Mathematik-Olympiade Aufgabe 601245 (Mathe-Song)

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Songtext:
Diesem Song liegt eine Aufgabe der Mathe-Olympiade Bundesrunde
2021 für Klasse 11 und 12 zugrunde.
x, y und z sollen nicht negativ wer‘n
und wir bauen daraus folgenden Term:
Summiere 1 plus das Produkt aus zwei Variablen
Geteilt durch 1 plus das Quadrat der dritten Variable.
Dieser Term nimmt verschiedene Werte an.
Die Frage ist, wie klein er dabei werden kann.
Ich gebe zu: Das ist sehr frei formuliert,
Während die Aufgabenstellung das genauer präzisiert:
Man bestimme die größte reelle Zahl A
Mit der Eigenschaft: Diese Ungleichung ist immer wahr.
Da beispielsweise kein Bestandteil negativ ist,
Ist direkt klar, dass der ganze Term nicht negativ ist.
Mit Größer gleich Null haben wir eine wahre Aussage,
doch nach dem größtmöglichen A war ja die Frage,
denn natürlich bleibt das damit auch größer minus 2,
aber was ist denn mit 1, Wurzel 2 oder 3?
Wie weit kann man gehen, bis es grad noch funktioniert
und man die Abschätzung nach unten dieses Terms hier optimiert?
Das ist die Frage, die nun hier dahinter steckt
und dann schaut man einfach mal, was man da alles so entdeckt,
wenn man diesen Term betrachtet und ein bisschen was probiert
und dabei die Geduld nicht verliert.
Wie groß das hier ist - oder eben auch wie klein,
Sieht man wahrscheinlich am besten, setzt man konkrete Werte ein.
Sind alle Variablen immer 0, sind wir dabei,
Immer nur 1 zu addieren - also kommen wir auf 3.
Das heißt, unser A kann nicht größer als 3 sein,
denn sonst wäre unser Term bereits in diesem Fall zu klein.
Bisher können wir also insgesamt verbuchen:
Das A ist zwischen 0 und 3 zu suchen.
Das waren meine ersten Schritte und dann sah ich recht fix:
Ein Tausch der Variablen ändert am Ergebnis nix.
Also ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir
x, Ypsilon und z der Größe nach sortier’n und somit hier
verwenden: y und z sind größer gleich x,
Also ist der Term mindestens 1 - das ging fix.
Wir wissen also garantiert zweifelsfrei:
Das A liegt zwischen 1 und 3.
Wir hatten hier ja schonmal drei Nullen eingesetzt,
doch was passiert hier eigentlich, wenn man jetzt
das x beliebig lässt, denn da seh ich grad:
man kommt auf 2 plus 1 geteilt durch 1 plus x Quadrat.
Interessant, denn der letzte Term
kann für beliebig große x ja beliebig klein wer’n.
So kommt man beliebig nah an 2 heran,
sodass das A, was wir suchen, höchstens 2 sein kann.
Denn wäre A echt größer als 2, hätte man hier
ja die Ungleichung immer und insbesondere wenn wir
z und y 0 setzen und die 2 subtrahieren,
dann können wir daraus schon bald hier einen Widerspruch kreieren.
Denn: Dieser Term hier links ist echt kleiner als
1 durch x Quadrat, doch das ist A minus 2, falls
x geschickt gewählt wird und so machen wir das jetzt.
Dieser Teil ist fertig. Fetzt.
Erinnert ihr euch noch wie wir größer gleich 1 gezeigt haben?
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit konnte man sagen,
die Variablen wären allesamt der Größe nach sortiert
und wir hatten uns auf x als die kleinste konzentriert.
Doch schauen wir auf z als die größte der drei Variablen,
dann können wir in den ersten beiden Brüchen hier ja sagen:
z größer gleich y und z größer gleich x.
und wenn ich das jetzt hier verwende seh ich fix:
Der zweite Bruch ist Kehrwert des ersten. OK.
Die Form ist also t plus 1 durch t.
Das ist gut, denn wird t selbst klein,
muss der Kehrwert von t umso größer sein
und die beiden in Summe werden dann am kleinsten,
wenn sie wie eine Waage im Gleichgewicht beide 1 sind.
Somit gilt größer gleich 2 und es ist vorbei.
Das gesuchte A ist gleich 2.
Ich weiß, ich hab gesagt, es wär’ vorbei, doch
Es gibt ne zweite Teilaufgabe, wo man auch noch
die Variablen finden soll, wo hier Gleichheit steht,
doch da der dritte Summand positiv ist, geht
es niemals, die Gleichheit tatsächlich anzunehm’
und daher kann man diese Teilaufgabe ganz bequem
beantworten: Egal, ob groß oder klein.
Für keinerlei Zahlen stellt sich hier Gleichheit ein.
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