Лихо... не пропускаю ни одного Вашего видео, Валерий. Потрясающе! Спокойно, логично, понятно и доступно! Если бы у меня в своё время были вот такие Учителя.........
Воспользуемся формулой сложных радикалов √(a+√b)=√(((a+√(aa-b))/2)+√(((a-√(aa-b))/2). Так √(9+4√2)=√((9+7)/2)+√((9-7)/2)=√8+1=2√2+1, аналогично √(3+2√2)=√((3+1)/2)+√((3-1)/2)=1+√2, тогда √(43+30√2)=√((43+7)/2)+√((43-7)/2)=5+√18. Ответ тот же. Способ в видео проще. Спасибо за решение.
9+4√2 (Решаем в общем виде) 9 = а^2+b^2, 4√2 = 2ab 2√2=ab a=2√2/b 9=(2√2/b)^2+b^2 9=8/b^2+b^2 (умножим на b^2) 9b^2=8+b^4 b^2=t (замена) 9t=8+t^2 t^2-9t+8=0 t1=1, t2=8 (обратная замена) a=1, b=2√2 (a и b - симметричны при условии их положительных значений )
Смысл подобных примеров в выработке навыка распознавания и выделения полного квадрата. Отрабатывает умение проанализировать выражение, увидеть полный квадрат и свернуть по формуле сокращенного умножения. Плюсом идёт лучшее запоминание формул сокращённого умножения. Что в свою очередь подготавливает к умению выделять полный квадрат в квадратных уравнениях, выводить формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, и лучшему пониманию смысла этих формул.
@@fhvfyhbitkmt издевательством я бы это не назвал, но автор коммента в данном случае прав, заниматься угадыванием здесь непродуктивно. "Навык распознавания" тоже бесполезен - можно угадать, если повезёт, а можно и не угадать. Бывают случаи, когда угадать не так просто, как например с 5+2√6, который я приводил выше. Поэтому вряд ли на такого типа примерах студент сможет что-то натренировать. Да и встречаются они не настолько часто, чтобы всерьёз о них задумываться и тратить силы. Достаточно только знать, что такие "вложенные корни" иногда можно "раскрыть", и что для этого существует простой алгоритм. Например в случае √(9+4√2) - обозначаем результат через переменные - a+√b, и находим их с помощью обычного квадратного уравнения. Знания этого алгоритма вполне достаточно, чтобы быть готовым к таким заданиям. На мой взгляд, преподаватель должен давать информацию именно в таком виде (в виде алгоритма), а не предлагать угадывать там, где без угадывания вполне можно обойтись. P.S. А тренировать навык выделения полного квадрата, который действительно имеет смысл тренировать, можно (и нужно) совсем на других примерах))
@@user-dq6jf9ru9e Ну, я тоже с вами не соглашусь. Во-первых, это задание не для студентов, студенты, даже первых курсов, всё это уже должны уметь и им действительно это не нужно. Подобные задания созданы для школьников 8 класса, где как раз только начинают вводить понятие арифметического корня, потом формулы сокращенного умножения, и наконец квадратного трёхчлена и квадратного уравнения. Во-вторых, угадывать здесь совершенно не нужно, нужно уметь оперировать с квадратами чисел, как минимум их знать. Так же знать свойства корней, в вашем примере как раз нужно уметь оперировать свойством корней и понимать, что √6=√2*√3 и тогда сворачивание в полный квадрат становится вполне очевидным. И вот как раз школьникам, которые только начинают с этим работать, такие примеры очень даже полезны. Введение же алгоритма, да упрощает вычисление, и то не всегда, но в алгоритмах как правило исчезает суть. Дети начинают штамповать по шаблону, даже не задумываясь, что они делают. Ведь ещё раз подчеркну, цель данного примера не вычислить значение, вычислить можно и на калькуляторе, а научить работать с такими выражениями. И да, сначала учат на понятных, привычных детям числах, а потом уже переходят к алгебраическим выражениям. Я не сторонник алгоритмов в обучении, как минимум на начальных этапах изучения той или иной темы. Даже введение формул дискриминанта и корней квадратного уравнения не должны даваться как данность, а сначала должны быть выведены, возможно даже самими детьми, чтобы понимать их смысл. А иначе получится как у меня был случай ещё в бытность мою абитуриентом. Сижу на экзамене, поворачивается ко мне девочка и спрашивает как решать квадратное уравнение. Я пишу ей формулу дискриминанта, корней, что D=b^2-4ac и так далее, на что получаю ответ: "это я знаю, а где взять "a, b, c"?" И кстати, данные примеры изучаются до введения квадратного уравнения и способов его решения, так что решение через квадратное уравнение отпадает. Ну и наконец, какие бы вы предложили примеры для выработки вышеописанных навыков?
Автор не предложил ничего, кроме "угадайки". А если не получится, то что делать? А во многих случаях угадать действительно сложно, взять даже самое простое 5+2√6 - уже неочевидно, что это (√2+√3)², а бывает и сложнее. Для решения таких задач можно легко вывести чёткую формулу (или даже держать её в памяти, если есть желание). Её уже написали в одном из комментариев выше. Поэтому угадывание здесь неуместно. Во всяком случае надо было упомянуть о способах решения "общего случая".
Если бы нельзя было извлечь корень из квадрата, т е привести подкоренное выр-е к квадрату какого- то выражения, задачи бы не было! Первые шаги абсолютно прозрачны, в последнем чуть засомневалась, как 43 представить в виде суммы двух квадратов. И тоже довольно просто! Не так страшен чёрт, как его малюют
Ваше уравнение 4^x-x=1.25 эквивалентно уравнению -(x+1.25)*ln(4)*e^(-(x+1.25)*ln4)=-ln(√2)/√2. (F.1) Решением уравнения (F.1) является x=-1.25-[f^{-1}(-ln(√2)/√2]/ln(4), (F.2) где через f^{-1}(z), z∊[-1/e, +∞) обозначена обратная функция (она многозначна - она имеет две ветви; эта обратная функция известна под именем "функция Ламберта") к функции f(y)=y*e^y, y∊R. Выражение f^{-1}(-ln(√2)/√2 в формуле (F.2) имеет два значения, и лишь один из них обеспечивает целочисленность решения x уравнения (F.1) и, следовательно, исходного уравнения 4^x-x=1.25. А именно, на ветви, в которой f^{-1}(-ln(√2)/√2>=-1, имеет место f^{-1}(-ln(√2)/√2=-ln(√2). Значит, по формуле (F.2) находим: x=-1.25-[-ln(√2)]/ln(4)=-1.5+1/4=-1. На ветви, в которой f^{-1}(-ln(√2)/√2< -1, значение выражения f^{-1}(-ln(√2)/√2 можно найти приближенно (имеются множество приближенных формул): ≈-2.19. Значит, по формуле (F.2) находим: x≈-1.25-[-2.19]/ln(4)≈-1.5+2.19=0.33.
@@AlexDirnitzвроде да. Только желательно чтоб вышло красивенько :) Хотя 5+3√2 не выглядит прям красивенько, ну и ладно хотя бы не кракозябра какая-то.
А это секрет Полишинеля, а не супер-пупертрюк века. Самый главный секрет Полишинеля: авторы используют ответ, к которому надо прийти, и ЕГО начинают усложнять. А никак не наоборот (выдумать сложное, а потом упростить и проверить, что же вообще такое вышло). Берём, например, 1 + √2. Это заранее готовый ответ на задачку, которую мы даже не придумали. Представим как корень квадрата: √(1 + √2)² = √(3 + 2√2). Далее разобьём 3 на сумму двух натуральных (неважно каких): √[2 + (1 + 2√2)]. После этого прогоняем число 1 + 2√2 через такой же трюкан, и так по кругу. Вот и всё. И да, сейчас предчувствую вопросы с подвохами. Так что надо упомянуть, что есть кое-какие мелкие поправки для частных случаев. Допустим, мы хотим разложить не как 2 + (1 + 2√2), а как 1 + (2 + 2√2). То есть это случай, когда из-под скобки можно вытащить общий множитель: 1 + (2 + 2√2) = 1 + 2(1 + √2). Это необязательно, но тогда числа под корнями не будут так нарастать до тысяч, до миллионов (то есть казаться уже искусствеными, специально под такую задачу). Но и в том, и в другом случае всё равно прогоняем внутрискобочную фигню через трюк выше. И другой частный случай: вот мы хотим разложить не на сумму натуральных, а на сумму любых целых. Да, можно взять 6 + (−3 + 2√2). Но надо внимательно смотреть, является ли скобка < 0 или нет. Потому что согласно схеме выше мы же хотим представить скобку как корень квадрата, верно ж? А корень квадрата - это модуль. Так что быстренько меняем 6 + (−3 + 2√2) на 6 − (3 − 2√2) и прогоняем число 3 − 2√2 > 0 через трюк выше. Вот и всё (парам-парам-пам)!
Лихо... не пропускаю ни одного Вашего видео, Валерий. Потрясающе! Спокойно, логично, понятно и доступно! Если бы у меня в своё время были вот такие Учителя.........
В школе я не любила такие примеры, ибо они вызывают страх из-за того, что корней много, а решается вопрос достаточно просто
Воспользуемся формулой сложных радикалов √(a+√b)=√(((a+√(aa-b))/2)+√(((a-√(aa-b))/2). Так √(9+4√2)=√((9+7)/2)+√((9-7)/2)=√8+1=2√2+1, аналогично √(3+2√2)=√((3+1)/2)+√((3-1)/2)=1+√2, тогда √(43+30√2)=√((43+7)/2)+√((43-7)/2)=5+√18. Ответ тот же. Способ в видео проще. Спасибо за решение.
Щёлкал в школе как семечки, чем больше корней , тем умнее я себя считал , потому что многим сложно было😏 Горделивый глупец😅
9+4√2
(Решаем в общем виде)
9 = а^2+b^2, 4√2 = 2ab
2√2=ab
a=2√2/b
9=(2√2/b)^2+b^2
9=8/b^2+b^2 (умножим на b^2)
9b^2=8+b^4
b^2=t (замена)
9t=8+t^2
t^2-9t+8=0
t1=1, t2=8 (обратная замена)
a=1, b=2√2 (a и b - симметричны при условии их положительных значений )
Отличное решение👍
Абракадабра, которая очень просто решается. Надо только немного помастерить😊))
Кто бы сказал, в чем смысл подобных задач. По-моему, к обучению математике это не имеет отношения. Так, фокус с издёвочкой.
Смысл подобных примеров в выработке навыка распознавания и выделения полного квадрата. Отрабатывает умение проанализировать выражение, увидеть полный квадрат и свернуть по формуле сокращенного умножения. Плюсом идёт лучшее запоминание формул сокращённого умножения. Что в свою очередь подготавливает к умению выделять полный квадрат в квадратных уравнениях, выводить формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, и лучшему пониманию смысла этих формул.
@@fhvfyhbitkmt Спасибо, я понял, что это как бы про полный квадрат. Но нельзя ли вырабатывать навык его распознавания, не издеваясь над учащимися?
@@opanick74 а в чём издевательство? Как вы выработаете навык без нарешивания однотипных примеров? Ну, или какого типа должны быть примеры?
@@fhvfyhbitkmt издевательством я бы это не назвал, но автор коммента в данном случае прав, заниматься угадыванием здесь непродуктивно.
"Навык распознавания" тоже бесполезен - можно угадать, если повезёт, а можно и не угадать. Бывают случаи, когда угадать не так просто, как например с 5+2√6, который я приводил выше. Поэтому вряд ли на такого типа примерах студент сможет что-то натренировать. Да и встречаются они не настолько часто, чтобы всерьёз о них задумываться и тратить силы.
Достаточно только знать, что такие "вложенные корни" иногда можно "раскрыть", и что для этого существует простой алгоритм.
Например в случае √(9+4√2) - обозначаем результат через переменные - a+√b, и находим их с помощью обычного квадратного уравнения.
Знания этого алгоритма вполне достаточно, чтобы быть готовым к таким заданиям.
На мой взгляд, преподаватель должен давать информацию именно в таком виде (в виде алгоритма), а не предлагать угадывать там, где без угадывания вполне можно обойтись.
P.S. А тренировать навык выделения полного квадрата, который действительно имеет смысл тренировать, можно (и нужно) совсем на других примерах))
@@user-dq6jf9ru9e Ну, я тоже с вами не соглашусь. Во-первых, это задание не для студентов, студенты, даже первых курсов, всё это уже должны уметь и им действительно это не нужно. Подобные задания созданы для школьников 8 класса, где как раз только начинают вводить понятие арифметического корня, потом формулы сокращенного умножения, и наконец квадратного трёхчлена и квадратного уравнения. Во-вторых, угадывать здесь совершенно не нужно, нужно уметь оперировать с квадратами чисел, как минимум их знать. Так же знать свойства корней, в вашем примере как раз нужно уметь оперировать свойством корней и понимать, что √6=√2*√3 и тогда сворачивание в полный квадрат становится вполне очевидным. И вот как раз школьникам, которые только начинают с этим работать, такие примеры очень даже полезны.
Введение же алгоритма, да упрощает вычисление, и то не всегда, но в алгоритмах как правило исчезает суть. Дети начинают штамповать по шаблону, даже не задумываясь, что они делают. Ведь ещё раз подчеркну, цель данного примера не вычислить значение, вычислить можно и на калькуляторе, а научить работать с такими выражениями. И да, сначала учат на понятных, привычных детям числах, а потом уже переходят к алгебраическим выражениям. Я не сторонник алгоритмов в обучении, как минимум на начальных этапах изучения той или иной темы. Даже введение формул дискриминанта и корней квадратного уравнения не должны даваться как данность, а сначала должны быть выведены, возможно даже самими детьми, чтобы понимать их смысл. А иначе получится как у меня был случай ещё в бытность мою абитуриентом. Сижу на экзамене, поворачивается ко мне девочка и спрашивает как решать квадратное уравнение. Я пишу ей формулу дискриминанта, корней, что D=b^2-4ac и так далее, на что получаю ответ: "это я знаю, а где взять "a, b, c"?"
И кстати, данные примеры изучаются до введения квадратного уравнения и способов его решения, так что решение через квадратное уравнение отпадает.
Ну и наконец, какие бы вы предложили примеры для выработки вышеописанных навыков?
Автор не предложил ничего, кроме "угадайки".
А если не получится, то что делать? А во многих случаях угадать действительно сложно, взять даже самое простое 5+2√6 - уже неочевидно, что это (√2+√3)², а бывает и сложнее.
Для решения таких задач можно легко вывести чёткую формулу (или даже держать её в памяти, если есть желание). Её уже написали в одном из комментариев выше.
Поэтому угадывание здесь неуместно. Во всяком случае надо было упомянуть о способах решения "общего случая".
Это школьная программа. Там нет общих случаев, просто знакомят детей с самим фактом такого способа решения. А канал чисто по программе идёт
Если бы нельзя было извлечь корень из квадрата, т е привести подкоренное выр-е к квадрату какого- то выражения, задачи бы не было! Первые шаги абсолютно прозрачны, в последнем чуть засомневалась, как 43 представить в виде суммы двух квадратов. И тоже довольно просто! Не так страшен чёрт, как его малюют
А есть ли какие-нибудь формулы для извлечения вложенных радикалов?
Есть.
выше был коммент об этом
Добрый день Валерий! На какой email можно отправить Вам интересное задание для решения?
sqrt(13+30sqrt(3+2sqrt2))
Можешь решить уравнение
4^x - x = 1.25?
Желательно без подбора
Ваше уравнение 4^x-x=1.25 эквивалентно уравнению
-(x+1.25)*ln(4)*e^(-(x+1.25)*ln4)=-ln(√2)/√2. (F.1)
Решением уравнения (F.1) является
x=-1.25-[f^{-1}(-ln(√2)/√2]/ln(4), (F.2)
где через f^{-1}(z), z∊[-1/e, +∞) обозначена обратная функция (она многозначна - она имеет две ветви; эта обратная функция известна под именем "функция Ламберта") к функции f(y)=y*e^y, y∊R.
Выражение f^{-1}(-ln(√2)/√2 в формуле (F.2) имеет два значения, и лишь один из них обеспечивает целочисленность решения x уравнения (F.1) и, следовательно, исходного уравнения 4^x-x=1.25. А именно, на ветви, в которой f^{-1}(-ln(√2)/√2>=-1, имеет место f^{-1}(-ln(√2)/√2=-ln(√2). Значит, по формуле (F.2) находим:
x=-1.25-[-ln(√2)]/ln(4)=-1.5+1/4=-1.
На ветви, в которой f^{-1}(-ln(√2)/√2< -1, значение выражения f^{-1}(-ln(√2)/√2 можно найти приближенно (имеются множество приближенных формул): ≈-2.19. Значит, по формуле (F.2) находим:
x≈-1.25-[-2.19]/ln(4)≈-1.5+2.19=0.33.
Может, 4^ х+ х=5/4?? Графически! Не минус, а плюс. Х= -1
А без ТФКП никак? Красиво, но ТФКП было почти 50 лет назад и практически забыто
@@ЛюбовьМаркова-б9г не понял, где Вы видите ТФКП? Может, символ ln ввёл Вас в заблуждение? - ln означает натуральный логарифм.
@19shg67 в курсе насчёт ln. ТФКП увидела в ветвях обратной функции. Если не права, прошу простить!
5+V(18).
5+3sqrt(2)
5 + √18
Как же такие примеры придумывают?
На самом деле - ничего сложного. (так мне кажется)
@@AlexDirnitzвроде да. Только желательно чтоб вышло красивенько :) Хотя 5+3√2 не выглядит прям красивенько, ну и ладно хотя бы не кракозябра какая-то.
А это секрет Полишинеля, а не супер-пупертрюк века. Самый главный секрет Полишинеля: авторы используют ответ, к которому надо прийти, и ЕГО начинают усложнять. А никак не наоборот (выдумать сложное, а потом упростить и проверить, что же вообще такое вышло).
Берём, например, 1 + √2. Это заранее готовый ответ на задачку, которую мы даже не придумали. Представим как корень квадрата: √(1 + √2)² = √(3 + 2√2). Далее разобьём 3 на сумму двух натуральных (неважно каких): √[2 + (1 + 2√2)]. После этого прогоняем число 1 + 2√2 через такой же трюкан, и так по кругу. Вот и всё.
И да, сейчас предчувствую вопросы с подвохами. Так что надо упомянуть, что есть кое-какие мелкие поправки для частных случаев. Допустим, мы хотим разложить не как 2 + (1 + 2√2), а как 1 + (2 + 2√2). То есть это случай, когда из-под скобки можно вытащить общий множитель: 1 + (2 + 2√2) = 1 + 2(1 + √2). Это необязательно, но тогда числа под корнями не будут так нарастать до тысяч, до миллионов (то есть казаться уже искусствеными, специально под такую задачу). Но и в том, и в другом случае всё равно прогоняем внутрискобочную фигню через трюк выше.
И другой частный случай: вот мы хотим разложить не на сумму натуральных, а на сумму любых целых. Да, можно взять 6 + (−3 + 2√2). Но надо внимательно смотреть, является ли скобка < 0 или нет. Потому что согласно схеме выше мы же хотим представить скобку как корень квадрата, верно ж? А корень квадрата - это модуль. Так что быстренько меняем 6 + (−3 + 2√2) на 6 − (3 − 2√2) и прогоняем число 3 − 2√2 > 0 через трюк выше.
Вот и всё (парам-парам-пам)!
@@timothejos Спс, я примерно так и думал
@@timothejos Абсолютно верно. Именно так и поступают.
первый
9,242640687119285