Ну,вообще по виду да, кажется что-то похожее на сопряженное и такое как раз появляется в полиномиальных уравнения, а дальше уже становится ясно, тупым гуглингом. Ясно,что это может быть корнем только кубического уравнения из-за многозначности функции. Ну а дальше гуглим формулу Кардано и сразу находим глазом замену. В общем, это не просто, но посильно
не, ну ппц просто... четыре часа потратил... чуть не свихнулся... две тригонометрические замены делал... даже в комплексный анализ залез... нифига не получилось... спасибо) крутой разбор
Если y равен подынтегральному выражению, то можно для нахождения верхнего предела по y подставить соответствующий x в подынтегральное выражение. Тогда неопределенности в значениях не будет.
Чтобы вычислить верхний предел интегрирования для y, проще подставить в выражение y(x) единицу. Тогда там никакого второго варианта не будет, а все вычисления делаются в уме.
В целом, из-за сопряженности слагаемых, я обозначил все подынтегральное выражение за t и далее рассмотрел выражение t^3=((1+sqrt(1-x^3))^(1/3)+(1-sqrt(1-x^3))^(1/3))^3=|по формуле куба суммы (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b), причем a+b=t|=1+sqrt(1-x^3)+1-sqrt(1-x^3)+3(1-(1-x^3))^(1/3)*t=2+3xt => t^3-3xt-2=0. То есть то же, что и у Вас. Получается не обязательно помнить формулу Кардано, хотя видимо примерно так она и выводиться)!
смешно было б, если б при выяснении пределов интегрирования, уравнения были бы не такими простыми... и опять пришлось бы обращаться к кардано... а то и к самому тарталье
Спасибо за видео. Честно признаться, сразу же как увидел (вот прям начало видео, как только увидел), подумал про формулу Кардано, уж очень похоже на формулу корней кубического уравнения.. А вообще можно еще про комплексные числа вспомнить..
У Вас пробел, чтобы применить теорему о замене переменной в интеграле, Вы должны показать что x(y) отображает промежуток [1,2] В промежуток [-1/3,1], она доказывается в этом предположении
Вообще, в Десмосе, как и в Геогебре, можно писать уравнения от игрека. Просто тогда нужно само выражение приравнивать к функции f(y). Ну, либо писать: x = 5y² - 6
Как человек, который просидел над разными выводами формул высших степеней, почти сразу увидел своего верного дружка Кардано. Но, скорей всего, бы не додумался как доказать выбор правильного корня в пределах интегрирования.
Формула Кардано - моя любимая формула в математике. Почти сразу увидел ее в этом интеграле. Но подумал, что она никак не поможет взять его. А когда вы сами упомянули эту формулу, я просто выпал...
У будь-якому кубічному рівнянні можно зробити заміну, будемо шукати корінь у вигляді різниці двух доданків, наприклад x=y-z, далі підставлємо і робимо деякі перетворення, приходимо не неповного кубічного рівняння y³+py+q=0 , далі також шукаємо корінь як суму двух чисел - y=a+b, і зводимо таким чином до квадратного рівняння. Це дійсно геніальні муви.
![Демократия математически невозможна (но есть нюансы) [Veritasium]](http://i.ytimg.com/vi/Mf0XJMySTDI/mqdefault.jpg)
![Демократия математически невозможна (но есть нюансы) [Veritasium]](/img/tr.png)
Кто сходу увидел формулу Кардано, признавайтесь?)
+
Интересно что за такой большой планшет? Минимум дюймов 13. iPad?
@@ИванВоронин-и2м iPad Pro 12.9)
Ну,вообще по виду да, кажется что-то похожее на сопряженное и такое как раз появляется в полиномиальных уравнения, а дальше уже становится ясно, тупым гуглингом. Ясно,что это может быть корнем только кубического уравнения из-за многозначности функции. Ну а дальше гуглим формулу Кардано и сразу находим глазом замену.
В общем, это не просто, но посильно
+
Обычная советская задачка для 9 класса.
*Решение от o1-preview:*
Для решения интеграла:
∫[-1/3; 1] f(x) dx,
где
f(x) = (1 + √(1 - x^3))^(1/3) + (1 - √(1 - x^3))^(1/3),
сначала упростим f(x).
Пусть:
u = (1 + √(1 - x^3))^(1/3),
v = (1 - √(1 - x^3))^(1/3).
Тогда:
f(x) = u + v.
Заметим, что:
u^3 + v^3 = (1 + √(1 - x^3)) + (1 - √(1 - x^3)) = 2.
Используя тождество:
u^3 + v^3 = (u + v)^3 - 3uv(u + v),
получаем:
(u + v)^3 - 3uv(u + v) = 2.
Подставим s = u + v и uv = x (так как uv = (x^3)^(1/3) = x):
s^3 - 3xs = 2.
Это упрощается до:
s^3 - 3xs - 2 = 0.
Теперь выразим x через s:
x = (s^3 - 2) / (3s).
Находим dx через s:
dx = [2(s^3 + 1)] / (3s) ds = (2s^2/3 + 2/3s) ds.
Таким образом, интеграл становится:
∫ f(x) dx = ∫ s dx = ∫ (2s^2/3 + 2/3s) ds.
Интегрируя по частям, получаем:
∫ (2s^2/3 + 2/3s) ds = 2/9 s^3 + 2/3 ln|s| + C.
Вычисляем на промежутке от s = 1 до s = 2 (что соответствует x = -1/3 и x = 1):
[2/9 * 2^3 + 2/3 * ln(2)] - [2/9 * 1^3 + 2/3 * ln(1)] = 14/9 + 2/3 ln(2).
Таким образом, значение интеграла:
∫ = (14⁄9)+(2⁄3)·ln 2
Попроси его переписать в Юникоде и убрать LaTeX, а то на RUclips какое-то месиво...
@@mndtr0 В итоге получилось так:
Для решения интеграла:
∫[-1/3; 1] f(x) dx,
где
f(x) = (1 + √(1 - x^3))^(1/3) + (1 - √(1 - x^3))^(1/3),
сначала упростим f(x).
Пусть:
u = (1 + √(1 - x^3))^(1/3),
v = (1 - √(1 - x^3))^(1/3).
Тогда:
f(x) = u + v.
Заметим, что:
u^3 + v^3 = (1 + √(1 - x^3)) + (1 - √(1 - x^3)) = 2.
Используя тождество:
u^3 + v^3 = (u + v)^3 - 3uv(u + v),
получаем:
(u + v)^3 - 3uv(u + v) = 2.
Подставим s = u + v и uv = x (так как uv = (x^3)^(1/3) = x):
s^3 - 3xs = 2.
Это упрощается до:
s^3 - 3xs - 2 = 0.
Теперь выразим x через s:
x = (s^3 - 2) / (3s).
Находим dx через s:
dx = [2(s^3 + 1)] / (3s) ds = (2s^2/3 + 2/3s) ds.
Таким образом, интеграл становится:
∫ f(x) dx = ∫ s dx = ∫ (2s^2/3 + 2/3s) ds.
Интегрируя по частям, получаем:
∫ (2s^2/3 + 2/3s) ds = 2/9 s^3 + 2/3 ln|s| + C.
Вычисляем на промежутке от s = 1 до s = 2 (что соответствует x = -1/3 и x = 1):
[2/9 * 2^3 + 2/3 * ln(2)] - [2/9 * 1^3 + 2/3 * ln(1)] = 14/9 + 2/3 ln(2).
Таким образом, значение интеграла:
∫[-1/3; 1] f(x) dx = 14/9 + 2/3 ln(2).
не, ну ппц просто... четыре часа потратил... чуть не свихнулся... две тригонометрические замены делал... даже в комплексный анализ залез... нифига не получилось... спасибо) крутой разбор
x нужно заменить на y-b/3a
Если y равен подынтегральному выражению, то можно для нахождения верхнего предела по y подставить соответствующий x в подынтегральное выражение. Тогда неопределенности в значениях не будет.
Чтобы вычислить верхний предел интегрирования для y, проще подставить в выражение y(x) единицу. Тогда там никакого второго варианта не будет, а все вычисления делаются в уме.
Эта бедность(школьная математика) коснулась меня😂
В целом, из-за сопряженности слагаемых, я обозначил все подынтегральное выражение за t и далее рассмотрел выражение t^3=((1+sqrt(1-x^3))^(1/3)+(1-sqrt(1-x^3))^(1/3))^3=|по формуле куба суммы (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b), причем a+b=t|=1+sqrt(1-x^3)+1-sqrt(1-x^3)+3(1-(1-x^3))^(1/3)*t=2+3xt => t^3-3xt-2=0. То есть то же, что и у Вас. Получается не обязательно помнить формулу Кардано, хотя видимо примерно так она и выводиться)!
Если голова моя соображает, Вы сделали обратный ход формулы, показав, что данному корню будет соответствовать многочлен t³-3tx-2=0😁
Уровень сложности интеграла: двадцать минут хронометража :DD
В начале описывает видео Veritasium, (есть перевод на Vert Dider) реально интересный видос, всем советую
А автору спасибо за разбор интересных задач 💖
Это же о-че-вид-но.
Братан, хорош, давай-давай вперед! Контент в кайф! Можно еще? Вообще красавчик! Можно вот этого вот почаще?
Странно, верхный предел находиться легко, просто надо подставит вместо х в выражении у единицу
смешно было б, если б при выяснении пределов интегрирования, уравнения были бы не такими простыми... и опять пришлось бы обращаться к кардано... а то и к самому тарталье
Спасибо за видео.
Честно признаться, сразу же как увидел (вот прям начало видео, как только увидел), подумал про формулу Кардано, уж очень похоже на формулу корней кубического уравнения.. А вообще можно еще про комплексные числа вспомнить..
Эх, всё начиналось с шуточных роликов про ОГЭ и ЕГЭ, а теперь идут серьёзные разборы:) Растём
Пусть w - подынтегральная ф-ция. Тогда ясно, что w^3 - 3wx - 2 = 0. Поэтому такой интеграл равен интегралу int_{1}^{2} w d( (2-w^3)/3w)
У Вас пробел, чтобы применить теорему о замене переменной в интеграле, Вы должны показать что x(y) отображает промежуток [1,2] В промежуток [-1/3,1], она доказывается в этом предположении
Вообще, в Десмосе, как и в Геогебре, можно писать уравнения от игрека. Просто тогда нужно само выражение приравнивать к функции f(y). Ну, либо писать:
x = 5y² - 6
Судя по выражению лица Ежа, это он догадался как надо решать 😄
Как человек, который просидел над разными выводами формул высших степеней, почти сразу увидел своего верного дружка Кардано. Но, скорей всего, бы не додумался как доказать выбор правильного корня в пределах интегрирования.
Чтобы Десмос понимал любые буквы 11:15
f(y) = y^3 + y - 2
11:00 точка перегиба в нуле будет
Какой у вас планшет?
@@marceldavidov iPad Pro
Формула Кардано - моя любимая формула в математике. Почти сразу увидел ее в этом интеграле. Но подумал, что она никак не поможет взять его. А когда вы сами упомянули эту формулу, я просто выпал...
Я думал, это формула кардана, типа зависимость угла поворота полуоси в зависимости от ширины шарнира ))
@@Anti_During надо только аккуратно применять, что бы клапана не погнуть )
Я тоже увидел её там, но помнить все эти коэфициенты. Можно конечно самому вывести повторно, но это время. А на этом соревнование время критично.
Спасибо! НО:
(1-x^3) in [0;28/27]. Небольшая опечатка в решении при оценки ситуации y=-1.
Спасибо, но!
«небольшая» без отрицания пишется слитно :)
@@Anti_During спасибо! С русским беда)))!
@@Александр-ж5й5и это не грех :)
У будь-якому кубічному рівнянні можно зробити заміну, будемо шукати корінь у вигляді різниці двух доданків, наприклад x=y-z, далі підставлємо і робимо деякі перетворення, приходимо не неповного кубічного рівняння y³+py+q=0 , далі також шукаємо корінь як суму двух чисел - y=a+b, і зводимо таким чином до квадратного рівняння. Це дійсно геніальні муви.