【无痛线代】向量内积背后，竟然藏着宇宙的对称性？

[@manshi_math]

感谢大家的反馈！回答几个频繁提到的问题：
0⃣️单位基底和自己内积等于1的依据是什么？硬要说就当一个公理吧！因为我们通常需要和自己内积等于长度平方
1⃣️为什么会有双重线性性和相对位置不变？其实这就是从物理中来的核心原因了。无论是做功、磁通量、光通等等，有一种相同的结构频繁出现：比如考虑用太阳能电池发电，发电的功率显然正比于电池板面积和光照强度，而且在功率限度以内，两道光独立的照在同一块板上的功率应该等于各自功率之和。(双重线性)这个功率跟板和光线的角度有关，但只要板和光线的相对方向一致，你的发电功率应该就是一样的。(相对位置，手性也相等)这类结构的运算频繁出现，需要将两个向量相乘，和数学当中的内积刚好照应。
2⃣️这里只是从一个既有的视角回顾去解释内积，并不代表数学史上真正发现内积的过程。
3⃣️叉乘只存在于三维空间，在一般的维度之内，定义良好的乘法只有乘出标量和乘出张量这两种。
4⃣️有一个问题问的很好，如果我们现在在抽象的意义上讨论内积的根基，又应该怎么定义基底的垂直呢？事实上在这里，最本质的存在是整个空间的结构(微分几何叫度规)，它有三种一体三面的表现方式：内积，夹角，距离。同一个向量跟自己内积就可以得到距离(平方)，距离代入余弦公式就可以得到夹角余弦，而如果是给定夹角，那么正交的基底就是天然给定的，所以三者等价。这个就挺抽象了，大家要是还听不懂之后再做视频吧

[@moregirl4585]

这里认为只差个系数的2a·b与a·b等价吧，认为a·a=|a|²方便点。双重线性性和相对位置不变，应该说需要一个这样运算的记号，然后叫做点积。

[@joe40173]

我會留言是因為我覺得，
明明內積最基本的由來，
就只是畢氏定理和餘弦定理(樞紐定理)的差異化研究，
而各分量乘積的總和這種寫法，
也只是對其圖形座標化所得到的必然結果，
既然是計算二種幾何圖形的差異指標數值，
自然就會繼承某些基本代數性質，
而某些特性無法繼承。
如此簡單的由來，
不應該倒果為因地認為，
是為了符合某些數學(物理)性質而故意設計的。

[@blackool-j8b]

最后一段确实没看懂🤣

[@damienintegralbrotherjohn352]

​@@joe40173 其實就是那個
「坐標化所得到的必然結果」
讓人感到不舒服跟不自然：Ｔ
我揣摩，當初那個提問者
在追求的是，
對於內積的公式，
是否有更為直觀、
更自然的看待方式，
讓我們能很直覺的能把
內積的那兩種計算方式
連結在一起，或看得出
是同一內涵的兩種表示？
如果你想說利用畢氏定理，
從「推導的過程中」就能「看得出來」
並帶我們看到如何更直觀、
直覺得看出，那沒問題；
但若只能說
是從「推導的結果」得出「必然」，
那我覺得是隔靴搔癢，
並沒有去回答到我們所感到不舒服，
跟很想獲得「直觀解釋」的那個點上：Ｐ
／／／／／／／／／／／／／／／
附帶一提，因此，
影片中提到的其乘積結果，
「只看相對位置」這特性，
我倒覺得點出來的滿好的。
因此，比起先定義內積是
（１）【兩向量長度
與其夾角的餘弦值的乘積】
（或
【一向量投影至另一向量
之兩者的有向長度之乘積】），
再去談
（２）
內積是【同分量乘積之和】；
影片中的角度，反而是從
【同樣相對位置】的需求，
直接引入【線性】的特性，
並且自然而然地去動用到
「向量空間」在「運算」中
的【分配律】跟【結合律】。
（以及影片一開始提到的，
非常自然的【向量的加法分解】）
先以【分配律】跟【結合律】
以及【向量加法】的自然分解，
自然推出
內積是【４種分量乘積之和】，
再獨立出來討論
【互相垂直的兩分量乘積為０】，
（因「同樣相對位置之兩向量之乘積，結果需相同」）
才自然留下
［１］內積是【同分量乘積之和】；
接著再同樣依
「同樣相對位置」的特性，
論斷說
［２］內積也是【兩向量長度
與其夾角的餘弦值的乘積】
的這結論，
也只不過是
將那兩個向量，
當要先給它們用加法分解時，
所用的一種特例的分解方法罷了。
（--也就是
直接挑其中一向量，
延著「與其平行」
以及「與其垂直」
的兩方向來分解，
再行【分配律】那些去展開。）

[@joe40173]

@damienintegralbrotherjohn352 但你真的有認認真真的將餘弦定理放在座標平面上證明過嗎？放上去之後其最末項本來就會“自然地”變成各分量的乘積之總和的型態的呀～
然後，我認為對內積硬要解釋成因為要符合分配律才設計成這樣運算的話，那幹嘛不連封閉性與結合律也一起設計進去呢？
最後，如果示性指標數值都是可以靠自己設計的話，那幹嘛不把分貝數跟PH值都設計成可以加減與分配律呢？
忘記說，補一下。
所謂的“直觀”，其實就是符合自己的經驗法則的事物，但目前大部分人都是依靠學院教育學習，基本的學習經驗都是靠特異化或者說簡單化之後的教材所學習而來，所以越往後學越會出現更多不“直觀”的東西，比如所有的示性數都是抽象代數化的結果，根本就不可能符合體集合與運算，難道這些都要強制的說“我們是故意設計成這樣”？破壞“直觀”而尊從客觀難道不是科學分析的第一步嗎？

[@PassersbyC]

數學對我來說很特別 只要是學習就不想接觸 但看到這種影片卻想點進來

[@rulelin6851]

可以做一集 斐波那契数（意大利语：Numero di Fibonacci），又譯為菲波拿契數、菲波那西數、斐氏數、黃金分割數、費氏數列。 ？謝謝

[@小小路人-w5w]

昨天地震 被震到睡不著剛好這數學可以幫助我入眠

[@夜風-v2h]

昨天我同學因為地震而今天要上國中會考寒輔12點才來
正好我殼已給他看這個

[@qijunlu713]

地震如果知道也会被你们感动到

[@N強]

我是個小學生，十分喜歡你的影片，不過有一些專有名詞看不懂，希望可以解釋的更加好理解

[@LatticeMage]

請AI幫忙解釋如何?

[@N強]

@ oi!好方法啊！感謝！

[@郭智允]

更新啦！不知道會不會聊到內積空間跟各種不同的線性空間，先跟漫士拜個早年啦🎉

[@Dongmianhua]

不仅在数学上深受震撼，也非常好奇这个动画是什么工具做的。真的很厉害👍

[@LatticeMage]

python

[@蔡秉諺-f5g]

7:56 反過來說，將正交的等於1，平行的等於0，就可以得到另一種向量乘法。

[@moregirl4585]

规定a×b=-b×a，可以得出同方向×乘结果为0

[@damienintegralbrotherjohn352]

所以在「內積」跟「外積」這兩概念，
都會用「平行有效」跟「垂直有效」
來一起整理對照。
物理上的例子，
則會分別用「作功」跟「力矩」，
來帶出它們顯現的方式。

[@user-gn7vw1kl9sSW]

7:11 。正交, 垂直, 三垂線定理。

[@alexanderchen9095]

感觉还是不够深入本质。我们知道，向量的线性运算有内积和外积两种，你说的这个也适用于外积。但是外积和内积的区别到底是什么，为啥要定义成两种？还有，有线性向量，是不是也存在非线性向量，那非线性向量里，内积外积的运算呢？是不是像计算曲线那样用微积分的方法来处理呢？

[@alexanderchen9095]

我个人的理解，内积就是反映向量之间相关性的一种数量关系，而外积是反映向量之间正交性(或者说独立性)的一种数量关系

[@cubing7276]

外积跟内积最重要的区别是在翻转后，内积不变，而外积没有这种规定，所以翻转后可以推到正交的向量的内积为0，而外积只知道变负（电磁学实验也证明了这一点）
其实内积和外积本质上是三维几何代数（几何代数是一个词）推出来的，有兴趣可以看看

[@Eric-di9sh]

嗯，外積只能在三維空間，內積任意維度都行

[@Eric-di9sh]

那我只能說你理解有誤，從歷史的角度看起初內外積是地位相當的，都是用於服務物理學，但之後數學家發現外積是個很沒用的東西，因為它只能在三維使用，而內積的各種漂亮性質使數學家開始研究和發展，而博主說的就單指內積，如果你認為外積符合這些條件那一定是你的問題，外積找公垂向量怎麼可能只和兩向量的相對位置有關。

[@王司徒-g8r]

alternating product能解答你的問題

[@Ouo-f2u]

7:10 hint: "正交" 非嚴謹來說就是 "垂直"

[@陳-i3k]

但這句話在數學上是有瑕疵的

[@Ouo-f2u]

@@陳-i3k 我知道，但對於沒讀過內積這部分的人，這樣最容易明白正交這個名詞 xD

[@johnnydeng3488]

@@Ouo-f2u 我在美国读大学的时候，也是说orthogonal（正交）比较多，其实就是垂直perpendicular，暂时没有统一说法

[@user-qs3ih3ll5f]

講正交不講垂直的原因大概是因為，如果今天向量空間不是歐氏空間，而是函數空間或多項式空間，講兩個函數垂直很absurd ，因為函數怎麼會有方向？但如果這兩個函數的內積為0，我們可以說這兩個函數正交。所以正交就是廣義向量空間的垂直

[@user-gn7vw1kl9sSW]

7:10 。正交和垂直，是不同的用法。比如：空間中的，三垂線定理。

[@doge7562]

太優雅了

[@jianingzhuang104]

证明正交向量内积为零那段怎么感觉怪怪的？“a和b的相对位置关系”跟“a和-b的相对位置关系”能是一样的？

[@w984w725]

我看不懂，我在努力看懂！

[@joe40173]

問題是，
在代數論中，
分配律並不是可公理化的。
ps.如果只學線代而沒學過代數，
確實是很容易覺得分配律公理化是很理所當然的，
畢竟線代是從半環開始學，
而沒學過群論。

[@ct---cp8li]

漫士 我最近在學微積分有一點我一直想不通
課本上也沒有老師也不會
哪些積分有解析解哪些沒有

[@LatticeMage]

簡單說，已經被人類推導出來的就是有解析解
還沒人有推出來的就沒有

[@ct---cp8li]

@@LatticeMage 我的意思是我們如何證明某些特定積分沒有解析解? 我有一個方法，首先創建一個“解析函數集”，稱為集合A，然後我們把該集合中所有元素的導數放入另一個集合，稱為集合B，然後我們可以嘗試分析集合B，看看有什麼樣的函數沒有解析解

[@ct---cp8li]

@ 集合A是一個群?

[@LatticeMage]

很多東西是無法知道的，建議看漫士自然數實數整數不可數那個系列

[@yuqianye5191]

内积的定义不具有唯一性

[@user-stevenlin123]

一定是因為沒有五層理解，所以得再重看幾次才有機會懂

[@Ruhgtfo]

有聽 沒懂 又是拓撲學的嗯。沒關係了。實際上都是用 Quaternion
拆解的。

[@ratchetlin]

這真的amazing阿！

[@夜風-v2h]

原來是看畢導的

[@ru8bj6]

太屌了，我居然可以看到用內積證明餘弦公式，感覺要長腦子了

[@popcatnotඩා]

我只能說
要是數學課能上這些東就好了

[@Feinike]

數學課上的：坐標空間中有三個彼此互相垂直之向量u,v,w ， 已知u - v=（2,-1,0），且v - w=（-1,2,3）。試問由u,v,w所張出的平行六面體之體積為何？（向量符號自己腦補）

[@會寫程式的羊]

@@Feinike ???

[@picupnew]

​@@Feinike三個都是正交，點積 出來都是0了，忘記平行六面體怎麼算了，香港M2早幾年砍了

[@GPTCat-i3i]

@@Feinike 今年學測考的

[@王司徒-g8r]

到大學數學課就會上這些了，不過會嚴謹而且一般化很多

[@tongyizheng4289]

我感觉也并非严格唯一的，毕竟basis不一定是归一化了的。

[@moregirl4585]

这里认为只差个系数的2a·b与a·b等价吧

[@kuge5694]

但是basis不影響向量本身，只是一種perspective
且所有basis都可以正交化不是嗎🤔

[@chauchristopher2016]

找到阿基米德的「不動點」是非常重要呀 !

[@WDX2738]

可惡 要是早個10年看到這個 在我還在升大學補習班當老師的時候就可以用來唬爛那些超資優的國中生了

[@郁晨周]

原來叉乘和外積不一樣嗎

[@特務PPPPPPPPPP]

一樣的吧

[@brendanfan3245]

线性代数的本质是对基的操作,,

[@leimai7611]

光看到符號就矇了, 先解釋下符號