合成関数の微分【修正版】

高校教科書の定義の不備を埋める証明。
【参考図書】
杉浦光夫「解析入門1」
安田亨「数学3の微分積分の検定外教科書」
式変形チャンネルでは、いろいろな数学を勉強するために、毎日動画をアップしています。

[@bot-qk6hu]

鈴木貫太郎さんの動画を見てここに戻ってきた。このチャンネルは信頼メイツ

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録2周目👏80G"【 ボヤッと 霞に覆われてた所が スッキリ しました(神動画) 】
ありがとうございます。 以前の “ 貫太郎さんの動画 ” で、自分の合成関数公式の証明には、
不備がある と発表してましたが、何処がマズイのか🥺 僕には分からなかったからです ■

[@famifamifamifa]

ワイシャツが汚れてるようにしか見えない（笑）

[@odango-i1g]

証明において少し議論が不十分なところがありましたので, その部分を埋めた証明を載せさて頂きます.
定義.
Iを実数全体の集合の区間とし, a∈Iとする. I上で定義された実数値関数fが点aで微分可能であるとは, 極限
lim[h→0](f(a+h)-f(a))/h
が存在するときにいう. この極限をf'(a)で表し, fの点aにおける微分係数という. f'(a)は一意に定まることに注意する.
定理.
fを区間I上で定義された実数値関数とし, a∈Iとする. fが点aで微分可能であるための必要十分条件は, 次の(1),(2)を満たす実数値関数εと実数Aが存在することである.
(1)f(a+h)=f(a)+Ah+ε(h).
(2)lim[h→0]ε(h)/h=0.
ここで,(1)のhはa+h∈Iとなるような実数全体を動く. またこの同値条件が満たされるときA=f'(a)である.
(証明)
(必要性): A=f'(a), ε(h)=f(a+h)-f(a)-Ahとおけばよい.
(十分性): (1),(2)を満たす関数εと実数Aが与えられたとする. このとき
0=lim[h→0]ε(h)/h
=lim[h→0]{(f(a+h)-f(a))/h-A}.
よって
lim[h→0](f(a+h)-f(a))/h=A
である. これはfは点aで微分可能で, A=f'(a)であることを意味する. ◽︎
命題.
fを区間I上で定義された実数値関数とし, fは点aで微分可能であるとする. このときfはaで微分可能である.
(証明)
lim[h→0](f(a+h)-f(a))
=lim[h→0]{(f(a+h)-f(a))/h}h
=f'(a)・0=0. ◽︎
定理(合成関数の微分法).
fを区間I上で定義された実数値関数とし,
gを区間J上で定義された実数値関数とする. fは点x∈Iで微分可能で, f(I)⊂Jを満たすとし, gはy=f(x)で微分可能であるとする. このとき合成関数g⚪︎fは点xで微分可能で,
(g⚪︎f)'(x)=g'(f(x))f'(x)
が成り立つ.
(証明)
f,gの微分可能性から
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+ε(h),
g(y+k)=g(y)+g'(y)k+δ(k)
となる実数値関数ε,δが存在する(上の定理より). ここでh≠0, k≠0に対し
ε'(h)=ε(h)/h, δ'(k)=δ(k)/k
とおく.
lim[h→0]ε(h)/h=0, lim[k→0]δ(k)/k=0
であるから, ε'(0):=0, δ'(0):=0と定義すればε', δ’は0で連続となる. h≠0, k≠0のときは
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+ε'(h)h,
g(y+k)=g(y)+g'(y)k+δ'(k)k
であり, この2つの等式はh=0, k=0でも成り立つ. さて
k(h):=f(x+h)-f(x)
とおこう. このときfの点xにおける連続性(うの命題より)から, |h|を十分小さくとれば|k(h)|はいくらでも小さくできる. すなわち|h|が十分小さければy+k(h)∈Jとなる. ゆえに
g(y+k(h))
=g(y)+g'(y)k(h)+δ'(k(h))k(h)
=g(y)+g'(y)(f(x+h)-f(x))+δ'(k(h))k(h)
=g(y)+g'(y)(f'(x)h+ε'(h)h)+δ'(k(h))k(h)
=g(y)+g'(y)f'(x)h+{g'(y)ε'(h)h+δ'(k(h))k(h)}.
いま
g(y+k(h))=g(f(x)+f(x+h)-f(x))=g⚪︎f(x+h),
g(y)=g⚪︎f(x), g'(y)=g'(f(x))
であるから
g⚪︎f(x+h)=g⚪︎f(x)+g'(f(x))f'(x)h+ρ(h),
ρ(h):=g'(y)ε'(h)h+δ'(k(h))k(h).
である. ρ(h)/h→0(h→0)であることが示そう. ε', δ'は0で連続であり, k(h)もfの点xにおける連続性からh=0で連続である. 従って
g'(y)ε'(h), δ'(k(h))→0 (h→0)
である. また
k(h)/h=(f(x+h)-f(x))/h
より, ある定数M>0, r>0があって
0

[@G_sen_sei]

教えてくださり、ありがとうございます！今日中に証明を追ってみますね。
本当に感謝いたします！！

[@G_sen_sei]

ありがとうございます。記号の説明をしっかりと行なっていて参考になりました。より内容を精密化させたものを近いうちに作成したいとおもいます。
(3番目の命題の後半は「微分可能である」でなく「連続である」ですね。)

[@user-su5lu5jd4o]

すみませんが最後らへんの、lim[h→0]ρ(h)/h=0を示す時、ε',δ'は0で連続であるとかk(h)がh=0で連続である、とかいう記述はなぜあるんでしょうか....。h→0の時それらが0であることを示せばいい訳ですからh=0での値は特に影響のないような気がします....。誰か教えてください。