Телеграм "Этому не учат в школе" - t.me/yellow_sc... Найди хорду, если площадь квадрата равна 5, а его правый нижний угол совпадет с серединой диаметра полукруга.
Можно проще решить. Если достроить слева вторую хорду от верхней красной точки, то получится прямоугольный треугольник, подобный нижнему правому с катетами корень из 5 и корень из 10. Отсюда по теореме Пифагора находим красный отрезок
@@СтасПапуас-ю1т от верхней точки пересечения красной зорды и полукруга в левый угол полукруга. Треугольник прямоугольный, поскольку опирается на диаметр, поэтому подобен треугольнику из корней 5-10-15, поскольку один (правый) угол общий. Подобие по трем углам.
Решил иначе: 1. Находим радиус, он равен sqrt(10) 2. Находим большую часть неизвестной нам хорды, по теореме Пифагора - используя наш радиус и сторону квадрата как катеты, получаем sqrt(15) 3. Теперь находим синус угла между нашей неизвестной хордой и диаметром окружности, он будет равен sqrt(5) \ sqrt(15) = 1\sqrt(3) 4. Теперь от центра нашего диаметра проведем отрезок к другой части нашей хорды, вверх, и получим таким образом равнобедренный треугольник. 5. Теперь, в нашем равнобедренном треугольнике опустим высоту из центра окружности на нашу хорду, и эта высота одновременно будет медианой, делящей хорду на две равных части. 6. Теперь рассмотрим один из получившихся прямоугольных треугольников, в котором наш радиус является гипотенузой, и в котором нам известен синус одного из углов. Через синус угла и гипотенузу, мы находим нашу высоту(катет), т.к. h\sqrt(10) = 1\sqrt(3) => h = sqrt(30)\3 , теперь , зная гипотенузу и один из катетов, мы можем найти другой катет, который и является половинкой нашей хорды, и останется только умножить получившееся значение на два. 7. И так, по теореме Пифагора находим половинку хорды: sqrt(10)^2 - (sqrt(30)\3)^2 = sqrt(60)\3 , умножаем на два и получаем 2*sqrt(60)\3 = 4*sqrt(15)\3. Может кому-то ближе будет этот метод))
Без теоремы о хордах. Сторона квадрата √5, диагональ R=√10. Соединив верхнюю точку красного отрезка с центром окружности, получим равнобедренный треугольник (боковые стороны R=√10). Опустив высоту h из О на красный отрезок, разобьём равнобедренный на два треугольника подобных треугольнику √5, √10, √15 (по двум углам: 90° и правовому общему). У подобных треугольников отношение катетов равно отношению гипотенуз x/2÷√10=√10÷√15, откуда x=20/√15, умножив числитель и знаменатель на √15 и сократив на 5, получим ответ как в видео x=4√15/3.
Ничего олимпиадного. На этом канале была задача про маленький голубенький треугольничек внутри большого треугольника. Вот это была ОЛИМПИАДА. Двое суток, помнится, решал! Ну а здесь: Сразу же находится радиус, равный sqrt(10) (диагональ квадрата). Затем по Пифару участок красной линии от правого верхнего угла квадрата до линии полукруга будет sqrt(15). Теперь от правого верхнего угла квадрата продолжить сторону квадрата вправо, получится хорда, параллельная диаметру, поделённая на два отрезка по sqrt(5) каждый. Обозначить оставшуюся часть красной линии как х. И теперь по теореме о пересекающихся хордах будет: х*sqrt(15) = 5, откуда х = sqrt(5/3). В итоге красная линия будет 4*sqrt(5/3) = 4/3*sqrt(15).
Я не помнил теорему о хордах. И без неё легко решил. До гипотенузы √15 решал так же. Потом соединил край хорды с серединой окружности. Получил равнобедренный треугольник с боковыми соторонами - радиусами. Опучтил диагональ. Затем, зная все стороны треугольника с гипотенузой √15, легко найти половину искомой хорды. Хочешь, через косинус, хочешь длиннее через площадь или другие тригонометрические функции. Умножаем на 2, получаем ответ
Задача интересная, но и правда не очень сложная. Бывала я на зарубежных мат.каналах, ужасно скучные. Долго, нудно разбирают простые вещи. Конечно, русское образование кажется им отличным, при их-то уровне((
Мудрёно. Я соединил левый кодиаметра с левым краем искомой хорды и получил прямоугольный (поскольку гипотенуза - диаметр) треугольник, в котором надо найти бОльший катет. При этом треугольник подобен найденному нами в одно действие меньшему, с катетами в корень из десяти и корень из пяти соответственно.(поскольку гипотенуза - диаметр). Всё.
До доппостроения шёл так же, но не достраивал окружность, а провёл перпендикуляр к хорде из центра окружности. Он поделил хорду пополам (если кто не знает, есть такая теорема). Далее из подобия треугольников нашёл половину хорды, а затем и всю хорду.
1. Напрасно рисовал окружность. Достаточно продолжить верхнюю сторону квадрата до пересечения с окружностью. 2. Задача вовсе не олимпиадная, а очень даже типовая. И будь я иностранцам, я бы после этого лживого названия русских просто пожалел
Я решил с помощью синуса. Нашёл синус угла между хордой и диаметром. Провёл перпендикуляр к хорде из центра диаметра. Нашёл значение отрезка перпендикулярного хорде, через отношение в синусе. через теорему пифагора нашёл половину хорды и умножил её на два.
Решил подобием треугольников, достроил от точки центра до точки пересечения хорды отрезок. Получился равнобедренный треугольник. Его катеты это радиусы, а гипотенуза хорда. От центра построил высоту к гипотенузе этого треугольника , в этой точке ровно половина гипотенузы,и получил еще один прямоугольный треугольник, а далее по теореме Пифагора и подобию этих треугольников (нового на половинке хорды и того у которого гипотенуза корень из 15) , ответ корень из 20/3 умноженный на 2. или около 5,163977...(такой же как у автора.) Спасибо за видео и задачку, было интересно решить.
Устная задача,на подобие треугольников, один операется на диаметр,надо только достроить второй катет,у одного гипотенуза диаметр а гипотезу у другого вычислить по Пифагору.В какой олимпиаде такая лабуда?
После нахождения гипотенузы корень из15 , проводим хорду от верхней точки красной хорды до точки пересечения диаметра и окружности. Получаем 2 прямоугольных треугольника с общим острым углом, они очевидно подобны. Гипотенузы известны у обоих находим катет по коэф подобия.
Моё решение. Провёл вторую хорду в левую точку диаметра, получил прямоугольный треугольник опирающийся на на диаметр. А потом через подобие треугольников (по 2м углам) выразил неизвестную сторону
S - площадь квадрата, а - сторона, R - диагональ (она же радиус окружности), 2R - диаметр, d - хорда. Дорисуйте прямой угол, опирающийся на диаметр. Имеем тангенс (a/R) и косинус (d/2R) угла наклона хорды к диаметру. Основное тригонометрическое тождество, которое связывает тангенс и косинус, решает задачу в общем виде.
![Тестовый вопрос, на который все ответили неверно [Veritasium]](http://i.ytimg.com/vi/yP_hDez9wXA/mqdefault.jpg)
Можно проще решить. Если достроить слева вторую хорду от верхней красной точки, то получится прямоугольный треугольник, подобный нижнему правому с катетами корень из 5 и корень из 10. Отсюда по теореме Пифагора находим красный отрезок
Непонятно, куда эта хорда ведёт?
Я тоже сделала через подобие,
точно, там и Пифагора один раз надо. По подобию x/2корня(10) = корень(10)/корень(15)
@@СтасПапуас-ю1т от верхней точки пересечения красной зорды и полукруга в левый угол полукруга. Треугольник прямоугольный, поскольку опирается на диаметр, поэтому подобен треугольнику из корней 5-10-15, поскольку один (правый) угол общий. Подобие по трем углам.
Мы, за пол часа нашли 3 решения, кроме решения из видео. С подобными треугольниками в том числе.
Как с Вами легко Спасибо!
Решил иначе:
1. Находим радиус, он равен sqrt(10)
2. Находим большую часть неизвестной нам хорды, по теореме Пифагора - используя наш радиус и сторону квадрата как катеты, получаем sqrt(15)
3. Теперь находим синус угла между нашей неизвестной хордой и диаметром окружности, он будет равен sqrt(5) \ sqrt(15) = 1\sqrt(3)
4. Теперь от центра нашего диаметра проведем отрезок к другой части нашей хорды, вверх, и получим таким образом равнобедренный треугольник.
5. Теперь, в нашем равнобедренном треугольнике опустим высоту из центра окружности на нашу хорду, и эта высота одновременно будет медианой, делящей хорду на две равных части.
6. Теперь рассмотрим один из получившихся прямоугольных треугольников, в котором наш радиус является гипотенузой, и в котором нам известен синус одного из углов.
Через синус угла и гипотенузу, мы находим нашу высоту(катет), т.к. h\sqrt(10) = 1\sqrt(3) => h = sqrt(30)\3 , теперь , зная гипотенузу и один из катетов, мы можем найти другой катет, который и является половинкой нашей хорды, и останется только умножить получившееся значение на два.
7. И так, по теореме Пифагора находим половинку хорды: sqrt(10)^2 - (sqrt(30)\3)^2 = sqrt(60)\3 , умножаем на два и получаем 2*sqrt(60)\3 = 4*sqrt(15)\3.
Может кому-то ближе будет этот метод))
Тригонометрия с этими высотами у прямоугольных треугольников наверное самое сложное, т.к. там запутаться легко.
Решали с внуком пятиклассником. Не решили. Очень интересно и познавательно. Ждём новых задач.
Это очень круто, развивать математику в пятикласснике на таком уровне!!!
Без теоремы о хордах. Сторона квадрата √5, диагональ R=√10. Соединив верхнюю точку красного отрезка с центром окружности, получим равнобедренный треугольник (боковые стороны R=√10). Опустив высоту h из О на красный отрезок, разобьём равнобедренный на два треугольника подобных треугольнику √5, √10, √15 (по двум углам: 90° и правовому общему). У подобных треугольников отношение катетов равно отношению гипотенуз x/2÷√10=√10÷√15, откуда x=20/√15, умножив числитель и знаменатель на √15 и сократив на 5, получим ответ как в видео x=4√15/3.
Ничего олимпиадного. На этом канале была задача про маленький голубенький треугольничек внутри большого треугольника. Вот это была ОЛИМПИАДА. Двое суток, помнится, решал! Ну а здесь:
Сразу же находится радиус, равный sqrt(10) (диагональ квадрата). Затем по Пифару участок красной линии от правого верхнего угла квадрата до линии полукруга будет sqrt(15). Теперь от правого верхнего угла квадрата продолжить сторону квадрата вправо, получится хорда, параллельная диаметру, поделённая на два отрезка по sqrt(5) каждый. Обозначить оставшуюся часть красной линии как х. И теперь по теореме о пересекающихся хордах будет: х*sqrt(15) = 5, откуда х = sqrt(5/3). В итоге красная линия будет 4*sqrt(5/3) = 4/3*sqrt(15).
Я не помнил теорему о хордах. И без неё легко решил.
До гипотенузы √15 решал так же.
Потом соединил край хорды с серединой окружности. Получил равнобедренный треугольник с боковыми соторонами - радиусами.
Опучтил диагональ.
Затем, зная все стороны треугольника с гипотенузой √15, легко найти половину искомой хорды. Хочешь, через косинус, хочешь длиннее через площадь или другие тригонометрические функции.
Умножаем на 2, получаем ответ
Задача интересная, но и правда не очень сложная. Бывала я на зарубежных мат.каналах, ужасно скучные. Долго, нудно разбирают простые вещи. Конечно, русское образование кажется им отличным, при их-то уровне((
Задача интересная, спасибо !
Мудрёно. Я соединил левый кодиаметра с левым краем искомой хорды и получил прямоугольный (поскольку гипотенуза - диаметр) треугольник, в котором надо найти бОльший катет. При этом треугольник подобен найденному нами в одно действие меньшему, с катетами в корень из десяти и корень из пяти соответственно.(поскольку гипотенуза - диаметр). Всё.
Надо было ввести точки, проще решение и понятно было бы. Спасибо
"Не какая нибудь турецкая а импортозамещенная задача.
Подскажите, откуда 4/3 взялось в конце? Типо √15 это как единица? И можно было бы в ответе записать как (√15+√135)/3 ??
можно, но выглядит не до конца упрощенным. Вынеси √15 за скобку.
Альтернативное решение:
Диагональ квадрата со стороной √5 является радиусом окружности. Радиус R = √10
В треугольнике с катетами √5 и √10 гипотенуза равна √15 по теореме Пифагора.
Из центра окружности проведём радиус до точки пересечения неизвестной хорды с окружностью. Получится равнобедренный треугольник (по определению).
Пусть угол между диаметром и искомой хордой - А, а угол между радиусами - В.
Угол В = π - 2×A
Теорема косинусов:
Х^2 = R^2 + R^2 - 2×R×R×cos(B)
X^2 = 2×R^2×(1 - cos(B))
R = √10
B = π - 2×A
cos(B) = cos(π - 2×A) = - cos(2×A) = - (cos^2(A) - sin^2(A)) = sin^2(A) - cos^2(A)
Из треугольника с катетами √5 и √10:
sin(A) = √5 : √15
cos(A) = √10 : √15
cos(B) = 5/15 - 10/15 = - 5/15 = - 1/3
X^2 = 2×(√10)^2×(1 - (-1/3))
X^2 = 20×(1+1/3) = 20×(4/3)
X = 4×√(5/3) = 4×√(5×3/3×3) = 4/3 × √15
До доппостроения шёл так же, но не достраивал окружность, а провёл перпендикуляр к хорде из центра окружности. Он поделил хорду пополам (если кто не знает, есть такая теорема). Далее из подобия треугольников нашёл половину хорды, а затем и всю хорду.
Но ведь это не пересекающиеся хорды, одна из линий очевидно диаметр....
диаметр тоже хорда
= выглядит как >
Можешь пожалуйста сказать как умножают немцы
1. Напрасно рисовал окружность. Достаточно продолжить верхнюю сторону квадрата до пересечения с окружностью.
2. Задача вовсе не олимпиадная, а очень даже типовая. И будь я иностранцам, я бы после этого лживого названия русских просто пожалел
Имба, как всегда!❤❤
Я решил с помощью синуса. Нашёл синус угла между хордой и диаметром. Провёл перпендикуляр к хорде из центра диаметра. Нашёл значение отрезка перпендикулярного хорде, через отношение в синусе. через теорему пифагора нашёл половину хорды и умножил её на два.
Присоединяюсь к многочисленным комментаторам , которые получают большой прямоугольный треугольник опирающийся на диаметр . (1) (искомый катит)=2*R*cos(@) .
[tg(@) ]^2=5/10=1/2 . (2) [cos(@)]^2=[cos(@)]^2/{ [cos(@)]^2+[sin(@)]^2 }=1/{ [tg(@)]^2+1}=2/3 . Значит : (3) cos(@)=sqrt(2/3)=sqrt(6)/3 (3) Подставляем (3) в (1) { с учётом полученным Вами : R=sqrt(10) } - получаем Ваш ответ.
С уважением , Лидий Клещельский
👍
Решил подобием треугольников, достроил от точки центра до точки пересечения хорды отрезок. Получился равнобедренный треугольник. Его катеты это радиусы, а гипотенуза хорда. От центра построил высоту к гипотенузе этого треугольника , в этой точке ровно половина гипотенузы,и получил еще один прямоугольный треугольник, а далее по теореме Пифагора и подобию этих треугольников (нового на половинке хорды и того у которого гипотенуза корень из 15) , ответ корень из 20/3 умноженный на 2. или около 5,163977...(такой же как у автора.) Спасибо за видео и задачку, было интересно решить.
Русские идут домой!
Устная задача,на подобие треугольников, один операется на диаметр,надо только достроить второй катет,у одного гипотенуза диаметр а гипотезу у другого вычислить по Пифагору.В какой олимпиаде такая лабуда?
Для какого это класса? Больно легкая, я за 5 мин решила
Гол
Красиво
После нахождения гипотенузы корень из15 , проводим хорду от верхней точки красной хорды до точки пересечения диаметра и окружности. Получаем 2 прямоугольных треугольника с общим острым углом, они очевидно подобны. Гипотенузы известны у обоих находим катет по коэф подобия.
Я тоже так сделала😊
Моё решение. Провёл вторую хорду в левую точку диаметра, получил прямоугольный треугольник опирающийся на на диаметр. А потом через подобие треугольников (по 2м углам) выразил неизвестную сторону
S - площадь квадрата, а - сторона, R - диагональ (она же радиус окружности), 2R - диаметр, d - хорда. Дорисуйте прямой угол, опирающийся на диаметр. Имеем тангенс (a/R) и косинус (d/2R) угла наклона хорды к диаметру. Основное тригонометрическое тождество, которое связывает тангенс и косинус, решает задачу в общем виде.
С квадратом даже избыточно. Это российская задача, интересно, как решат еë сами российские..