좀 더 수학적으로 fundamental한 얘길 하자면, 측지선은 원래 길이 개념 없이 정의됩니다. 다양체에서 미분하는데 필요한 미분구조와 접속만 주어져 있고(접속이 주어진 매끄러운 다양체) (semi)리만 메트릭이 주어지지 않은 곳, 즉, 길이 개념 자체가 없는곳에서 측지선이 정의됩니다. 따라서 측지선의 정의에는 최단거리라는 개념이 필요없습니다. 이는 당장 측지선 방정식만 봐도 알 수 있는데, 다양체 위의 곡선을 나타내는 기호들과 크리스토펠기호만 들어가있고, 크리스토펠 기호는 주어진 접속을 표현하는겁니다. 즉, 측지선은 기하학적 개념이라기보다는 미분"위상 topology"적인 개념입니다. 하지만, 리만메트릭과 그와 잘 맞는 레비치비타 접속까지 주어진 리만다양체에서 기하학을 한다면, 미분구조도 주어져있고, 리만메트릭을 고려한 레비치비타 "접속"이 있으므로, 이로부터 정의된 측지선은, 현재 접속이 리만메트릭을 고려하고있으므로, 자동으로 리만메트릭의 성질을 내포합니다. 따라서, 대부분의 경우에, 리만다양체에서 측지선은 두 점을 잇는 최단거리곡선"도" 됩니다.(하지만 언제나 그렇지는 않습니다.) 일반상대론에서 시공간은 휘어진 민코프스키 공간인 로런츠 다양체로 모델링하고, 로런츠 다양체는 semi-리만 메트릭이 주어진 semi-리만 다양체입니다. semi가 붙은 이유는, 로런츠 메트릭은 원래 리만메트릭의 성질에서 하나를 만족하지 않기 때문입니다. 허나, 리만 다양체에서의 수학이 로런츠 다양체에서도 대부분 같게 적용되므로, 일반상대론에서 입자의 운동 경로인 측지선에 semi-리만 메트릭과 관련된 개념도 들어가게 되는 겁니다. 그리고, 우리는 여기서 이 로런츠 다양체에서 수학을 하는것이 아니라, 로런츠 다양체를 이용해 일반상대론이란 물리학을 하고 싶습니다. 로런츠 다양체의 몇 가지 요소들은 일반상대론의 물리적 개념들과 연결 되어있으므로, 그 연결된 개념들을 이용해 다시 한 번 측지선에 "두 점을 잇는 최대 고유시간을 가지는 곡선"으로, 일반상대론에서의 의미를 부여할 수 있습니다.
![[Full] 나의 두 번째 교과서 - 과학 4강 양자역학과 상대성이론, 과학 천재들이 쌓아 올린 두 기둥](http://i.ytimg.com/vi/o3Co07MCU-Y/mqdefault.jpg)
좀 더 수학적으로 fundamental한 얘길 하자면, 측지선은 원래 길이 개념 없이 정의됩니다. 다양체에서 미분하는데 필요한 미분구조와 접속만 주어져 있고(접속이 주어진 매끄러운 다양체) (semi)리만 메트릭이 주어지지 않은 곳, 즉, 길이 개념 자체가 없는곳에서 측지선이 정의됩니다. 따라서 측지선의 정의에는 최단거리라는 개념이 필요없습니다.
이는 당장 측지선 방정식만 봐도 알 수 있는데, 다양체 위의 곡선을 나타내는 기호들과 크리스토펠기호만 들어가있고, 크리스토펠 기호는 주어진 접속을 표현하는겁니다.
즉, 측지선은 기하학적 개념이라기보다는 미분"위상 topology"적인 개념입니다.
하지만, 리만메트릭과 그와 잘 맞는 레비치비타 접속까지 주어진 리만다양체에서 기하학을 한다면, 미분구조도 주어져있고, 리만메트릭을 고려한 레비치비타 "접속"이 있으므로, 이로부터 정의된 측지선은, 현재 접속이 리만메트릭을 고려하고있으므로, 자동으로 리만메트릭의 성질을 내포합니다. 따라서, 대부분의 경우에, 리만다양체에서 측지선은 두 점을 잇는 최단거리곡선"도" 됩니다.(하지만 언제나 그렇지는 않습니다.)
일반상대론에서 시공간은 휘어진 민코프스키 공간인 로런츠 다양체로 모델링하고, 로런츠 다양체는 semi-리만 메트릭이 주어진 semi-리만 다양체입니다. semi가 붙은 이유는, 로런츠 메트릭은 원래 리만메트릭의 성질에서 하나를 만족하지 않기 때문입니다. 허나, 리만 다양체에서의 수학이 로런츠 다양체에서도 대부분 같게 적용되므로, 일반상대론에서 입자의 운동 경로인 측지선에 semi-리만 메트릭과 관련된 개념도 들어가게 되는 겁니다.
그리고, 우리는 여기서 이 로런츠 다양체에서 수학을 하는것이 아니라, 로런츠 다양체를 이용해 일반상대론이란 물리학을 하고 싶습니다. 로런츠 다양체의 몇 가지 요소들은 일반상대론의 물리적 개념들과 연결 되어있으므로, 그 연결된 개념들을 이용해 다시 한 번 측지선에 "두 점을 잇는 최대 고유시간을 가지는 곡선"으로, 일반상대론에서의 의미를 부여할 수 있습니다.