@@algebrilleexceller3455 le prédicat en fonction de n un entier naturel c'est "5^2n=1[8] ET 5^2n+1=5[8]" Initialisation : Pour n=0 D'une part : 5^2*0=1 et 5^2*0+1=5 D'autre part : 1=1[8] et 5=5[8] La propriété est initialisée pour n=0 Hérédité: Soit n un entier naturel. Supposons que le prédicat soit vrai au rang n, démontrons qu'alors il est vrai au rang n+1 On a, d'après l'hypothèse de récurrence : 5^2n=1[8] et 5^2n+1=5[8] =>5²*5^2n=25[8] et 5²*5^2n+1=125[8] => 5^2(n+1)=3*8+1[8] et 5^2(n+1)+1=15*8+5[8] => 5^2(n+1)=1[8] et 5^2(n+1)+1=5[8] La propriété est donc héréditaire. Conclusion : La propriété est initialisée pour n=0 et héréditaire à partir de ce rang, d'après l'axiome de récurrence la propriété est donc vraie pour tout entier naturel.
C'est congru à 5 modulo 8 non ? (C'est pas mon truc l'arithmétique)
@@captainlyrae8622 très bien!
Enfaite toute puissance paire de 5 est congrue à 1 modulo 8 et toute puissance paire de 5 est congrue à 5 modulo 8 non ?
Ça doit se faire par récurrence peut être
La deuxième fois que je dis paire je voulais dire impaire
@@captainlyrae8622 exactement! Essaie de le démontrer 😉
@@algebrilleexceller3455 le prédicat en fonction de n un entier naturel c'est
"5^2n=1[8] ET 5^2n+1=5[8]"
Initialisation :
Pour n=0
D'une part :
5^2*0=1 et 5^2*0+1=5
D'autre part :
1=1[8] et 5=5[8]
La propriété est initialisée pour n=0
Hérédité:
Soit n un entier naturel. Supposons que le prédicat soit vrai au rang n, démontrons qu'alors il est vrai au rang n+1
On a, d'après l'hypothèse de récurrence :
5^2n=1[8] et 5^2n+1=5[8]
=>5²*5^2n=25[8] et 5²*5^2n+1=125[8]
=> 5^2(n+1)=3*8+1[8] et 5^2(n+1)+1=15*8+5[8]
=> 5^2(n+1)=1[8] et 5^2(n+1)+1=5[8]
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion :
La propriété est initialisée pour n=0 et héréditaire à partir de ce rang, d'après l'axiome de récurrence la propriété est donc vraie pour tout entier naturel.