.
In qualsiasi numero di segmenti si divida la base BC, le ordinate di 2 vertici dei vari triangoli risultanti giaceranno sull'asse delle ascisse e quindi con ordinata = 0.
Pertanto l'ordinata del relativo baricentro di ciascun triangolo dipende solo dalla comune ordinata del vertice A.
Ne consegue che tutti i triangoli hanno stessa ordinata Yg dei baricentri e pertanto questi giacciono tutti su una stessa retta parallela alla base di equazione y=yA/3
Invidio incredibilmente la creatività di vedere e trovare soluzioni inaspettate ai problemi...Tra l'altro avresti "gabbato" la Commissione d'Esame che si aspettava una soluzione come nel video utilizzando la Geometria Euclidea.
Mi ricorda tanto l'aneddoto del barometro e l'altezza dell'edificio...
@BeniaminoArtusi In quesiti come questo mi piace cercare soluzioni più eleganti o, qualora non ce ne fossero, alternative. E' questo il caso.
Conosco l'aneddoto del barometro e dell'altezza dell'edificio; sono d'accordo anch'io con il protagonista: non mi piace che mi dicano come devo pensare!
Buongiorno.
Scusate il fuori tema, ma il vostro thread ("gabbare" e "non mi si dica come devo pensare") mi fa venire in mente un aneddoto in cui il gabbato fui io, proprio per essere stato astutamente spinto a pensare come voleva un altro.
######
"Caro amico, tu che sei un fulmine a fare i calcoli a mente [ _vanitas vanitatum_ ], al mio circolo di tennis ci sarà un torneo a eliminazione diretta con 101 [cento e UNO!] iscritti, mi sai dire quanti incontri ci saranno?"
Attivai tutti i miei chip e, per essere sicuro di fare la figura del cretino, scelsi l'ordine piu facile per i calcoli a mente...
"Parto da quando li avrò ridotti a 64, Σ dimezzando da 32 a 1, facilissimo, 63 [cretino!! CVD] poi faccio101-64=37 e sommo 37+63 quindi gli incontri saranno... cen... cen..."
"Bravo! Nonostante la balbuzie finale ti sei confermato _the best_ [ _beast?_ ]. Io invece ho pensato che, siccome ad ogni incontro esce 1 giocatore e ne deve restare UNO SOLO..."
@@Pogo4799 Dipende un po' come vuoi strutturare il torneo... Io farei 27 bye per le prime 27 teste di serie. Farei poi incontrare i restanti 74 e poi con 27+37 partirei con i 32i di finale.
Partite: 37+32+16+8+4+2+1 = 100
@BeniaminoArtusisaluti.
Credo di aver sintetizzato troppo.
A) per mia comodità mnemonica, faccio prima i calcoli "lunghi" a mente sgombra
Σ per n da 0 a 5 di 2ⁿ = 63
Ora passo all'aritmetica.
B) il metodo da me usato presuppone proprio quello stesso _bye_ per 27 giocatori.
Per ridurre a 64, devo per forza aver fatto giocare
37 contro 37
Nel frattempo,
101-37-37=27 ( _bye_ )
aspettavano gli esiti.
Buon appetito.
Un altro teorema sul baricentro che pochi conoscono ruclips.net/video/Po_MsY1IAL0/видео.html
Complimenti 👍👏👍👏
Bello! Mi sono riguardato anche l’altro video da lei suggerito; il like l’avevo già dato 😀
Buongiorno Valerio!
La geometria euclidea ha sempre il suo fascino!
Sto rileggendo il Boyer e sono giunto proprio alla matematica/geometria greca...
Bel quesito. Facile se si conosce e/o ci si ricorda il Teorema della Mediana. Il Teorema, oltre che stabilire che il baricentro triseca la mediana, dimostra un'altra proprietà spesso dimenticata; le congiungenti i punti medi sono parallele ai lati opposti.
Si può anché dimostrare con i vettori. Sapendo che la somma dei rispettivi vettori dal baricentro di un sistema di punti a ognuno di questi punti (o vice versa) è nulla, si esprime il vettore GG’ in tre modi possibili :
vett.GG’ = vett. G’B + vett.BP + vett.PG = vett.G’P + vett.PC + vett.CG = vett.Ga + vett.AG,
onde 3 vett.G’G = vett.BP + vett.PC + (vett.G’B + vett.G’P + vett.G’A) + (vett.PG + vett.CG + vett.AG) = vett.BC, essendo le somme fra parentesi nulle.
I vett,BC e vett.GG’ sono collineari dunque I segmenti corrispondenti sono paralleli. Metodo più lungo che con Talete, ma con la plusvaluta della proporzione fra GG’ e BC. (..purché non sbagli 😅)
Ciao Valerio , mi potresti spigare perchè lo zero fattoriale è uguale a uno
Buon pomeriggio.
Questo video mi ha fatto venire in mente il seguente quesito:
"Sia dato un triangolo ABC i cui due segmenti di bisettrice B(P1) e C(P2) sono tra loro uguali. Dimostrare che ABC è isoscele."
Non ho mai trovato un metodo risolutivo non dico semplice e rapido ma almeno un minimo elegante.
HELP!
######
L'inverso, al contrario, è a dir poco elementare.
"Dato un triangolo ABC isoscele in B e C, dimostrare che i due segmenti di bisettrice B(P1) e C(P2) sono uguali."
Saluti
Se conosci il teorema del coseno (teorema di Carnot) non può che essere AB=AC, quindi ABC è isoscele.
P1=P2, (BH=CH), AB=a, AC=b, AH=x. a^2+x^2-2ax*cosα = b^2+x^2-2bx*cosα a=b
@@Antony_V Non va bene. Tu ipotizzi che AH sia bisettrice dell'angolo BAC; non è corretto. AH, come da tua costruzione è solo mediana; che sia anche bisettrice è sostanzialmente ciò che devi dimostrare. Infatti un triangolo è isoscele se, e solo se, almeno 1 mediana portata da un vertice al lato opposto è anche altezza e bisettrice.
@BeniaminoArtusi allora non ho capito bene cosa intendi per due segmenti di bisettrice
Sono molto arrugginito, oltreché piuttosto ignorante.
A me avevano insegnato che la bisettrice è una retta; la parte di essa ricadente nella superficie del triangolo si chiama appunto "segmento di bisettrice".
Per la cronaca, ricordo questo problema perché all'epoca lo aggredii brutalmente con la Geometria Analitica.
Defatigante, a dir poco.
Saluti e grazie per le risposte.
@@Antony_V Mi pare che tu voglia dimostrare con il Teorema di Al Kashi (l'ha dimostrato molto prima di Carnot) che se 2 bisettrici sono congruenti, allora il triangolo è isoscele. Se mi chiarisci quale angolo intendi per "α" e quale segmento intendi per "x", allora forse ci capiamo.
Se AH = x = congiungente il vertice A con il punto medio di BC (hai scritto BH=CH), allora la dimostrazione che fai non va bene.
Se "x" è una bisettrice congruente all'altra, a quale angolo "α" ti riferisci?
Può essere che non capisca io, quindi ti chiedo di chiarirmi.
G''...