Les isomorphismes, c'est vraiment ce qui m'a permis de donner du sens aux maths que j'étudiais de la L2 jusqu'au master, avec l'algèbre linéaire. Les ponts que ça forme entre toute les disciplines couplés à la visualisation algébrique des espaces vectoriels, je trouvais ça magique. Et ça permettait de ne plus se prendre la tête avec des abstractions à la moindre nouveauté : un isomorphisme, et ça devenait "oh c'est juste ça en fait?". Les complexes? De la géométrie. A4? Rotations du tétraèdre ! Et j'en passe des centaines d'autres. Même pour l'analyse fonctionnelle, savoir que je manipulais juste un EV un peu monstrueux mais qui se résumait à R^R, ben ça rendait ça moins effrayant.
C'est super d'avoir des épisodes comme ça plus relax ou tu parle de concepts généraux comme l'isomorphisme. Avec une touche d'histoire comme tu l'as fait l'a, c'est cool pour alterner avec des gros épisodes :)
J'ai affirmé "je vous promets que dénicher des isomorphismes est l'une des plus grandes joies des mathématiques". El Jj l'a super illustré dans une vidéo récente : ruclips.net/video/etzcN6g-vNY/видео.html Par ailleurs, grâce à un viewer anonyme, je me suis rendu du compte d'une bêtise que j'ai dite. En fait, tout est constructible dans la géométrie de Tarski. Ce n'est que dans une variante de celle-ci que seules les constructions à la règle et au compas sont admissibles.
" le grand werner heinsenberg " , enfin un génie reconnu a sa vrai valeur A quand un episode hardcore sur les equations de la physique quantique , ça pourrait etre tellement interessant !
j'ai bien aimé cet épisode, c'est comme s'il rassemblait tous les autres, une sorte de conclusion. comme si tous ces épisode étaient là pour préparer celui-ci.
Salut ! ça fait presque un mois que j'ai découvert ta chaîne. C'est vraiiiment dommage qu'elle n'a pas encore toute l'audience qu'elle mériterait. J'ai particulièrement adoré la série sur la relativité et particulièrement ta manière d'amener le sujet petit à petit en donnant à ton audience le temps de digérer les incréments. J'aime aussi le fait que tu sois passionné par les maths. Enfin, ce qui fait de cette chaîne ma préférée en ce moment sur youtube (toutes langues confondues), c'est bien le niveau des sciences que tu décris : en effet, la plupart des vidéos bien montées etc.. s'adressent à des gens qui ne veulent pas aller en profondeur, et tu aurais très bien pu t'en tenir là toi aussi, mais tu as choisi d'expliquer les choses plus en profondeur, quitte à te retrouver avec moins d'abonnés ! Pour cela comme pour le reste : MERCI ! :)
Vidéos très intéressante ! Même pour ceux qui connaissent un peu ce qu'il y a derrière, tu es très agréable à écouter. Elle m'a rappelée un "bug" que j'avais eu en prépa. Selon la construction que l'on avait fait de l'ensemble des nombres complexes, il ne semblait pas contenir l'ensemble des nombres réels (au sens ensembliste), c'est une injection (+bonnes propriétés) qui permettait de dire que x c'est comme (x,0). [et idem pour Q et Z !] Ca casse l'image de rigidité des définitions des objets mathématiques qu'on peut avoir aux premiers abords. Continue comme ça !!
ce qui m'a étonné lorsqu'on définissait les espaces vectoriels c'est qu'on n'a rien dit sur la nature des éléments de cet ensemble , on a juste spécifié la manière avec laquelle ils se comportent en relation l'un avec l'autre , et c'est ici ou je me suis retrouvé à l’ancien débat "est ce que les nombres existent vraiment ?" et j'ai retrouvé la réponse :" cette question est triviale parce que lorsqu'on manipule les nombres on ne prétend jamais qu'ils sont des objets à part entière mais plutôt que si il existe un ensemble qui se comporte de la même manière que les nombres , alors voila les théorèmes qu'on pourrait appliquer "
Au primaire, je me suis dit non pas que le nombre 4 existait (dans un sens philosophique qui ne m'intéressait pas), mais qu'il y avait un point commun entre 4 batons et 4 billes, que c'était 4. Les nombres et les objets mathématiques sont ce qui est commun a des réalités physiques similaires.
@@cainabel2553 déjà on a défini ces objets mathématiques parce qu'elles étaient utiles. les axiomes des maths sont trés flexibles et on aurait pu se concentrer sur d'autres structures. on choisi de travailler sur les structures qu'on connait parce qu'elle sont utiles.
Perso, j'ai eu du mal avec les deux premières vidéos, mais c'était le temps de prendre le pli. Donc, pas de soucis si ça se corse. J'attends avec impatience la prochaine vidéo, parce ces deux conceptions de la logique font pas mal débat de temps en temps sous les hanjies de Hanjie Star (entre ceux comme moi qui pensent qu'une grille logique est une grille qui n'a qu'un seul remplissage possible et ceux qui imposent que le bon remplissage soit en plus trouvable sans hypothèses ni méthodes "trop tordues" pour dire que la grille est logique). En tout cas, merci beaucoup pour toutes tes vidéos, sur des thèmes plus passionnants les uns que les autres :)
Cher Lê, je me doute bien qu'avec mes commentaires sur la précédente vidéo de cette série, que tu puisses avoir quelques relents à l'idée d'y faire suite mais sache que ça n'a grande importance pour moi, ce qui compte ici c'est La Qualité de tes vidéos. En tout cas, je suis Très Heureux que tu aies abordé le sujet des isomorphismes tout en sachant que les autres types de "mophismes" dont eux aussi Très Intéressants et Puissants ;-) Je suis aussi Heureux de voir que tu apprécies toi aussi autant Poincaré :) Juste un bémol : Tu as raison je pense de dire que pourvu que les choses fonctionnent de la même façon, on s'en fou d'utiliser une définition plutôt qu'une autre. C'est vrai d'un point de vue je dirais purement algorithmique mais du point de vue de la recherche, c'est souvent LE SENS INTUITIF que l'on donne aux objets mathématiques qui justement peut guider dans cette recherche. Par exemple, bien que ce soit de la Physique et non des Mathématiques, definir la structure fine en termes d'ondes, et l'aspect probabiliste uniquement comme une conséquence des combinaisons relativement aléatoires entre les phases (réelles, pas probabilistes elles) de l'objet observé, et les phases de l'instrument avec lequel on observe, est TRÈS différent que de considérer que l'univers lui-même est "intrinsèquement" probabiliste et qu'aucune détermination sous-jacente n'existe. En d'autre mots, il a été relativement rare dans l'Histoire Des Sciences "d'observer" de nouveaux objets, de concevoir de nouvelles idée, sans avoir préalablement une DIRECTION PRÉALABLE DE LA RECHERCHE PAR L'INTUITION. Or encore une fois, celle-ci est grandement infuencée par LE TYPE de définition que l'on utilise ; me semble-t-il ^^ C'est d'ailleurs le sujet du mini colloque de l'an 2000 de l'Université De Tous Les Savoir que Jean-Marc Lévi-Leblond avait initié en reprenant (sans me cité ^_^) quelques objections que j'avais faites sur l'amalgame entre une Théorie Abstrait telle que La Relativité et La Réalité, insistant sur son Essence : exprimer le fonctionnement des IMAGES "MULTIDATÉES" (ce que l'on "observe" dépend de la distance et de la vitesse des ondes que l'on enregistre et interprète) n'est PAS/////////// L'expression, la Description, de ce qui EST/// DANS le présent. Sûrement que quelque part tu es Conscient de cette différence mais en as-tu vraiment réalisé l'Importance, j'en doute encore car il me semble que lorsque tu parles de la Théorie de la Relativité Générale notamment, tu parts du principe qu'il "EXISTE" une "courbure de l'espace-temps" autrement que CONCEPTUELLEMENT. Dit autrement : ce n'est PAS// parce qu'il existe un isomorphisme entre le CONCEPT mathématique et la Réalité que la théorie qui amène à ce concept est "Intrinsquement Vraie". De toute façon, je suis pour la pluralité et donc tu es parfaitement libre comme chacun de suivre tes propres convictions sur le sujet ; je ne faisais qu'apposer mon point de vue, ce sont je crois les Résultats UTILES et APPLICABLES qui pourront éventuellement permettre de départager les deux points de vue un peu antinomiques ^_^ Bien à toi, Didier
Il y a un problème qui me taraude depuis quelques temps, c'est l'explication de la diagonale de Cantor qui n'arrive pas à me convaincre. Je me demande donc si le raisonnement que j'expose ci-après est valable : On prend n un chiffre (pas un nombre). On nomme Xn l'ensemble des entiers naturels non multiple de 10 et qui commence par n, par ex : X1 (1 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 101 ; 111 ; etc.) l'ensemble Xn n'est-il pas dénombrable ? chaque membre de l'ensemble X1 ne peut-il pas être associé à l'ensemble des nombres réels appartenant à l'intervalle [0,1 ; 0,2[ qui lui n'est pas dénombrable ?
Ton ensemble est dénombrable : prend 1/9, qui appartient à [0.1,0.2[ et tu devrais apercevoir le problème. On ne peut pas écrire d'entier avec une infinité de chiffres ! 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111... (infinité de 1) ...11111111111111.0 n'est pas un nombre
DreamStorm mais pourquoi ne peut-il y avoir une infinité de chiffre dans un nombre entier ? C'est peut être là qu'est mon problèmes à la compréhension de la diagonale de Cantor !
Peut-être. Mais l'intérêt de l'entier en notation décimale, c'est de pouvoir l'écrire simplement et de façon exacte quand on à la flemme de parler du successeur du successeur du successeur du successeur du successeur du successeur du successeur du successeur du successeur de zéro. Puisque ton nombre a apparemment une infinité de chiffre dans cette écriture, ça va être difficile de le représenter comme ça. Donc soit tu le définis proprement et on voit pourquoi si les axiomes de Peano s'appliquent et on aura encore créé une théorie parallèle des entiers, ça n'existe juste pas. Ou alors on prouve par récurrence qu'un entier a un nombre fini de chiffre en base 10. n=0 : trivial si c'est vrai pour n, alors notant I l'ensemble des "chiffres" (paire constituée du symbole et de sa position) de n, une autre récurrence (qui cette fois va devoir utiliser les chiffres et la base 10) montre que soit on modifie juste quelques termes de I pour obtenir I', l'ensemble des chiffres de n+1, auquel cas I et I' sont en bijection, donc I' est fini, soit on doit ajouter un chiffre, et une démonstration pénible montre que l'union de deux ensembles finis (I' et le singleton nouveau chiffre) est finie. Dans tous les cas, c'est fini, ce qui achève la récurrence. La définition de fini qui ne passe pas par les entier, si tu te le demande, c'est ceci : E est fini si toute injection de E dans E est surjective. Et ensuite on regarde les ensembles qui peuvent être mis en bijection, et on référence tout par rapport aux entiers classiques, qui servent de cardinaux à tout les ensembles finis.
Le langage naturel de la physique est la mathématique, je ne sais pas vraiment ce que tu entends par "modernes" mais à tout niveau la physique aura besoin des maths les plus poussés pour évoluer (et inversement). La preuve est que certaines médailles Fields (grosso modo Nobel des maths) sont attribués à des mathématiciens travaillant la physique (Villani 2010, cocorico !) ou carrément des physiciens (Edward Witten 1990)
la physique, c'est essayer de représenter la réalité avec des mathématiques ; à fin de pouvoir en suite étudier la réalité en utilisant les mathématiques.
Avant tes vidéos (la je ment car j'aimais bien) je n'aimais pas les maths enfin je trouvais cela cool mais de la branlette intellectuelle ... Mais tu vulgarise bien la chose et ramène une dimension intéressante a la chose ... Big up continu comme ça force a toi ...
il est vrai que je me sens larguer par tes vidéo depuis quelques épisodes, mais je n'ai aucun regret car je prend de plus en plus conscience de l'étendue de ma non-connaissance ! J'ai l'impression de commencer seulement maintenant à entrevoir la réalité de la maxime de Socrate : " Je sais que je ne sais rien ! "
Science4All@ une petite question : les fait que les isomorphisme soient des phénomènes réel en maths, cela suppose t-il nécessairement qu'il puisse exister aussi des structures invariantes dans l'univers mathématique? Structure qui pourraient être finalement vue comme un signe de réalité ontologique des mathématiques ?
Y a un truc que j'ai du mal à comprendre. Pourquoi est-ce qu'on cherche forcément l'isomorphisme? La simple équipotence n'est-elle pas suffisante? Si oui, pourquoi? La bijection me paraît tout à fait satisfaisante, mais apparemment on ne s'en contente pas, il faut toujours l'accompagner de la linéarité. Pourquoi s'il vous plaît? Cette question me tracasse et je n'ai jamais pu y répondre...
Sofian Hanifeh Ouuulà non, l'équipotence est loin d'être suffisante pour être la notion importante! En fait, l'équipotence est l'exemple le plus élémentaire d'isomorphie, c'est l'isomorphie entre ensembles. Mais le mouvement bien plus général en Mathématique, et notamment en Algèbre (et au-delà en Théorie des Catégories), est de s'intéresser non à de simples ensembles tout nus, si j'ose dire, mais à des structures constituées d'ensembles munis de lois de composition de ses éléments ("opérations"), de relations (relations d'ordre), d'une topologie (structure de base commune nécessaire à toute Géométrie et Analyse), etc. ... Et alors l'intéressant n'est plus la simple équipotence des deux ensembles sous-jacents à deux de telles structures, mais l'isomorphie totale de ces structures, c'est-à-dire l'équipotence desdits ensembles mais en outre l'exacte similarité de toute la structure dont on les a munis! On recherche alors entre eux non plus n'importe quelle bijection, mais une bijection qui est un morphisme, c'est-à-dire qui respecte la structure de l'une à l'autre! Un exemple pour bien comprendre: Un Magma est l'une des plus simples structures algébriques définissables sur un ensemble E (d'où son nom évoquant une matière très peu structurée): il s'agit du couple (E,*) où * est une Loi de Composition Interne à E ("opération" sur les éléments de E) quelconque; par suite un isomorphisme entre deux Magmas (E,*) et (E',*') sera alors non seulement une bijection f entre E et E', mais qui par surcroît respecte la structure de magma au entre le départ et l'arrivée: ∀x,y∈E, f(x*y)=f(x)*'f(y) Les Magmas (E,*) et (E',*') sont alors non seulement d'ensembles sous-jacents E et E' équipotents (ce qui demeure néanmoins une condition nécessaire à la suite) mais plus encore ce sont la même structure, leurs éléments sont liés selon les mêmes relations, on dit "à isomorphisme près"; c'est-à-dire que modulo un "changement d'étiquettes", un réétiquetage des éléments de E par ceux de E' via f (dont la biunivocité est assurée par la bijectivité), on a affaire la même structure de Magma, qui se révèle le point de vue intéressant sur la structure au détriment de la nature même de ses éléments. Je terminerai par une mise en garde, évidemment on n'a donc pas forcément isomorphie sitôt que l'on a équipotence; il peut parfaitement y avoir existence de bijections sans qu'aucune d'elles ne soit un morphisme (et donc inexistence d'isomorphisme).
La simple équipotence ça va être un isomorphisme "d'ensembles" parce qu'il y a rien qui vient avec les ensembles Si t'y rajoutes la linéarité ça va être un isomorphisme "d'espace vectoriel" parce que c'est la propriété qui est "reliée" aux espaces vectoriel Si au lieu de la linéarité t'y rajoutes la continuité tu vas avoir un isomorphisme d'espace topologique parce que là dedans la notion de base c'est la continuité Etc etc... Tu peux prendre une "structure", soit en gros un ensemble doté de certaines propriétés/opérations, et si t'arrives à trouver une bijection qui conserve la "structure" (c'est à dire que les propriétés restent "vraies") bah tu vas avoir un isomorphisme de cette "structure". Pour ça qu'en algèbre "linéaire" c'est quand même cool de garder la structure linéaire ^^
À mon (humble) avis, Poincaré se serait moins trompé en écrivant "La mathématique est un des arts qui ont comme caractéristiques de donner des mêmes noms à des choses différente". Car la mathématique n'est pas la seule à explorer§inventer des concepts, jouer avec, les particulariser et les généraliser. Explorer§inventer les idées en elles-mêmes, c'est aussi du domaine du language, que ce soit en exprimant une fac̨on de "partitionner" le monde, ou en le créant. Je tiens ainsi à mentionner l'invention de language, qui, comme les maths, font appel à des concepts sous-jaccents, mais en inventent aussi; qui, comme les maths, ne peuvent qu'être subjectifs au vu des axiomes§aprioris choisis. L'invention de language particulièrement. car la proximité avec ces possibilités n'en sont que plus fortes; même si elles apparaissent dans d'autres domaines. Et comme exemple très̀ saturé, je tiens à mentionner l'ithkuil (ithkuil.com), où les contraintes de construction et la variété de la réponse est grande. Peut d'être d'ailleurs que les mathématiques, comme n'importe quel language, ne sont qu'une forme d'organisation d'informations. À défaut, ne vous prenez pas trop au sérieux quand vous donnez des noms, quand vous faites référence à des abstractions dépendant de ~l'intuition~. Après les écrits: si "peut importe les définitions des objets mathématiques tant que les isomorphismes sont là", il serait quand même bon d'avoir une définition d'isomorphisme. Si isomorphisme est un objet mathématique .. Après Après les écrits: quant à la prononciation de 'De Broglie', je pense qu'il est bon d'exprimer le point de vue que: les mots sont prononcés comme les gens le veulent. Ce à quoi l'on aime répondre: "et la connvention?"; en oubliant souvent que la convention, de même que la langue, ou du moins sa représentation; sont changement; et de toute fac̨on, si suffisament de personnes disent [dø bʁogli], ne dit-on pas [dø bʁogli] suivant le même argument? Après Après Après les écrits: Comme la suite "nombre de vidéos que je regarde des soi-disants "youtubeurres scientifiques" domine la suite "nombre de commentaires", je profite de celui-ci pour exprimer ma gratification. À quand un hardcore sur les mathématiques constructives?
"Les définitions OSEF". Un exemple typique: théorie des probabilités, aucune définition du "hasard", mais une étude approfondie de ses propriétés, ses "relations".
Une question probablement naïve mais qui me vient spontanément à l'issue de cette très chouette vidéo : y a-t-il une "chance" qu'on découvre un jour que la théorie des cordes et la gravitation quantique à boucles sont isomorphes ? Merci pour la vidéo ! J'ai aussi l'intuition que cette idée d'isomorphisme peut avoir un intérêt dans les domaines de sciences sociales, voire de la politique.
La théorie des cordes et la gravitation quantique à boucle font des prédictions différentes l'une de l'autre. Deux théories isomorphes prédisent la même chose mais avec des noms différents.
Salut, tres bonne video comme d'habitude, juste pour te dire que pour ´Louis de Broglie ´ on dit ´ Louis de Breuille ´ et non ´ Louis de Breug ´ ! A part ca nickel continue !
c'est marrant, tu as parlé d'isomorphismes pendant quasiment 10 minutes sans prononcer une seule fois le mot "bijection". Sinon, super boulot comme d'hab :)
il n'a pas définit clairement isomorphisme, mais ce qui est certain c'est que bijection n'entre pas dans la définition d'isomorphisme, sauf cas particulier. (dans une catégorie, un isomorphisme est une flèche inversible à droite et à gauche, si je ne dis pas de bêtise^^)
Il existe un moyen de traduire tout objet fondamental d'une théorie à un objet fondamental de l'autre théorie et vis-versa, dit-il. Donc il en a parlé (de bijection) !
j'ai une question je sais pas si c'est ton domaine mais si tu peux apporté même un début de réponse sa serait génial. On sait que l'énergie est quantifié a partir d'un certain niveau ,quantum d'action constante de planck etc. il y'a une théorie (une hypothèse) que l'espace serait quantifié de la même manière (théorie quantique a boucle je crois); alors sachant que en plus l'espace-temps est...une chose xD; par analogie peut-il y avoir une quantification des instants : un instant, une phinto-nano-micro seconde indivisible un stade ou le temps serait quantifié en petit instant plus ou moins indivisible. Je précise que c'est une théorie d'un auteur de fantastique donc rien de bien scientifique mais j'ai du mal a savoir si c'est purement fictionnel ou si sa pourrait avoir un écho quelconque
destore75 Dans la Théorie de la Gravité Quantique à Boucles, l'Espace-Temps est également en effet quantifié, et en particulier (si l'on peu encore en parler isolément) il existe un "quanton de temps", la plus courte durée.
Ce que j'ai compris n'était-il pas ce que tu voulais faire comprendre? Parce que si oui, c'est compréhensible si l'on sait de quoi tu parles ne t'en fais pas :p
Me Em Le temps de Planck est la limite inférieure de durée que peut traiter la physique avec ses théories actuelles, rien n'interdit que de nouvelles théories prédisent le comportement de durées inférieures... Mais il est vrai que même si je n'en sais pas plus, je pense que le quanton de temps prévu par la G.Q.B. doit être le temps de Planck!
Pour la distribution des cartes : ça dépent ! Au Tarot, par exemple, distribué les cartes 3 par 3 est important, car le paquet n'est pas mélanger entre chaque manche. (il est juste coupé) Mème si en moyenne, les répartitions sont équivalente, ça augmente la probabilité des cas extrême, en fonction des carte qui ont été joué ensemble à la manche d'avant. Il y a plus de longue, des coupes naturelle, avoir 3 tète d'une couleur, ... et donc ça rend les parties plus intéressante.
la transgression du 2nd principe selon Kelvin-Planck entraîne la transgression du 2nd principe selon Clausius et vice versa... Ces énoncés sont vrais simultanément ou faux simultanément donc je dirais que oui il y a isomorphisme :)
+MyJoeMarshall de ce que tu dis on dirait qu'il y ait équivalence, je dis peut-être une bêtise mais ça me parait plus fort qu'un isomorphisme car quel que soit ce qu'on choisit, on parle exactement des même objets alors que pour l'isomorphisme on parle généralement d'objets différents.
Tu peux faire une video s il te plait sur la différence entre probas dans un univers finie et infini dénombrable qui est l actualités du nouveau programme prepas Merci
En soit ça voudrait dire que toute théorie pourrait "s'imbriquer" dans d'autre théories, ainsi on pourrait faire des liens entre à peut près tout (exemple de peano et ZFC, ou alors la théorie quantique des champs). Du coup si je me suis pas gouré, il pourrait exister une sorte de liste, où on classerait toute les théories, en voyant de quoi elles découlent, et ainsi faire des liens entre tout. Aussi je me dis qu'entre deux théories équivalentes, l'une des deux serait plus adapté que l'autre dans certains cas (exemple géocentrisme et héliocentrisme).
A nouveau je vois de moins en moins de lien avec l'infini... Je sais qu'un sujet en entraîne un autre et qu'on a vite fait de s'éloigner, mais ne serait-il pas temps de changer de thème ? (à peu près depuis que tu parles d'axiomatique en fait)
@Science4All si le sol accelère vers le haut, pourquoi la terre reste une sphère et ne s'applatit pas en raison de l'existence d'une accélération vers le haut (desole si c'est pas clair)
Bonjour Lê, et bravo pour votre enthousiasme à faire partager votre passion pour les mathématiques. Au sujet du "triangle de puissance" dont vous parlez à la fin de la 8ème vidéo de la série My4Cents (je poste ce commentaire ici pour ne pas relancer un fil trop ancien), il existe au moins une critique - peut-être la connaissez-vous - de la part du blogueur physicien Lubos Motl : motls.blogspot.fr/2016/07/why-triangle-notation-for-powers-is.html Ne vous formalisez pas du ton employé, habituel chez cet auteur pour le moins "sanguin", quel que soit le sujet traité. Sur le fond, j'ai cru comprendre que le désaccord portait sur une notion implicite de symétrie entre les termes de ce "triangle de puissance", symétrie que conteste Motl ; et surtout sur le caractère fondamental des fonctions à deux variables (auxquelles s'ajoute le résultat pour former le triangle), un caractère fondamental suggéré à tort, selon Motl, par le *triangle* proposé. Car il soutient que les seules opérations *vraiment* fondamentales sont l'exponentielle (de base e), le logarithme et l'addition (autrement dit, sans même la multiplication, la division ni la soustraction : si on souhaite vraiment s'en passer - ce que Motl ne conseille pas pour autant - on peut en effet se "débrouiller" avec les formules uv = exp(ln u + ln v), u/v = exp(ln u - ln v) et u - v = u + exp(ln v + pi i) ). On peut donc obtenir les fonctions binaires liant les termes du triangle de puissance par les combinaisons de fonctions unaires suivantes : x^y = exp(y ln(x)), u squrt(v) = exp(ln(v)/u) et log_c(d) = ln(d)/ln(c) . Voilà, pour Motl, ce qu'il suffit de comprendre, alors que la notation du "triangle de puissance" lui semble établir une analogie avec un triangle équilatéral sans rapport avec la réalité des objets mathématiques impliqués. N'étant pas du tout spécialiste de ces questions, je ne peux bien sûr savoir qui a raison mais je me demandais si vous aviez eu connaissance de ces critiques et ce que vous en pensiez. Bien à vous.
Merci pour le lien ! Je ne connais Motl que comme étant le mec qui ne cesse de critiquer Scott Aaronson (à tort)... Autant dire que je pars d'un mauvais préjugé ^^ Plus sérieusement, pour avoir joué quelque peu avec le triangle en question, il ne m'est jamais venu à l'idée de confondre la base et l'exposant. Quant à la rigidité de sa façon de penser les mathématiques, je trouve ça contre-productif. Mais, bon. Il faudrait essayer d'enseigner les triangles de puissance pour vraiment savoir ce que ça pourrait donner.
>>> Je ne connais Motl que comme étant le mec qui ne cesse de critiquer Scott Aaronson (à tort) --- Oui, il est aussi très très persuadé que la gravité quantique à boucles de Carlo Rovelli ne vaut strictement rien, pour une histoire d'invariance de Lorentz dont elle ne rendrait pas compte (et que seule la théorie des cordes présente quelque intérêt). J'observe tout ça en profane mais je ne me serais pas douté que les disputes dans le milieu scientifique soient si peu diplomatiques.^^
Petite expérience de pensée pour se convaincre que la terre n'accélère pas vers les objets qu'on lâche (soit dit en passant, si elle accélérait, ça se sentirait, un peu comme dans un ascenseur). On se place à deux points diamétralement opposés de la terre, on lâche simultanément deux objets identiques d'une "grande" hauteur. Si la terre accélère vers l'un des deux objets, les temps de chutes seront différents. Absurde.
Petite expérience de pensée pour se convaincre que la terre accélère vers les objets qu'on lâche (soit dit en passant, si elle n'accélérait pas, ça se sentirait, un peu comme dans l'espace). On prend une table de pic-nique, la bête table, en plastique blanc avec un trou au milieu pour le parasol. Ou en bois vernis, c'est pas important, ce qui compte c'est d'avoir le trou pour le parasol. La table sert juste à isoler notre expérience de la gravité terrestre. Sur cette table, on va disposer un drap. C'est la trame de l'espace-temps. Enfin, juste l'espace, on va laisser le temps de côté, c'est bien assez compliqué comme ça. Sur ce drap, on va y retourner une assiette au niveau du trou pour le parasol (j'avais bien précisé que ce trou était important). Cette assiette, c'est la Terre, tu ne peux pas te tromper. Enfin, on va jeter pèle mêle quelques poignées de figurines (Lego, Playmobile, Warhammer, ce que tu veux) pour nous représenter. Maintenant, on va simuler la contraction de la trame de l'espace en passant sous la table pour tirer le drap à travers le trou (pas de citation hors contexte, svp). Et là, que voit-on ?? Les gens semblent toutes attirées par la Terre et tombées/accélérées vers elle. Alors qu'en fait, c'est juste la trame de l'espace qui se contracte. Et on voit bien le drap se contracter vers l'assiette. Du coup, intuitivement, on se réfère la Terre comme référentiel fixe par rapport à la trame de l'espace. Mais si on se réfère à la trame de l'espace comme référentiel fixe, alors mécaniquement, ce n'est plus le drap qui se contracte mais l'assiette qui se dilate. Et donc la Terre accélère bien vers les gens qui, eux, ne bougent plus. En fait, dire que la Terre est fixe, que la trame de l’espace-temps se contracte et que les gens accélère vers la Terre ou dire que la trame de l'espace-temps est fixe, que la Terre se dilate et qu'elle accélère vers les gens, c'est équivalent. Juste une question de point de vu. L’expérience n'est pas de moi, je l'ai piqué à un commentateur sur une autre vidéo de Lê (celle justement sur l'accélération de la Terre, si je me trompe pas).
J'ai bien dit "à la surface de la Terre", sous-entendu à un seul lieu à la surface de la Terre. Penser à deux lieus très éloigner dans l'espace nécessite d'inclure la courbure de l'espace-temps dans ce raisonnement, auquel cas l'absurdité apparente de ce raisonnement s'effondre. => ruclips.net/video/NGytp55uALo/видео.html
Heu! Existe t'il une infinité d'isomorphismes pour une théorie donnée ? En d'autres mots, combien existe t'il de manières permettant de construire une théorie?
Intuitivement, rien qu'en appelant une propriété "A" d'une autre manière (par exemple "B"), c'est déjà créer une autre théorie avec son propre vocabulaire et sa façon de voir les choses. Elles sont donc déjà isomorphes. Il y a donc une infinité de manière de le faire. Après, je reconnais que cette réponse est un peu à côté de la plaque parce que j'imagine que tu as en tête des isomorphismes de théorie dont on change les axiomes de départ. A cette précision-ci, j'en ai aucune idée.
C'est assez facile à construire. Tu prends n'importe quelle théorie mathématique T qui contient un nombre infini de théorèmes prouvabes. Et pour chacun de ses théorèmes t, tu construis T+{t}. Clairement, ajouter t à T ne change absolument rien. Et paf, tu as une infinité de théories équivalentes à T.
Euh, quoi ? La démonstration me parait douteuse. Déjà, si {t} est déjà dans la théorie, l'ajouter à l'intérieur ne crée pas une nouvelle théorie. Cela ne crée pas de théorie différente, cela reste la théorie T (qui est évidemment isomorphe à elle-même).
Pour le défi Lê j'ai peut être une solution:- Avec le théorème de millieu. Deux angles ang(bac) et ang(b'a'c') sont égaux si [bc]≡ 2k[b'c']. Où k est un entier naturel.
Une autre solution en abandonnant les entiers naturels seraient de dire que deux angles bâc et b'â'c' sont égaux si [bc] ≡ [b'c']. Je reprend juste ce que j'ai déjà écris en y enlevant l'axiome n°5. Désolé pour l'attente, je n'ai pas étais informé de la réponse.
continue tes vidéos c'est génial même si avec mon niveau de T s je comprend pas toujours tout, rien que de voir a qu'elle point ça te passionne je trouve ça génial tu donne vraiment envie au gens d'aimer les maths donc continue ;)
4:15 on est pas psychorigides, on veut maintenir la tradition. Au tarot, la distribution c'est 3 cartes à la fois, et 1 carte à la fois pour le chien. Tradition, rien d'autre !
"univalence : en chimie, qualité d'un composé de valence 1, c'est-à-dire ne possédant qu'un atome pouvant se lier avec un autre atome donné" si c'est à ça que tu pense, ça n'a pas vraiment de rapport.
Non, je pense à l'axiome d'univalence tel que proposé par Voevodsky (par exemple www.ams.org/notices/201309/rnoti-p1164.pdf). Ça dit en gros que si A et B sont équivalents, alors A et B sont égaux. Et c'est un point central de la théorie homotopique des types. Cette théorie est une tentative pour remplacer la théorie des ensembles comme fondation des mathématiques. Un des gros avantages est justement ce principe d'univalence qui permet de cacher l'implémentation des concepts. Par exemple, on peut construire les entiers de différentes façon, par exemple à la Peano ou à partir de leur décomposition binaire. Une fois qu'on a démontré que les deux constructions sont équivalentes, alors l'axiome d'univalence énonce que les objets construits par ces deux méthodes sont les mêmes et ça permet de cacher beaucoup de « plomberie », ce qui est totalement impossible avec la théorie des ensembles.
Perso, je n'ai pas encore saisi l'intérêt de la logique floue. Je préfère de loin la "logique bayésienne". On y viendra forcément. Mais pas tout de suite :P
Au moins, t'es conscient que c'est vraiment hard à suivre ^^. D'un point de vue tout à fait personnel, je trouve que tes vidéos sont trop rapprochées. J'avais rien compris à la vidéo du théorème de Gödel, et le lundi d'après, inexorablement, il y a une autre vidéo, j'ai laissé tomber. Heureusement que les vacances ont fait que tu as mis un peu plus de temps pour faire la suite, sinon j'aurais définitivement décroché. À la rigueur, pourquoi ne pas faire des pauses tout les 3-4 épisodes ? Comme ça, quand quelqu'un décroche un peu, il sait qu'il pourra raccrocher les wagons plus tard. Après, l'épisode sur Gödel était vraiment le plus hardcore de la série, et je serais curieux de voir les courbes de visionnages de cet épisode ;)
C'est marrant j'aurais dit exactement le contraire... La mathématique est l'art de donner des noms différents à une même chose. À chaque fois que vous posez un "=", des deux côtés de l'égalité vous avez la même chose mais formulé différemment. Les mathématiques c'est faire alterner des "=" et des synonymes. Mais peut-être que ma phrase est un isomorphisme de la phrase de Poincarré^^
questions et réponses à mon sens un peu trop floues^^ Jojofifou demande si les "notations " sont isomorphes ... et toi, Science4All, (j'ai constaté que le tutoiement était standard^^) tu parles de "théories" isomorphes (à distinguer de la notion de "groupes" isomorphes, ou d'"anneau" isomorphes, d'"espaces topologiques" isomorphes, quailifiés d'homéomorphes, etc...) et je ne vois pas trop ce qui distingue dans ce cas restreint "isomorphes" de "équivalentes", même si je ne suis pas du tout logicien, donc ce n'est pas une critique, mais une vraie question. la critique s'il devait y en avoir une serait justement que tu n'aies pas trop défini ce que tu entends par isomorphisme en tous cas de façon pas assez claire selon moi pour que je me pose (ou te pose^^) cette question à propos des "théories isomorphes". Le terme "critique" que je viens d'employer est exagéré, car je trouve tes vidéos admirables, très claires, et justement à la fois accessibles et profondes, ce qui implique qu'on a forcément ça et là, des imprécisions nécessaires pour croître en profondeur, ou en champ de vision, etc... bravo à toi, et bravo pour ce travail impressionnant que tu réalises avec panache et passion!!
math is love math is life !
C'est génial je comprend de moins en moins et ça m'intéresse de plus en plus :)
Les isomorphismes, c'est vraiment ce qui m'a permis de donner du sens aux maths que j'étudiais de la L2 jusqu'au master, avec l'algèbre linéaire.
Les ponts que ça forme entre toute les disciplines couplés à la visualisation algébrique des espaces vectoriels, je trouvais ça magique. Et ça permettait de ne plus se prendre la tête avec des abstractions à la moindre nouveauté : un isomorphisme, et ça devenait "oh c'est juste ça en fait?". Les complexes? De la géométrie. A4? Rotations du tétraèdre ! Et j'en passe des centaines d'autres.
Même pour l'analyse fonctionnelle, savoir que je manipulais juste un EV un peu monstrueux mais qui se résumait à R^R, ben ça rendait ça moins effrayant.
C'est super d'avoir des épisodes comme ça plus relax ou tu parle de concepts généraux comme l'isomorphisme. Avec une touche d'histoire comme tu l'as fait l'a, c'est cool pour alterner avec des gros épisodes :)
J'ai affirmé "je vous promets que dénicher des isomorphismes est l'une des plus grandes joies des mathématiques". El Jj l'a super illustré dans une vidéo récente : ruclips.net/video/etzcN6g-vNY/видео.html
Par ailleurs, grâce à un viewer anonyme, je me suis rendu du compte d'une bêtise que j'ai dite. En fait, tout est constructible dans la géométrie de Tarski. Ce n'est que dans une variante de celle-ci que seules les constructions à la règle et au compas sont admissibles.
" le grand werner heinsenberg " , enfin un génie reconnu a sa vrai valeur
A quand un episode hardcore sur les equations de la physique quantique , ça pourrait etre tellement interessant !
David Louapre (sciencetonnante) en a fait plusieurs. Une recherche YT avec ce mot de recherche te donnera les vidéos.
Je connais science étonnante mais ses vidéos sont rarement développées sur le plan mathématiques
Elles n'en restent pas moins excellente !
Pour les détails, il faut aller voir sur son blog. Chaque vidéo est accompagnée d'un billet qui est la version hard core du sujet traité.
j'ai bien aimé cet épisode, c'est comme s'il rassemblait tous les autres, une sorte de conclusion. comme si tous ces épisode étaient là pour préparer celui-ci.
Salut !
ça fait presque un mois que j'ai découvert ta chaîne. C'est vraiiiment dommage qu'elle n'a pas encore toute l'audience qu'elle mériterait.
J'ai particulièrement adoré la série sur la relativité et particulièrement ta manière d'amener le sujet petit à petit en donnant à ton audience le temps de digérer les incréments. J'aime aussi le fait que tu sois passionné par les maths.
Enfin, ce qui fait de cette chaîne ma préférée en ce moment sur youtube (toutes langues confondues), c'est bien le niveau des sciences que tu décris : en effet, la plupart des vidéos bien montées etc.. s'adressent à des gens qui ne veulent pas aller en profondeur, et tu aurais très bien pu t'en tenir là toi aussi, mais tu as choisi d'expliquer les choses plus en profondeur, quitte à te retrouver avec moins d'abonnés ! Pour cela comme pour le reste : MERCI ! :)
Merci pour ce message :)
Vidéos très intéressante ! Même pour ceux qui connaissent un peu ce qu'il y a derrière, tu es très agréable à écouter.
Elle m'a rappelée un "bug" que j'avais eu en prépa. Selon la construction que l'on avait fait de l'ensemble des nombres complexes, il ne semblait pas contenir l'ensemble des nombres réels (au sens ensembliste), c'est une injection (+bonnes propriétés) qui permettait de dire que x c'est comme (x,0). [et idem pour Q et Z !]
Ca casse l'image de rigidité des définitions des objets mathématiques qu'on peut avoir aux premiers abords.
Continue comme ça !!
ce qui m'a étonné lorsqu'on définissait les espaces vectoriels c'est qu'on n'a rien dit sur la nature des éléments de cet ensemble , on a juste spécifié la manière avec laquelle ils se comportent en relation l'un avec l'autre , et c'est ici ou je me suis retrouvé à l’ancien débat "est ce que les nombres existent vraiment ?" et j'ai retrouvé la réponse :" cette question est triviale parce que lorsqu'on manipule les nombres on ne prétend jamais qu'ils sont des objets à part entière mais plutôt que si il existe un ensemble qui se comporte de la même manière que les nombres , alors voila les théorèmes qu'on pourrait appliquer "
Au primaire, je me suis dit non pas que le nombre 4 existait (dans un sens philosophique qui ne m'intéressait pas), mais qu'il y avait un point commun entre 4 batons et 4 billes, que c'était 4. Les nombres et les objets mathématiques sont ce qui est commun a des réalités physiques similaires.
@@cainabel2553 déjà on a défini ces objets mathématiques parce qu'elles étaient utiles. les axiomes des maths sont trés flexibles et on aurait pu se concentrer sur d'autres structures. on choisi de travailler sur les structures qu'on connait parce qu'elle sont utiles.
3:40 Enfin ! Quelqu'un qui pense comme moi en ce qui concerne les jeux de cartes. Je suis énormément rassuré maintenant 😃😃😃😃
comme d'hab on apprend la science et l'histoire en meme temps merci continu :D
Excellent épisode, comme d'habitude !
Perso, j'ai eu du mal avec les deux premières vidéos, mais c'était le temps de prendre le pli. Donc, pas de soucis si ça se corse.
J'attends avec impatience la prochaine vidéo, parce ces deux conceptions de la logique font pas mal débat de temps en temps sous les hanjies de Hanjie Star (entre ceux comme moi qui pensent qu'une grille logique est une grille qui n'a qu'un seul remplissage possible et ceux qui imposent que le bon remplissage soit en plus trouvable sans hypothèses ni méthodes "trop tordues" pour dire que la grille est logique).
En tout cas, merci beaucoup pour toutes tes vidéos, sur des thèmes plus passionnants les uns que les autres :)
Super intéressant ! à quand des vidéos sur la Théorie des Catégories ?
Salut super ta video et d'ailleurs j'ai vu que tu est à l'EPFL, tu en pense quoi car j'aimerais bien y aller !
Cher Lê, je me doute bien qu'avec mes commentaires sur la précédente vidéo de cette série, que tu puisses avoir quelques relents à l'idée d'y faire suite mais sache que ça n'a grande importance pour moi, ce qui compte ici c'est La Qualité de tes vidéos.
En tout cas, je suis Très Heureux que tu aies abordé le sujet des isomorphismes tout en sachant que les autres types de "mophismes" dont eux aussi Très Intéressants et Puissants ;-)
Je suis aussi Heureux de voir que tu apprécies toi aussi autant Poincaré :)
Juste un bémol :
Tu as raison je pense de dire que pourvu que les choses fonctionnent de la même façon, on s'en fou d'utiliser une définition plutôt qu'une autre.
C'est vrai d'un point de vue je dirais purement algorithmique mais du point de vue de la recherche, c'est souvent LE SENS INTUITIF que l'on donne aux objets mathématiques qui justement peut guider dans cette recherche.
Par exemple, bien que ce soit de la Physique et non des Mathématiques, definir la structure fine en termes d'ondes, et l'aspect probabiliste uniquement comme une conséquence des combinaisons relativement aléatoires entre les phases (réelles, pas probabilistes elles) de l'objet observé, et les phases de l'instrument avec lequel on observe, est TRÈS différent que de considérer que l'univers lui-même est "intrinsèquement" probabiliste et qu'aucune détermination sous-jacente n'existe.
En d'autre mots, il a été relativement rare dans l'Histoire Des Sciences "d'observer" de nouveaux objets, de concevoir de nouvelles idée, sans avoir préalablement une DIRECTION PRÉALABLE DE LA RECHERCHE PAR L'INTUITION. Or encore une fois, celle-ci est grandement infuencée par LE TYPE de définition que l'on utilise ; me semble-t-il ^^
C'est d'ailleurs le sujet du mini colloque de l'an 2000 de l'Université De Tous Les Savoir que Jean-Marc Lévi-Leblond avait initié en reprenant (sans me cité ^_^) quelques objections que j'avais faites sur l'amalgame entre une Théorie Abstrait telle que La Relativité et La Réalité, insistant sur son Essence : exprimer le fonctionnement des IMAGES "MULTIDATÉES" (ce que l'on "observe" dépend de la distance et de la vitesse des ondes que l'on enregistre et interprète) n'est PAS/////////// L'expression, la Description, de ce qui EST/// DANS le présent.
Sûrement que quelque part tu es Conscient de cette différence mais en as-tu vraiment réalisé l'Importance, j'en doute encore car il me semble que lorsque tu parles de la Théorie de la Relativité Générale notamment, tu parts du principe qu'il "EXISTE" une "courbure de l'espace-temps" autrement que CONCEPTUELLEMENT.
Dit autrement : ce n'est PAS// parce qu'il existe un isomorphisme entre le CONCEPT mathématique et la Réalité que la théorie qui amène à ce concept est "Intrinsquement Vraie".
De toute façon, je suis pour la pluralité et donc tu es parfaitement libre comme chacun de suivre tes propres convictions sur le sujet ; je ne faisais qu'apposer mon point de vue, ce sont je crois les Résultats UTILES et APPLICABLES qui pourront éventuellement permettre de départager les deux points de vue un peu antinomiques ^_^
Bien à toi,
Didier
Il y a un problème qui me taraude depuis quelques temps, c'est l'explication de la diagonale de Cantor qui n'arrive pas à me convaincre. Je me demande donc si le raisonnement que j'expose ci-après est valable :
On prend n un chiffre (pas un nombre).
On nomme Xn l'ensemble des entiers naturels non multiple de 10 et qui commence par n, par ex :
X1 (1 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 101 ; 111 ; etc.)
l'ensemble Xn n'est-il pas dénombrable ?
chaque membre de l'ensemble X1 ne peut-il pas être associé à l'ensemble des nombres réels appartenant à l'intervalle [0,1 ; 0,2[ qui lui n'est pas dénombrable ?
Ton ensemble est dénombrable : prend 1/9, qui appartient à [0.1,0.2[ et tu devrais apercevoir le problème.
On ne peut pas écrire d'entier avec une infinité de chiffres !
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111... (infinité de 1) ...11111111111111.0 n'est pas un nombre
DreamStorm mais pourquoi ne peut-il y avoir une infinité de chiffre dans un nombre entier ? C'est peut être là qu'est mon problèmes à la compréhension de la diagonale de Cantor !
Peut-être. Mais l'intérêt de l'entier en notation décimale, c'est de pouvoir l'écrire simplement et de façon exacte quand on à la flemme de parler du successeur du successeur du successeur du successeur du successeur du successeur du successeur du successeur du successeur de zéro. Puisque ton nombre a apparemment une infinité de chiffre dans cette écriture, ça va être difficile de le représenter comme ça. Donc soit tu le définis proprement et on voit pourquoi si les axiomes de Peano s'appliquent et on aura encore créé une théorie parallèle des entiers, ça n'existe juste pas.
Ou alors on prouve par récurrence qu'un entier a un nombre fini de chiffre en base 10.
n=0 : trivial
si c'est vrai pour n, alors notant I l'ensemble des "chiffres" (paire constituée du symbole et de sa position) de n, une autre récurrence (qui cette fois va devoir utiliser les chiffres et la base 10) montre que soit on modifie juste quelques termes de I pour obtenir I', l'ensemble des chiffres de n+1, auquel cas I et I' sont en bijection, donc I' est fini, soit on doit ajouter un chiffre, et une démonstration pénible montre que l'union de deux ensembles finis (I' et le singleton nouveau chiffre) est finie. Dans tous les cas, c'est fini, ce qui achève la récurrence.
La définition de fini qui ne passe pas par les entier, si tu te le demande, c'est ceci :
E est fini si toute injection de E dans E est surjective.
Et ensuite on regarde les ensembles qui peuvent être mis en bijection, et on référence tout par rapport aux entiers classiques, qui servent de cardinaux à tout les ensembles finis.
😭c'est tellement bien expliqué
top! comme d'hab' !
Y a t il un rapport entre les mathématiques modernes et la physique ?
Le langage naturel de la physique est la mathématique, je ne sais pas vraiment ce que tu entends par "modernes" mais à tout niveau la physique aura besoin des maths les plus poussés pour évoluer (et inversement). La preuve est que certaines médailles Fields (grosso modo Nobel des maths) sont attribués à des mathématiciens travaillant la physique (Villani 2010, cocorico !) ou carrément des physiciens (Edward Witten 1990)
la physique, c'est essayer de représenter la réalité avec des mathématiques ;
à fin de pouvoir en suite étudier la réalité en utilisant les mathématiques.
Avant tes vidéos (la je ment car j'aimais bien) je n'aimais pas les maths enfin je trouvais cela cool mais de la branlette intellectuelle ... Mais tu vulgarise bien la chose et ramène une dimension intéressante a la chose ... Big up continu comme ça force a toi ...
il est vrai que je me sens larguer par tes vidéo depuis quelques épisodes, mais je n'ai aucun regret car je prend de plus en plus conscience de l'étendue de ma non-connaissance !
J'ai l'impression de commencer seulement maintenant à entrevoir la réalité de la maxime de Socrate : " Je sais que je ne sais rien ! "
Ce sentiment ne fait qu'augmenter avec les années d'étude ;)
Science4All@ une petite question : les fait que les isomorphisme soient des phénomènes réel en maths, cela suppose t-il nécessairement qu'il puisse exister aussi des structures invariantes dans l'univers mathématique? Structure qui pourraient être finalement vue comme un signe de réalité ontologique des mathématiques ?
Très bonne vidéo encore. Je me permet juste une petite remarque à 1:18 on prononce Louise de Breuil
Y a un truc que j'ai du mal à comprendre. Pourquoi est-ce qu'on cherche forcément l'isomorphisme? La simple équipotence n'est-elle pas suffisante? Si oui, pourquoi? La bijection me paraît tout à fait satisfaisante, mais apparemment on ne s'en contente pas, il faut toujours l'accompagner de la linéarité. Pourquoi s'il vous plaît? Cette question me tracasse et je n'ai jamais pu y répondre...
Sofian Hanifeh
Ouuulà non, l'équipotence est loin d'être suffisante pour être la notion importante! En fait, l'équipotence est l'exemple le plus élémentaire d'isomorphie, c'est l'isomorphie entre ensembles. Mais le mouvement bien plus général en Mathématique, et notamment en Algèbre (et au-delà en Théorie des Catégories), est de s'intéresser non à de simples ensembles tout nus, si j'ose dire, mais à des structures constituées d'ensembles munis de lois de composition de ses éléments ("opérations"), de relations (relations d'ordre), d'une topologie (structure de base commune nécessaire à toute Géométrie et Analyse), etc. ... Et alors l'intéressant n'est plus la simple équipotence des deux ensembles sous-jacents à deux de telles structures, mais l'isomorphie totale de ces structures, c'est-à-dire l'équipotence desdits ensembles mais en outre l'exacte similarité de toute la structure dont on les a munis! On recherche alors entre eux non plus n'importe quelle bijection, mais une bijection qui est un morphisme, c'est-à-dire qui respecte la structure de l'une à l'autre!
Un exemple pour bien comprendre:
Un Magma est l'une des plus simples structures algébriques définissables sur un ensemble E (d'où son nom évoquant une matière très peu structurée): il s'agit du couple (E,*) où * est une Loi de Composition Interne à E ("opération" sur les éléments de E) quelconque; par suite un isomorphisme entre deux Magmas (E,*) et (E',*') sera alors non seulement une bijection f entre E et E', mais qui par surcroît respecte la structure de magma au entre le départ et l'arrivée:
∀x,y∈E, f(x*y)=f(x)*'f(y)
Les Magmas (E,*) et (E',*') sont alors non seulement d'ensembles sous-jacents E et E' équipotents (ce qui demeure néanmoins une condition nécessaire à la suite) mais plus encore ce sont la même structure, leurs éléments sont liés selon les mêmes relations, on dit "à isomorphisme près"; c'est-à-dire que modulo un "changement d'étiquettes", un réétiquetage des éléments de E par ceux de E' via f (dont la biunivocité est assurée par la bijectivité), on a affaire la même structure de Magma, qui se révèle le point de vue intéressant sur la structure au détriment de la nature même de ses éléments.
Je terminerai par une mise en garde, évidemment on n'a donc pas forcément isomorphie sitôt que l'on a équipotence; il peut parfaitement y avoir existence de bijections sans qu'aucune d'elles ne soit un morphisme (et donc inexistence d'isomorphisme).
La simple équipotence ça va être un isomorphisme "d'ensembles" parce qu'il y a rien qui vient avec les ensembles
Si t'y rajoutes la linéarité ça va être un isomorphisme "d'espace vectoriel" parce que c'est la propriété qui est "reliée" aux espaces vectoriel
Si au lieu de la linéarité t'y rajoutes la continuité tu vas avoir un isomorphisme d'espace topologique parce que là dedans la notion de base c'est la continuité
Etc etc... Tu peux prendre une "structure", soit en gros un ensemble doté de certaines propriétés/opérations, et si t'arrives à trouver une bijection qui conserve la "structure" (c'est à dire que les propriétés restent "vraies") bah tu vas avoir un isomorphisme de cette "structure". Pour ça qu'en algèbre "linéaire" c'est quand même cool de garder la structure linéaire ^^
Du coup, est-ce que les probabilités sont isomorphe avec la statistique ?
À mon (humble) avis, Poincaré se serait moins trompé en écrivant "La mathématique est un des arts qui ont comme caractéristiques de donner des mêmes noms à des choses différente".
Car la mathématique n'est pas la seule à explorer§inventer des concepts, jouer avec, les particulariser et les généraliser.
Explorer§inventer les idées en elles-mêmes, c'est aussi du domaine du language, que ce soit en exprimant une fac̨on de "partitionner" le monde, ou en le créant.
Je tiens ainsi à mentionner l'invention de language, qui, comme les maths, font appel à des concepts sous-jaccents, mais en inventent aussi; qui, comme les maths, ne peuvent qu'être subjectifs au vu des axiomes§aprioris choisis.
L'invention de language particulièrement. car la proximité avec ces possibilités n'en sont que plus fortes; même si elles apparaissent dans d'autres domaines.
Et comme exemple très̀ saturé, je tiens à mentionner l'ithkuil (ithkuil.com), où les contraintes de construction et la variété de la réponse est grande.
Peut d'être d'ailleurs que les mathématiques, comme n'importe quel language, ne sont qu'une forme d'organisation d'informations.
À défaut, ne vous prenez pas trop au sérieux quand vous donnez des noms, quand vous faites référence à des abstractions dépendant de ~l'intuition~.
Après les écrits: si "peut importe les définitions des objets mathématiques tant que les isomorphismes sont là", il serait quand même bon d'avoir une définition d'isomorphisme. Si isomorphisme est un objet mathématique ..
Après Après les écrits: quant à la prononciation de 'De Broglie', je pense qu'il est bon d'exprimer le point de vue que: les mots sont prononcés comme les gens le veulent. Ce à quoi l'on aime répondre: "et la connvention?"; en oubliant souvent que la convention, de même que la langue, ou du moins sa représentation; sont changement; et de toute fac̨on, si suffisament de personnes disent [dø bʁogli], ne dit-on pas [dø bʁogli] suivant le même argument?
Après Après Après les écrits: Comme la suite "nombre de vidéos que je regarde des soi-disants "youtubeurres scientifiques" domine la suite "nombre de commentaires", je profite de celui-ci pour exprimer ma gratification. À quand un hardcore sur les mathématiques constructives?
Tu es au top ! Tu es incroyable ! (liké partagé abonné) :-)
"Les définitions OSEF".
Un exemple typique: théorie des probabilités, aucune définition du "hasard", mais une étude approfondie de ses propriétés, ses "relations".
Super ! Continue ainsi !
Salut, petite question qu'on a déjà du te poser, mais quelles étaient tes moyennes de terminale en maths et physique, et ta moyenne générale ?
J'ai eu 16,08 au bac en moyenne générale. Les maths et la physique étaient mes points forts.
Merci
Une question probablement naïve mais qui me vient spontanément à l'issue de cette très chouette vidéo : y a-t-il une "chance" qu'on découvre un jour que la théorie des cordes et la gravitation quantique à boucles sont isomorphes ?
Merci pour la vidéo !
J'ai aussi l'intuition que cette idée d'isomorphisme peut avoir un intérêt dans les domaines de sciences sociales, voire de la politique.
La théorie des cordes et la gravitation quantique à boucle font des prédictions différentes l'une de l'autre. Deux théories isomorphes prédisent la même chose mais avec des noms différents.
Merci.
Bravo, vidéo tip top
Salut, tres bonne video comme d'habitude, juste pour te dire que pour ´Louis de Broglie ´ on dit ´ Louis de Breuille ´ et non ´ Louis de Breug ´ ! A part ca nickel continue !
Super vidéo, merci ! :D
c'est marrant, tu as parlé d'isomorphismes pendant quasiment 10 minutes sans prononcer une seule fois le mot "bijection". Sinon, super boulot comme d'hab :)
il n'a pas définit clairement isomorphisme, mais ce qui est certain c'est que bijection n'entre pas dans la définition d'isomorphisme, sauf cas particulier. (dans une catégorie, un isomorphisme est une flèche inversible à droite et à gauche, si je ne dis pas de bêtise^^)
Gaël BXL ça va il a dit "et vice-versa" :o)
un isomorphisme est bijectif par définition, c'est un morphisme qui admet un morphisme inverse
Il existe un moyen de traduire tout objet fondamental d'une théorie à un objet fondamental de l'autre théorie et vis-versa, dit-il. Donc il en a parlé (de bijection) !
j'ai une question je sais pas si c'est ton domaine mais si tu peux apporté même un début de réponse sa serait génial.
On sait que l'énergie est quantifié a partir d'un certain niveau ,quantum d'action constante de planck etc. il y'a une théorie (une hypothèse) que l'espace serait quantifié de la même manière (théorie quantique a boucle je crois); alors sachant que en plus l'espace-temps est...une chose xD; par analogie peut-il y avoir une quantification des instants : un instant, une phinto-nano-micro seconde indivisible un stade ou le temps serait quantifié en petit instant plus ou moins indivisible. Je précise que c'est une théorie d'un auteur de fantastique donc rien de bien scientifique mais j'ai du mal a savoir si c'est purement fictionnel ou si sa pourrait avoir un écho quelconque
destore75
Dans la Théorie de la Gravité Quantique à Boucles, l'Espace-Temps est également en effet quantifié, et en particulier (si l'on peu encore en parler isolément) il existe un "quanton de temps", la plus courte durée.
si c'est incompréhensible faut me le dire parfois je suis incompréhensible ;)
Ce que j'ai compris n'était-il pas ce que tu voulais faire comprendre? Parce que si oui, c'est compréhensible si l'on sait de quoi tu parles ne t'en fais pas :p
C'est ce qu'on appelle le temps de Planck. C'est environ 10^(-43)s.
Cf. unité de Planck
Me Em Le temps de Planck est la limite inférieure de durée que peut traiter la physique avec ses théories actuelles, rien n'interdit que de nouvelles théories prédisent le comportement de durées inférieures... Mais il est vrai que même si je n'en sais pas plus, je pense que le quanton de temps prévu par la G.Q.B. doit être le temps de Planck!
Pour la distribution des cartes : ça dépent !
Au Tarot, par exemple, distribué les cartes 3 par 3 est important, car le paquet n'est pas mélanger entre chaque manche. (il est juste coupé)
Mème si en moyenne, les répartitions sont équivalente, ça augmente la probabilité des cas extrême, en fonction des carte qui ont été joué ensemble à la manche d'avant.
Il y a plus de longue, des coupes naturelle, avoir 3 tète d'une couleur, ... et donc ça rend les parties plus intéressante.
La définition de la seconde loi de la thermodynamique tel que décrite par lord Kelvin et Rudolf Clausius constitue t'elle un cas d'isomorphisme ?
la transgression du 2nd principe selon Kelvin-Planck entraîne la transgression du 2nd principe selon Clausius et vice versa... Ces énoncés sont vrais simultanément ou faux simultanément donc je dirais que oui il y a isomorphisme :)
+MyJoeMarshall de ce que tu dis on dirait qu'il y ait équivalence, je dis peut-être une bêtise mais ça me parait plus fort qu'un isomorphisme car quel que soit ce qu'on choisit, on parle exactement des même objets alors que pour l'isomorphisme on parle généralement d'objets différents.
Tu peux faire une video s il te plait sur la différence entre probas dans un univers finie et infini dénombrable qui est l actualités du nouveau programme prepas Merci
c'est haram
Natsu dragnir il ne faudra pas oublier la loi faible des grand nombres que je trouve personnellement très jolie
En soit ça voudrait dire que toute théorie pourrait "s'imbriquer" dans d'autre théories, ainsi on pourrait faire des liens entre à peut près tout (exemple de peano et ZFC, ou alors la théorie quantique des champs). Du coup si je me suis pas gouré, il pourrait exister une sorte de liste, où on classerait toute les théories, en voyant de quoi elles découlent, et ainsi faire des liens entre tout.
Aussi je me dis qu'entre deux théories équivalentes, l'une des deux serait plus adapté que l'autre dans certains cas (exemple géocentrisme et héliocentrisme).
flamingskulljm On dit en effet d'une Théorie Axiomatique qu'elle est plus forte qu'une autre si celle-ci se laisse modéliser par la première. :)
A nouveau je vois de moins en moins de lien avec l'infini... Je sais qu'un sujet en entraîne un autre et qu'on a vite fait de s'éloigner, mais ne serait-il pas temps de changer de thème ? (à peu près depuis que tu parles d'axiomatique en fait)
Le raisonnement était : l'infini nous conduit à des paradoxes => mais qu'est-ce que l'infini ? => qu'est-ce que les maths ?
@Science4All si le sol accelère vers le haut, pourquoi la terre reste une sphère et ne s'applatit pas en raison de l'existence d'une accélération vers le haut (desole si c'est pas clair)
Bonjour Lê, et bravo pour votre enthousiasme à faire partager votre passion pour les mathématiques.
Au sujet du "triangle de puissance" dont vous parlez à la fin de la 8ème vidéo de la série My4Cents (je poste ce commentaire ici pour ne pas relancer un fil trop ancien), il existe au moins une critique - peut-être la connaissez-vous - de la part du blogueur physicien Lubos Motl : motls.blogspot.fr/2016/07/why-triangle-notation-for-powers-is.html
Ne vous formalisez pas du ton employé, habituel chez cet auteur pour le moins "sanguin", quel que soit le sujet traité. Sur le fond, j'ai cru comprendre que le désaccord portait sur une notion implicite de symétrie entre les termes de ce "triangle de puissance", symétrie que conteste Motl ; et surtout sur le caractère fondamental des fonctions à deux variables (auxquelles s'ajoute le résultat pour former le triangle), un caractère fondamental suggéré à tort, selon Motl, par le *triangle* proposé. Car il soutient que les seules opérations *vraiment* fondamentales sont l'exponentielle (de base e), le logarithme et l'addition (autrement dit, sans même la multiplication, la division ni la soustraction : si on souhaite vraiment s'en passer - ce que Motl ne conseille pas pour autant - on peut en effet se "débrouiller" avec les formules uv = exp(ln u + ln v), u/v = exp(ln u - ln v) et u - v = u + exp(ln v + pi i) ). On peut donc obtenir les fonctions binaires liant les termes du triangle de puissance par les combinaisons de fonctions unaires suivantes : x^y = exp(y ln(x)), u squrt(v) = exp(ln(v)/u) et log_c(d) = ln(d)/ln(c) . Voilà, pour Motl, ce qu'il suffit de comprendre, alors que la notation du "triangle de puissance" lui semble établir une analogie avec un triangle équilatéral sans rapport avec la réalité des objets mathématiques impliqués.
N'étant pas du tout spécialiste de ces questions, je ne peux bien sûr savoir qui a raison mais je me demandais si vous aviez eu connaissance de ces critiques et ce que vous en pensiez.
Bien à vous.
Merci pour le lien !
Je ne connais Motl que comme étant le mec qui ne cesse de critiquer Scott Aaronson (à tort)... Autant dire que je pars d'un mauvais préjugé ^^
Plus sérieusement, pour avoir joué quelque peu avec le triangle en question, il ne m'est jamais venu à l'idée de confondre la base et l'exposant. Quant à la rigidité de sa façon de penser les mathématiques, je trouve ça contre-productif.
Mais, bon. Il faudrait essayer d'enseigner les triangles de puissance pour vraiment savoir ce que ça pourrait donner.
>>> Je ne connais Motl que comme étant le mec qui ne cesse de critiquer Scott Aaronson (à tort)
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Oui, il est aussi très très persuadé que la gravité quantique à boucles de Carlo Rovelli ne vaut strictement rien, pour une histoire d'invariance de Lorentz dont elle ne rendrait pas compte (et que seule la théorie des cordes présente quelque intérêt). J'observe tout ça en profane mais je ne me serais pas douté que les disputes dans le milieu scientifique soient si peu diplomatiques.^^
Ça m'a l'air d'un gros troll ce Motl...
Petite expérience de pensée pour se convaincre que la terre n'accélère pas vers les objets qu'on lâche (soit dit en passant, si elle accélérait, ça se sentirait, un peu comme dans un ascenseur).
On se place à deux points diamétralement opposés de la terre, on lâche simultanément deux objets identiques d'une "grande" hauteur. Si la terre accélère vers l'un des deux objets, les temps de chutes seront différents. Absurde.
Petite expérience de pensée pour se convaincre que la terre accélère vers les objets qu'on lâche (soit dit en passant, si elle n'accélérait pas, ça se sentirait, un peu comme dans l'espace).
On prend une table de pic-nique, la bête table, en plastique blanc avec un trou au milieu pour le parasol. Ou en bois vernis, c'est pas important, ce qui compte c'est d'avoir le trou pour le parasol. La table sert juste à isoler notre expérience de la gravité terrestre.
Sur cette table, on va disposer un drap. C'est la trame de l'espace-temps. Enfin, juste l'espace, on va laisser le temps de côté, c'est bien assez compliqué comme ça. Sur ce drap, on va y retourner une assiette au niveau du trou pour le parasol (j'avais bien précisé que ce trou était important). Cette assiette, c'est la Terre, tu ne peux pas te tromper. Enfin, on va jeter pèle mêle quelques poignées de figurines (Lego, Playmobile, Warhammer, ce que tu veux) pour nous représenter.
Maintenant, on va simuler la contraction de la trame de l'espace en passant sous la table pour tirer le drap à travers le trou (pas de citation hors contexte, svp). Et là, que voit-on ?? Les gens semblent toutes attirées par la Terre et tombées/accélérées vers elle. Alors qu'en fait, c'est juste la trame de l'espace qui se contracte. Et on voit bien le drap se contracter vers l'assiette. Du coup, intuitivement, on se réfère la Terre comme référentiel fixe par rapport à la trame de l'espace. Mais si on se réfère à la trame de l'espace comme référentiel fixe, alors mécaniquement, ce n'est plus le drap qui se contracte mais l'assiette qui se dilate. Et donc la Terre accélère bien vers les gens qui, eux, ne bougent plus.
En fait, dire que la Terre est fixe, que la trame de l’espace-temps se contracte et que les gens accélère vers la Terre ou dire que la trame de l'espace-temps est fixe, que la Terre se dilate et qu'elle accélère vers les gens, c'est équivalent. Juste une question de point de vu.
L’expérience n'est pas de moi, je l'ai piqué à un commentateur sur une autre vidéo de Lê (celle justement sur l'accélération de la Terre, si je me trompe pas).
J'ai bien dit "à la surface de la Terre", sous-entendu à un seul lieu à la surface de la Terre.
Penser à deux lieus très éloigner dans l'espace nécessite d'inclure la courbure de l'espace-temps dans ce raisonnement, auquel cas l'absurdité apparente de ce raisonnement s'effondre. => ruclips.net/video/NGytp55uALo/видео.html
Les notations des nombres complexes avec la partie réel et la partie imaginaire, et celle avec le module et l'argument sont elles des isomorfisme
Heu! Existe t'il une infinité d'isomorphismes pour une théorie donnée ? En d'autres mots, combien existe t'il de manières permettant de construire une théorie?
Intuitivement, rien qu'en appelant une propriété "A" d'une autre manière (par exemple "B"), c'est déjà créer une autre théorie avec son propre vocabulaire et sa façon de voir les choses. Elles sont donc déjà isomorphes. Il y a donc une infinité de manière de le faire.
Après, je reconnais que cette réponse est un peu à côté de la plaque parce que j'imagine que tu as en tête des isomorphismes de théorie dont on change les axiomes de départ. A cette précision-ci, j'en ai aucune idée.
C'est assez facile à construire. Tu prends n'importe quelle théorie mathématique T qui contient un nombre infini de théorèmes prouvabes. Et pour chacun de ses théorèmes t, tu construis T+{t}. Clairement, ajouter t à T ne change absolument rien. Et paf, tu as une infinité de théories équivalentes à T.
Euh, quoi ? La démonstration me parait douteuse. Déjà, si {t} est déjà dans la théorie, l'ajouter à l'intérieur ne crée pas une nouvelle théorie. Cela ne crée pas de théorie différente, cela reste la théorie T (qui est évidemment isomorphe à elle-même).
Cette vidéo me fait penser au nexialisme, même si je peux comprendre que ce ne soit pas tout à fait la même chose :p
Le jeu de cartes... Race for the Galaxy ou pas du tout ? :D
Pour le défi Lê j'ai peut être une solution:- Avec le théorème de millieu. Deux angles ang(bac) et ang(b'a'c') sont égaux si [bc]≡ 2k[b'c']. Où k est un entier naturel.
+Scorpion_16_99 Yuki attention il n'y a pas d'entiers naturels...
Une autre solution en abandonnant les entiers naturels seraient de dire que deux angles bâc et b'â'c' sont égaux si [bc] ≡ [b'c']. Je reprend juste ce que j'ai déjà écris en y enlevant l'axiome n°5.
Désolé pour l'attente, je n'ai pas étais informé de la réponse.
continue tes vidéos c'est génial même si avec mon niveau de T s je comprend pas toujours tout, rien que de voir a qu'elle point ça te passionne je trouve ça génial
tu donne vraiment envie au gens d'aimer les maths donc continue ;)
4:15 on est pas psychorigides, on veut maintenir la tradition.
Au tarot, la distribution c'est 3 cartes à la fois, et 1 carte à la fois pour le chien. Tradition, rien d'autre !
Je peux proposer une solution pour la trisection d'un angle à la règle et au compas.
Arrête toi tout de suite avant que je sorte mon gun
Il faut quand même entrer un petit peu dans les détails, vous donnez l'histoire qui est déjà connue plus que la matière elle même.
Tiens, ça ne préparerait pas le principe d'univalence tout ça ?
"univalence : en chimie, qualité d'un composé de valence 1, c'est-à-dire ne possédant qu'un atome pouvant se lier avec un autre atome donné"
si c'est à ça que tu pense, ça n'a pas vraiment de rapport.
Non, je pense à l'axiome d'univalence tel que proposé par Voevodsky (par exemple www.ams.org/notices/201309/rnoti-p1164.pdf).
Ça dit en gros que si A et B sont équivalents, alors A et B sont égaux. Et c'est un point central de la théorie homotopique des types. Cette théorie est une tentative pour remplacer la théorie des ensembles comme fondation des mathématiques. Un des gros avantages est justement ce principe d'univalence qui permet de cacher l'implémentation des concepts.
Par exemple, on peut construire les entiers de différentes façon, par exemple à la Peano ou à partir de leur décomposition binaire. Une fois qu'on a démontré que les deux constructions sont équivalentes, alors l'axiome d'univalence énonce que les objets construits par ces deux méthodes sont les mêmes et ça permet de cacher beaucoup de « plomberie », ce qui est totalement impossible avec la théorie des ensembles.
On y vient ;)
Bonjour!
Bonjour!
bonjour merci
A quand la logique floue ? :D
Perso, je n'ai pas encore saisi l'intérêt de la logique floue.
Je préfère de loin la "logique bayésienne". On y viendra forcément. Mais pas tout de suite :P
Au moins, t'es conscient que c'est vraiment hard à suivre ^^.
D'un point de vue tout à fait personnel, je trouve que tes vidéos sont trop rapprochées. J'avais rien compris à la vidéo du théorème de Gödel, et le lundi d'après, inexorablement, il y a une autre vidéo, j'ai laissé tomber. Heureusement que les vacances ont fait que tu as mis un peu plus de temps pour faire la suite, sinon j'aurais définitivement décroché.
À la rigueur, pourquoi ne pas faire des pauses tout les 3-4 épisodes ? Comme ça, quand quelqu'un décroche un peu, il sait qu'il pourra raccrocher les wagons plus tard.
Après, l'épisode sur Gödel était vraiment le plus hardcore de la série, et je serais curieux de voir les courbes de visionnages de cet épisode ;)
Paul Dirac, ça sonne vachement français pour un nom anglais ^^
je vois
Zara Ustra et il a vécu en France !!!!
Un des mes vulgarisateurs préférés est un anglais qui s'appelle Marcus du Sautoy...
Science4All (français)
^^
Zarat Ustra a
C'est marrant j'aurais dit exactement le contraire... La mathématique est l'art de donner des noms différents à une même chose. À chaque fois que vous posez un "=", des deux côtés de l'égalité vous avez la même chose mais formulé différemment. Les mathématiques c'est faire alterner des "=" et des synonymes.
Mais peut-être que ma phrase est un isomorphisme de la phrase de Poincarré^^
50ème like
Louis de BREUUIIIIL 😭
faites pas genre je parie qu eje ne suis pas le seul qui ne savait pas qu'on disait la mathématique XD
C'était la première fois que j'entendais ça, mais je crois qu'on dit les deux.
!
Issou
Yatandaki
Luke Sky ataoy
c du chinois :(
Les notations des nombres complexes avec la partie réel et la partie imaginaire, et celle avec le module et l'argument sont elles des isomorfisme
oui ! Et tout ça c'est isomorphe au plan euclidien ;)
questions et réponses à mon sens un peu trop floues^^ Jojofifou demande si les "notations " sont isomorphes ... et toi, Science4All, (j'ai constaté que le tutoiement était standard^^) tu parles de "théories" isomorphes (à distinguer de la notion de "groupes" isomorphes, ou d'"anneau" isomorphes, d'"espaces topologiques" isomorphes, quailifiés d'homéomorphes, etc...) et je ne vois pas trop ce qui distingue dans ce cas restreint "isomorphes" de "équivalentes", même si je ne suis pas du tout logicien, donc ce n'est pas une critique, mais une vraie question. la critique s'il devait y en avoir une serait justement que tu n'aies pas trop défini ce que tu entends par isomorphisme en tous cas de façon pas assez claire selon moi pour que je me pose (ou te pose^^) cette question à propos des "théories isomorphes". Le terme "critique" que je viens d'employer est exagéré, car je trouve tes vidéos admirables, très claires, et justement à la fois accessibles et profondes, ce qui implique qu'on a forcément ça et là, des imprécisions nécessaires pour croître en profondeur, ou en champ de vision, etc... bravo à toi, et bravo pour ce travail impressionnant que tu réalises avec panache et passion!!