計算エッグい…。よくこんなの積分対決で解けるなぁ、そりゃミスするし解き切ったの脱帽する。勿論僕も計算ミスってました！ 第3回の方法だと確かに2t^2/(t^2-1)^2になって計算しんどい…けど今回の解法も結構しんどいな…。 以下のように部分分数分解を簡略化できないかな。 2t^2/(t^2-1)^2=A/(t-1)+B/(t-1)^2+C/(t+1)+D/(t+1)^2とおいて、両辺に(t^2-1)^2をかけた式で係数比較して得た方程式を、係数だけメモって t^3 t^2 t 1 A A -A -A B 2B B C -C C -C D -2D D 0 2 0 0 って表を描く。で、例えばt^3の係数を比較するとC=-Aだから、それを全部Aの行にまとめて、 t^3 t^2 t 1 / 2A -2A / B 2B B / / / / D -2D D 0 2 0 0 とかける(/と書いたのは分数の記号ではなく斜線で消すって意味)。すると定数項を比較して…って感じ。 めっちゃ見にくくて申し訳ない…。あと、両辺に(t^2-1)^2をかけた式でt=1とかを代入しちゃってもいいかも。
解１）被積分関数全体をtと置きあとは部分分数分解でひたすらごり押し計算する解法。
解２）被積分関数又は被積分関数の分母をtと置き，sin^2(x)/cos^3(x)の積分（部分積分で同形出現パターンで解く）に帰着させる解法。
昨日夢の中で「ヨビノリたくみ、結婚します」って動画を見た
多分あと3年くらい無い
今回の問題は
√{x/(1+x)}の√を外したい
→中身を△^2の形にしたい
→x=○^2かつ1+x=□^2の形になる置換をしたい
→x=○^2かつ1+○^2=□^2になるような置換をしたい
と考えて、出てきた1+○^2=□^2という式の形から○=tanθ、つまりx=tan^2θの置換が思いつくわけです。
部分積分痺れるな
置換によっては(cosθ)^-3の積分という星5を経由させられますので星6認定致します。
｢方法｣っていう超絶やさしい単語で噛むのは草
置換積分、部分積分、部分分数分解の積分のパーティー(語彙力)
logも入って、高校の数3の復習にはぴったり
予備ノリキラー持ち二人
√x/(x+1)をまるごとtと置換し、(2t^2/((1-t^2)^2))dt。2t/(1-t^2)^2は1/(1-t^2)の微分なので、tと2t/(1-t^2)^2に分けて部分積分しても解けました。
すげぇ...うめぇ...やべぇ...かっけぇ...
紙に書いてて気づいたんですけど、dxとdtの関係を求める段階で
x=-t^2/(t^2-1)
=(-(t^2-1)-1)/(t^2-1)
=-1-1/(t^2-1)
の微分を計算しますが、実際に右辺の微分を計算するのではなく、あとで部分積分することを見越して、
dx=(-1/(t^2-1))'dt
のままにしておくと楽ですね。
このあと、逆関数で一瞬で解かれるんだよね
やめたげたww
多分既に収録済みだと思う
「だって、ヨビノリくん」
積サーのから戻ってきてみたけど、あっちで試行錯誤してる姿見てたら、積分っていつもこんなにスマートにいかないよなぁ、って気持ちになった
気持ちのいい手順を探すのも、泥臭くやるのもどっちも大事なんよね、きっと
x=(tanθ)^2かなぁ
分母の√（1+x）をtに変換する
分子が√（t^2-1）になる。
ここで（coshθ）^2-（sinhθ）^2=1について考える。
（coshθ）^2-1=（sinhθ）^2
だからt=coshθとすれば√（（coshθ）^2-1）=sinhθで
t=coshθ
dt=sinhθdθ
であるから結局は、2*∫（sinhθ）^2=∫1-sinh2θと変形はできるよ（双曲線関数では加法定理が成り立つため）
でもこんなの大学受験に求められてないような気もするが……。
∫(cosh2θ -1)dθ [0 →log(√2 -1)] で行けた気がします
@@otabegoro
まぁ使ってもいいけど、高校の範囲を逸脱した解法をする必要がないと考えているのだ
少し手間がかかるけど二回置換積分して最初の形に持っていった👍
√(1+x)＝tとおくと
1+x=t² xは0→1より
dx＝2tdt tは1→√2
よって
√2
2 ∫ √(t²-1)dt
0
t=1/cosθとおくと tは1→√2
dt=sinθ/cos²θ θは0→π/4
また相互関係より
tan² θ=1/cos²θ -1だから
π/4
2 ∫ (sin²θ/cos³θ)dθ
0
以下動画と同じです。
tは1→√2じゃない？
@@松本有紗-o9r そうですね💦ご指摘ありがとうございます🙇
終盤の 1/cosθ は、因数分解して積分できる。
1/cosθ
= cosθ / cos²θ
= cosθ / (1 - sin²θ)
= 1/2 ･ (sinθ)' ･ { 1/(1 + sinθ) + 1/(1 - sinθ) }
から、
∫【0 → π/4】1/cosθ dθ
= 1/2【 log|1 + sinθ| - log|1 - sinθ|】0 → π/4
= log(√2 - 1)
京都の大問1の小問で出たこともあるくらいなので結構有名ですよね
積さーの動画みたときに6:30の変形して、何か方法ありそうだけど、無理って断念しました。
最後まで見ると納得するけど、一人でこんな発想できないです。。途中まで計算して なんとなく、違う方法へと あきらめるかも。。これは慣れなんでしょうか？
定積分で範囲が0〜1だと、なんとなく三角関数の置換をしたくなりますね。
パッと見て置換が思いつかなかったので逆関数を考えました。そうすると、
∫(0→1)√x/(1+x)dx=1/√2-∫(0→1/√2)y^2/1-y^2dy
となったのであとはy=sinθと置換していつも通りの積分でした。
シンプルにその発想はなかったので凄い…
まじかるすてっき 確かにそうですね！
1-y^2と積分範囲に1/√2があった時点で脳死で置換してました笑
勉強になります！
こういう問題をスラスラ解いてるのめっちゃカッコイイ！！
私も解けるようになりたいから頑張ろう！って思える(積分初心者)
割ったらx^2-x^2/(x^3+1)で、普通にログ使えばいけるよな…
解説しながら解くのと
本番とどうようにホワイトボードで
解くのは緊張感が違うw
一見シンプルそうで、うまい置換を使い大変複雑ながらも回答までたどりたつき、気分爽快です。
始めに毎回発想を教えてくれるのがすごく助かる
オーストラリア人のステチル それなです。
中学とかは、やり方をそのまんま1から10まで説明して教えた気になってる先生よく居ました、、、
@@dro833
ヨビノリさんは、やり方を1から10まで教えてないということですか？
@@kiichiokada9973 やり方の1に入る前の思考段階とか1と2のつなぎ方とかが上手いということでは？
7:32 「×cosθの微分だから+のsinθが出てくる」の意味がよくわからないのですがどなたか教えていただけますか
合成関数の微分じゃないでしょうか
合成関数の微分なので、（cosθ)’=-sinθを後から掛ける。その時にそのマイナスが先頭にあるマイナスと打ち消しあって符号がプラスになるということだと思います。
合成関数の微分です。
cosθが含まれてる式を微分したら
最後にcosθの微分
(つまり -sinθ)
をかけなければいけません。
マイナスが打ち消しあってプラスになる
ということだと思います
なるほど！cosθの微分をかけなければならないのが分かってませんでした！
返信してくださった5人の方、ご丁寧にありがとうございました Q.E.D.
x=(tanθ)^2と置換する方法は参考になりました。
ちなみに置換積分でも、t=√(x+1)-√xと置換する方法で解くと結果としては√2+ln(√2-1)と動画内の形とは異なるが、値としては同じになりますね。(計算スペースA5の80%くらい埋まるけど)
今週の積分シリーズ
・１つ目の問題：#1 → ruclips.net/video/vm7LcyupMs0/видео.html
・１つ前の問題：#82 → ruclips.net/video/wHowIEUZp2w/видео.html
・次の問題：#84 → ruclips.net/video/y3_4L4Hh7bk/видео.html
追加
・【高校数学】King Propertyの使い方と図形的意味 → ruclips.net/video/xIvYvac4Ok8/видео.html
追加
・【高校数学】今週の積分#3【難易度★★★★】 → ruclips.net/video/GJKxttevVWg/видео.html
・【高校数学】今週の積分#28【難易度★★★★★】 → ruclips.net/video/YkbuXTr4w_Y/видео.html
やっぱり積サーやんけ！！リベンジナイスゥ！
今までのテクニックが詰まってる
サムネだけ見て解いた時、少し被積分関数を観察してたら(被積分関数)=sinθと置いたら上手くいきそうって思って解いたんだけど、その置換を同値変形したらたくみさんの置換と同じだった
その置換はどのように思いついたのでしょうか.差し支えなければ御教授願いたいです.
与えられた式にｘ:0→1を入れると
0→1/√2と変化することからsinで置換するとうまく行きそうって感じだと思われます
@@baSsSsssSso なるほど…今後はそういう視点でもみてみるようにします.ありがとうございます！
√(1+x)をtと置換する方針で解きました。
やったら計算やばかったなり
y=与式の被積分関数とし、xをyで表す。これを0から1/√2までdxをdyに変えて積分。これがy軸側の面積。
全体をsinθで置換でもできますね。
（被積分関数に1を入れると1/√2なので三角関数が使えると期待してやってみました。）
x=tan^2(θ)置換と同じですね
改めて言うことじゃないけど、ここのコメ欄ほんと好き。
これは良問
やっぱり数学って面白いな。
私置換というものを理解できてないのかもしれませんが
t=sinθと置いたときにもし、t=2になるときがきたらsinθで2になるものはなく、式が破綻してしまいませんか？
t=2になる状況はあり得ないので大丈夫です。
tはsinθの書き替えに過ぎなかったんですね、ありがとうございます。
まるごと=tと置換する方法でも、部分積分を用いるとかなり楽に解けます。
{x/(1+x)}^(1/2)=t
両辺2乗してxについて解き、
x=-t^2/(t^2-1)
={-(t^2-1)-1}/(t^2-1)
=-1-1/(t^2-1) ※工夫一つ目、微分する関数が(2次)/(2次)なので次数を下げる
dx={-1/(t^2-1)}'dt ※工夫二つ目、後で部分積分するので計算せずにとっておく
x0→1
t0→(1/2)^(1/2)
以下簡単のため(1/2)^(1/2)=aとおく
∫[0→1]{x/(1+x)}dx
=∫[0→a]t{-1/(t^2-1)}'dt
=[t{-1/(t^2-1)}][0→a]-∫[0→a]{-1/(t^2-1)}dt ※工夫三つ目、部分積分を用いた
=2^(1/2)+(1/2)∫[0→a]1/(t-1)+1/(t+1)dt
=2^(1/2)+(1/2)[log|t-1|+log|t+1|][0→a]
=2^(1/2)-log{2^(1/2)+1}□
√1+x = tとおくと√(t^2-1)の積分に帰着できてパターン処理できますね
この後青チャートにも載っていますが、√t^2+α （αは負でも可）の積分を公式化してしまうとメチャ速いですね！
今週の積分はこれぐらいのレベルがいい！
最初被積分関数＝ｔって根号まるごと置換して、またｔ＝sinθって置換したから被積分関数＝sinθっておいたら最終的にx＝tan^2θが出てきから結局動画でやってることと変わらなかった
丸ごとtで置換するときの部分分数分解
1/(1-t^2)^2
=1/4t {1/(1-t)^2 - 1/(1+t)^2}
が分かりやすかったから意外と楽やったかも、分母が綺麗に平方やからarctanの積分も出てこなかったですし
被積分関数をまるごと置換して積分する時の計算過程を最初から教えていただけませんか？
俺これでやったけど計算えぐかった笑
パッと見tanθを思いついて出来ましたー
めっちゃ気持ちいい！！
x=(sinht)^2と置換しました。
たくみさんが最初に話してた話を聞いて積分サークルを思い浮かべたのは俺だけか？
積分サークルとのコラボ動画です！
久々に式見て興奮したうおおおおぉ
=tって置換しようなっておもった
また新しい方法を貰えました ありがとうございます！
与式を T と置いて、T^2 を積分（2 重積分）してからルートとればいいじゃないか？と思ってやってみたら、√(log2-1) になっちゃった。どこで間違えたんだろう？
これはいいですね、是非使わせていただきます！
部分分数分解は部分分数分解で要練習、と。
∫√{x/(1+x)}dx
=∫2t^2/(1-t^2)^2dt [∵set:√{x/(1+x)}=t]
=1/2∫{(t-1)^(-1)+(t-1)^(-2)-(t+1)^(-1)+(t+1)^(-2)}dt
=√2+log(√2-1)
いつも、お世話になっております。 月曜のお楽しみでございます。
脳筋理論
～丸ごと置換～
積サーの動画からきたー！！！！
その置換でた瞬間気づいたらぬぁぁるほどぉぉぉぉって言ってた
発想から2sin²θ/cos³θまで行けたけどその後から行けなかった…
tan^2(θ)って負の値をとらないと思うのですが、与式で積分範囲に負の数がある場合や不定積分の場合はどうなるのでしょうか…？
（追記）
もしも積分範囲が-1~0だと、本問の最初の置換ができないことを踏まえると、不定積分で置換するときは、1対1対応がないといけない……？
そりゃ問題によって方法は変わる
それだと広義積分になりますね…(∵x=-1のとき分母が0になる)
この飾り罫は真似したい。
今週の積分を見てたら、丸ごと置換しちゃう
これは☆☆☆☆☆だと思う笑
割り算して、√(x+1)+x=tで置換
この置換は思いつかんかった。
ってか、知らんかった。
根号は外すの発想で行ったら
dxの変換で根号を外せなくて無限ループ入ったわ
sinで解く方法ってどうやるんだろう
積分…対決…
積分定数…ウッ頭が…
根号をまるごと置換しかおもいつかん（）
計算エッグい…。よくこんなの積分対決で解けるなぁ、そりゃミスするし解き切ったの脱帽する。勿論僕も計算ミスってました！
第3回の方法だと確かに2t^2/(t^2-1)^2になって計算しんどい…けど今回の解法も結構しんどいな…。
以下のように部分分数分解を簡略化できないかな。
2t^2/(t^2-1)^2=A/(t-1)+B/(t-1)^2+C/(t+1)+D/(t+1)^2とおいて、両辺に(t^2-1)^2をかけた式で係数比較して得た方程式を、係数だけメモって
t^3 t^2 t 1
A A -A -A
B 2B B
C -C C -C
D -2D D
0 2 0 0
って表を描く。で、例えばt^3の係数を比較するとC=-Aだから、それを全部Aの行にまとめて、
t^3 t^2 t 1
/ 2A -2A /
B 2B B
/ / / /
D -2D D
0 2 0 0
とかける(/と書いたのは分数の記号ではなく斜線で消すって意味)。すると定数項を比較して…って感じ。
めっちゃ見にくくて申し訳ない…。あと、両辺に(t^2-1)^2をかけた式でt=1とかを代入しちゃってもいいかも。
こちらもがんばれます！私も勉強に役立つチャンネル作りました！これからも参考にさせていただきます！
1週間寝かして熟成させたら、どうにか解けた❗
けど、∫(1/(cos θ)^3－1/cos θ)dθの形が出てきて、ここから最後の形に持っていくのに苦労した。
1/cos³の積分は今週の積分★★★★★ですからねぇ…6:40~のうまい部分積分に気づかないと難しいでしょう
(4√2-2)/3じゃためですか？
ようやく積分終わったので今週から参加していきます！
この発想は知らなかった。
x=sinhtと置換するのが無難かなぁ
仕事の全自動化を進め、ベーシックインカムの時代が来たのであろう🌏😷🙋
AIが稼ぎ、全国民で山分け。
すごい関係ないんだけどサムネのルーズリーフ俺も使っててなんかちょっと嬉しかった(語彙力)
今週の積分見るために月曜日は早く起きれるから助かる()
1 + x = 1 + ( √x )^2 より √x = tanθ 、この両辺を2乗した結果 x = tan^2 θ になるわけだ
黒板だとミスりやすいのは、板書する時全体が見づらいからかな
この時間でさっそく低評価押してるのは新手のファン。
なんか知らんけど#83ってすげえな
立って計算するとミスしますよね😅。
面白い置換ですね。
積分は奥が深いです
口頭試問練習に全部みます
冒頭の挨拶がないとそれはそれで寂しいなｗ
0:14 置換がかかった！？
全体置換からの部分積分→(1次式)/(2次式)になったから次数下げの積分で解いた
いがいにむずいw
置換は同じだったけど、そのあとのsin^/cos^3の積分で詰んだわ笑
そこが微分の形なってるってどうやって気づくんだろ
まるごとチカンしました。
いろんな解き方があって、コメ欄含めて面白い。
この後某阪大生に秒でとかれるんだよね…
伏線回収された
黒板に書くときってノートに書くときに比べて視野狭いもんね
あんまり積分やってないから逆にx=tan^2 θの置換が真っ先に思いついた
範囲が0から1だから三角関数っぽいと思ったけどtan^2は思いつかなかった…前回見てなかったのが悔やまれる
1/cos^3の微分は気付かなかった
逆関数にして長方形から引いたら割と簡単にできた(語彙力)
一気に部分分数分解までいける
わおてんさい
∮1/1+t +1/1-t dtって積分したらlog l1+t l +log l 1-t lじゃないの？
1/1-tを-(1/t-1)として積分して、-∮log|t-1|dtとなるが、積分区間の関係と絶対値の意味的に-∮log|1-t|dtと書いてもいいよね、って感じかと
@@user-lg1jw2nz6j 僕のミスでしたね
ありがとうございます
黒板と机との感覚わかります
途中で心折れて計算やめるわなあ。難しい
＜別解＞：x/(1+x) = 1 - 1/(1+x) に注意して、1/(1+x) = (sin y)^2 （0
自分はこれが一番むずかったと思ってる
まるごとちかんでもいけそう
普通に丸ごと置換して部分積分に持ち込みました()
arsinhにしたら面白そうですね。
(√の中身)=tの置換でもいけると思った。
やってはない。