Ну,вообще по виду да, кажется что-то похожее на сопряженное и такое как раз появляется в полиномиальных уравнения, а дальше уже становится ясно, тупым гуглингом. Ясно,что это может быть корнем только кубического уравнения из-за многозначности функции. Ну а дальше гуглим формулу Кардано и сразу находим глазом замену. В общем, это не просто, но посильно
не, ну ппц просто... четыре часа потратил... чуть не свихнулся... две тригонометрические замены делал... даже в комплексный анализ залез... нифига не получилось... спасибо) крутой разбор
Если y равен подынтегральному выражению, то можно для нахождения верхнего предела по y подставить соответствующий x в подынтегральное выражение. Тогда неопределенности в значениях не будет.
Спасибо за видео. Честно признаться, сразу же как увидел (вот прям начало видео, как только увидел), подумал про формулу Кардано, уж очень похоже на формулу корней кубического уравнения.. А вообще можно еще про комплексные числа вспомнить..
Чтобы вычислить верхний предел интегрирования для y, проще подставить в выражение y(x) единицу. Тогда там никакого второго варианта не будет, а все вычисления делаются в уме.
В целом, из-за сопряженности слагаемых, я обозначил все подынтегральное выражение за t и далее рассмотрел выражение t^3=((1+sqrt(1-x^3))^(1/3)+(1-sqrt(1-x^3))^(1/3))^3=|по формуле куба суммы (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b), причем a+b=t|=1+sqrt(1-x^3)+1-sqrt(1-x^3)+3(1-(1-x^3))^(1/3)*t=2+3xt => t^3-3xt-2=0. То есть то же, что и у Вас. Получается не обязательно помнить формулу Кардано, хотя видимо примерно так она и выводиться)!
Вообще, в Десмосе, как и в Геогебре, можно писать уравнения от игрека. Просто тогда нужно само выражение приравнивать к функции f(y). Ну, либо писать: x = 5y² - 6
Как человек, который просидел над разными выводами формул высших степеней, почти сразу увидел своего верного дружка Кардано. Но, скорей всего, бы не додумался как доказать выбор правильного корня в пределах интегрирования.
У Вас пробел, чтобы применить теорему о замене переменной в интеграле, Вы должны показать что x(y) отображает промежуток [1,2] В промежуток [-1/3,1], она доказывается в этом предположении
У будь-якому кубічному рівнянні можно зробити заміну, будемо шукати корінь у вигляді різниці двух доданків, наприклад x=y-z, далі підставлємо і робимо деякі перетворення, приходимо не неповного кубічного рівняння y³+py+q=0 , далі також шукаємо корінь як суму двух чисел - y=a+b, і зводимо таким чином до квадратного рівняння. Це дійсно геніальні муви.
Формула Кардано - моя любимая формула в математике. Почти сразу увидел ее в этом интеграле. Но подумал, что она никак не поможет взять его. А когда вы сами упомянули эту формулу, я просто выпал...
Ошибка в подсчете диффиренциала, когда почленно делил y^2 -2 на 3y выражение получилось y^2/3 - 2 / 3y, ты не сократил в первой дробе y^2 и y, а просто вычеркнул игрик
@@AL-wi7zt учился в ФМШ при СУНЦ НГУ. Хотя там её не давали. Я её видел без вывода, где-то в справочнике, тогда в интернете ещё не было всей информации. Вывёл её сам. Когда знаешь ответ, проще. Просто подставил y^(1/3)+y^(-1/3) и свёл к квадратному уравнению.
смешно было б, если б при выяснении пределов интегрирования, уравнения были бы не такими простыми... и опять пришлось бы обращаться к кардано... а то и к самому тарталье
Кто сходу увидел формулу Кардано, признавайтесь?)
+
Интересно что за такой большой планшет? Минимум дюймов 13. iPad?
@@ИванВоронин-и2м iPad Pro 12.9)
Ну,вообще по виду да, кажется что-то похожее на сопряженное и такое как раз появляется в полиномиальных уравнения, а дальше уже становится ясно, тупым гуглингом. Ясно,что это может быть корнем только кубического уравнения из-за многозначности функции. Ну а дальше гуглим формулу Кардано и сразу находим глазом замену.
В общем, это не просто, но посильно
+
не, ну ппц просто... четыре часа потратил... чуть не свихнулся... две тригонометрические замены делал... даже в комплексный анализ залез... нифига не получилось... спасибо) крутой разбор
Братан, хорош, давай-давай вперед! Контент в кайф! Можно еще? Вообще красавчик! Можно вот этого вот почаще?
Красота! Математическая эстетика и полезные напоминания.
Если y равен подынтегральному выражению, то можно для нахождения верхнего предела по y подставить соответствующий x в подынтегральное выражение. Тогда неопределенности в значениях не будет.
*Решение от o1-preview:*
Для решения интеграла:
∫[-1/3; 1] f(x) dx,
где
f(x) = (1 + √(1 - x^3))^(1/3) + (1 - √(1 - x^3))^(1/3),
сначала упростим f(x).
Пусть:
u = (1 + √(1 - x^3))^(1/3),
v = (1 - √(1 - x^3))^(1/3).
Тогда:
f(x) = u + v.
Заметим, что:
u^3 + v^3 = (1 + √(1 - x^3)) + (1 - √(1 - x^3)) = 2.
Используя тождество:
u^3 + v^3 = (u + v)^3 - 3uv(u + v),
получаем:
(u + v)^3 - 3uv(u + v) = 2.
Подставим s = u + v и uv = x (так как uv = (x^3)^(1/3) = x):
s^3 - 3xs = 2.
Это упрощается до:
s^3 - 3xs - 2 = 0.
Теперь выразим x через s:
x = (s^3 - 2) / (3s).
Находим dx через s:
dx = [2(s^3 + 1)] / (3s) ds = (2s^2/3 + 2/3s) ds.
Таким образом, интеграл становится:
∫ f(x) dx = ∫ s dx = ∫ (2s^2/3 + 2/3s) ds.
Интегрируя по частям, получаем:
∫ (2s^2/3 + 2/3s) ds = 2/9 s^3 + 2/3 ln|s| + C.
Вычисляем на промежутке от s = 1 до s = 2 (что соответствует x = -1/3 и x = 1):
[2/9 * 2^3 + 2/3 * ln(2)] - [2/9 * 1^3 + 2/3 * ln(1)] = 14/9 + 2/3 ln(2).
Таким образом, значение интеграла:
∫ = (14⁄9)+(2⁄3)·ln 2
Попроси его переписать в Юникоде и убрать LaTeX, а то на RUclips какое-то месиво...
@@mndtr0 В итоге получилось так:
Для решения интеграла:
∫[-1/3; 1] f(x) dx,
где
f(x) = (1 + √(1 - x^3))^(1/3) + (1 - √(1 - x^3))^(1/3),
сначала упростим f(x).
Пусть:
u = (1 + √(1 - x^3))^(1/3),
v = (1 - √(1 - x^3))^(1/3).
Тогда:
f(x) = u + v.
Заметим, что:
u^3 + v^3 = (1 + √(1 - x^3)) + (1 - √(1 - x^3)) = 2.
Используя тождество:
u^3 + v^3 = (u + v)^3 - 3uv(u + v),
получаем:
(u + v)^3 - 3uv(u + v) = 2.
Подставим s = u + v и uv = x (так как uv = (x^3)^(1/3) = x):
s^3 - 3xs = 2.
Это упрощается до:
s^3 - 3xs - 2 = 0.
Теперь выразим x через s:
x = (s^3 - 2) / (3s).
Находим dx через s:
dx = [2(s^3 + 1)] / (3s) ds = (2s^2/3 + 2/3s) ds.
Таким образом, интеграл становится:
∫ f(x) dx = ∫ s dx = ∫ (2s^2/3 + 2/3s) ds.
Интегрируя по частям, получаем:
∫ (2s^2/3 + 2/3s) ds = 2/9 s^3 + 2/3 ln|s| + C.
Вычисляем на промежутке от s = 1 до s = 2 (что соответствует x = -1/3 и x = 1):
[2/9 * 2^3 + 2/3 * ln(2)] - [2/9 * 1^3 + 2/3 * ln(1)] = 14/9 + 2/3 ln(2).
Таким образом, значение интеграла:
∫[-1/3; 1] f(x) dx = 14/9 + 2/3 ln(2).
@@andreiantonov7303можно узнать, какой был промт?
@@СтаниславВокеутов-ю2э "Найди значение интеграла от функции f(x) = (1 + sqrt(1-x^3))^(1/3) + (1 - sqrt(1-x^3))^(1/3), нижний предел интегрирования равен -1/3, верхний предел интегрирования равен 1."
Спасибо за видео.
Честно признаться, сразу же как увидел (вот прям начало видео, как только увидел), подумал про формулу Кардано, уж очень похоже на формулу корней кубического уравнения.. А вообще можно еще про комплексные числа вспомнить..
Красиво очень)
Чтобы вычислить верхний предел интегрирования для y, проще подставить в выражение y(x) единицу. Тогда там никакого второго варианта не будет, а все вычисления делаются в уме.
В целом, из-за сопряженности слагаемых, я обозначил все подынтегральное выражение за t и далее рассмотрел выражение t^3=((1+sqrt(1-x^3))^(1/3)+(1-sqrt(1-x^3))^(1/3))^3=|по формуле куба суммы (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b), причем a+b=t|=1+sqrt(1-x^3)+1-sqrt(1-x^3)+3(1-(1-x^3))^(1/3)*t=2+3xt => t^3-3xt-2=0. То есть то же, что и у Вас. Получается не обязательно помнить формулу Кардано, хотя видимо примерно так она и выводиться)!
Если голова моя соображает, Вы сделали обратный ход формулы, показав, что данному корню будет соответствовать многочлен t³-3tx-2=0😁
x нужно заменить на y-b/3a
В начале описывает видео Veritasium, (есть перевод на Vert Dider) реально интересный видос, всем советую
А автору спасибо за разбор интересных задач 💖
Чтобы Десмос понимал любые буквы 11:15
f(y) = y^3 + y - 2
Вообще, в Десмосе, как и в Геогебре, можно писать уравнения от игрека. Просто тогда нужно само выражение приравнивать к функции f(y). Ну, либо писать:
x = 5y² - 6
Эх, всё начиналось с шуточных роликов про ОГЭ и ЕГЭ, а теперь идут серьёзные разборы:) Растём
Судя по выражению лица Ежа, это он догадался как надо решать 😄
Как человек, который просидел над разными выводами формул высших степеней, почти сразу увидел своего верного дружка Кардано. Но, скорей всего, бы не додумался как доказать выбор правильного корня в пределах интегрирования.
У Вас пробел, чтобы применить теорему о замене переменной в интеграле, Вы должны показать что x(y) отображает промежуток [1,2] В промежуток [-1/3,1], она доказывается в этом предположении
У будь-якому кубічному рівнянні можно зробити заміну, будемо шукати корінь у вигляді різниці двух доданків, наприклад x=y-z, далі підставлємо і робимо деякі перетворення, приходимо не неповного кубічного рівняння y³+py+q=0 , далі також шукаємо корінь як суму двух чисел - y=a+b, і зводимо таким чином до квадратного рівняння. Це дійсно геніальні муви.
Уровень сложности интеграла: двадцать минут хронометража :DD
Формула Кардано - моя любимая формула в математике. Почти сразу увидел ее в этом интеграле. Но подумал, что она никак не поможет взять его. А когда вы сами упомянули эту формулу, я просто выпал...
Я думал, это формула кардана, типа зависимость угла поворота полуоси в зависимости от ширины шарнира ))
@@Anti_During надо только аккуратно применять, что бы клапана не погнуть )
Я тоже увидел её там, но помнить все эти коэфициенты. Можно конечно самому вывести повторно, но это время. А на этом соревнование время критично.
Ошибка в подсчете диффиренциала, когда почленно делил y^2 -2 на 3y выражение получилось y^2/3 - 2 / 3y, ты не сократил в первой дробе y^2 и y, а просто вычеркнул игрик
Спасибо! НО:
(1-x^3) in [0;28/27]. Небольшая опечатка в решении при оценки ситуации y=-1.
Спасибо, но!
«небольшая» без отрицания пишется слитно :)
@@Anti_During спасибо! С русским беда)))!
@@Александр-ж5й5и это не грех :)
Эта бедность(школьная математика) коснулась меня😂
Обычная советская задачка для 9 класса.
Стесняюсь спросить, в какой школе вам давали формулу Кардана?
@@AL-wi7zt учился в ФМШ при СУНЦ НГУ. Хотя там её не давали. Я её видел без вывода, где-то в справочнике, тогда в интернете ещё не было всей информации. Вывёл её сам. Когда знаешь ответ, проще. Просто подставил y^(1/3)+y^(-1/3) и свёл к квадратному уравнению.
@@Archik4 Как передернуть и не подать виду. "обычная советская школа" Физико-математическое ПТУ, бгг
В уме проинтегрировал за пару минут, Кардано не использовал
Пусть w - подынтегральная ф-ция. Тогда ясно, что w^3 - 3wx - 2 = 0. Поэтому такой интеграл равен интегралу int_{1}^{2} w d( (2-w^3)/3w)
Это же о-че-вид-но.
смешно было б, если б при выяснении пределов интегрирования, уравнения были бы не такими простыми... и опять пришлось бы обращаться к кардано... а то и к самому тарталье
Странно, верхный предел находиться легко, просто надо подставит вместо х в выражении у единицу
11:00 точка перегиба в нуле будет
Какой у вас планшет?
@@marceldavidov iPad Pro