Da habe ich zwei Fragen: 1. Ich dachte immer "Kollinearität" bedeutet, dass 2 Punkte auf der gleichen Geraden liegen. Das würde ja für 2 Vektoren bedeuten, dass man eine Gerade zeichnen könnte, die auf beiden Vektoren liegt. Aber du meintest ja, dass Kollinearität mit Parallelität verbunden ist. 2 Vektoren können ja auch parallel zueinander sein, wenn man keine Linie durch beide ziehen könnte. Die Vektoren können ja unterschiedliche Startpunkte haben und dennoch parallel sein. Deswegen meine Frage: Hat das Wort "Kollinearität" etwa eine andere Bedeutung, wenn es um Vektoren geht? und 2. Du meintest ja, damit 3 Vektoren komplanar sind, muss ein Vektor die Linearkombination der anderen beiden sein. Aber ich habe gelernt, dass die Komplanarität davon abhängt, ob man mit der Linearkombination aller drei Vektoren den Nullvektor bilden kann. Deswegen: Gibt es etwa zwei Wege, um die Komplanarität zu überprüfen?
Lieber Leon, vielen Dank für deine interessanten Fragen! Zu 1.: Vektoren, die kollinear sind, zeigen in die gleiche Richtung (oder in die genau entgegengesetzte), so dass einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Auch, wenn 2 Vektoren auf einer Geraden liegen, erfüllen sie dieses Kriterium! Sie müssen ja auf jeden Fall in die gleiche Richtung (oder die entgegengesetzte) zeigen, damit sie auf einer Geraden liegen können. Damit ist der von dir genannte Fall ein Spezialfall der Kollinearität! Auch dann sind die Vektoren kollinear, aber halt auch, wenn die Vektoren echt parallel zueinander stehen. Zu 2. Beide Wege tun dasselbe. Du kannst mit Vektoren in Gleichungen ja ebenfalls ganz normal mit Äquivalenzumformungen rechnen, so wie in Gleichungen auch. Beispiel dazu: Wir nennen die Vektoren x, y und z. Dann gilt nach deiner Definition: r*x + s*y + t*z = 0. Wenn ich nun auf beiden Seiten (an die Gleichung denken!) t*z subtrahiere, ergibt sich: r*x + s*y = -t*z. Jetzt könnte man beide Seiten durch (-t) dividieren, so dass r und s jeweils nochmal durch (-t) geteilt werden: (r/-t) *x + (s/-t) * y = z. Dadurch, dass r, s und t ja Zahlen sind, die wir bestimmen müssen, stört uns die Division durch (-t) gar nicht. Und was wir hier nun haben ist der im Video dargestellte Lösungsweg: Eine Linearkombination aus zwei Vektoren ergibt den dritten :-) Beide Wege sind also gleichwertig und tun im Prinzip auch genau das gleiche! Nur haben wir die Gleichung bei dem Weg im Video umgeformt. Ich hoffe, ich konnte es gut erklären! Ich denke, ich mache zu beiden Fragen nochmal je ein kurzes Video, da es wirklich sehr interessante Fragen sind! Vielen Dank fürs Nachfragen :-) Liebe Grüße 🙋♀️
Super verständlich erklärt. Vielen Dank!
Das freut mich! Vielen Dank für das Feedback!
Vielen Dank für dieses Video! Sehr gut erklärt! 🥰👍🏻
Das freut mich sehr, dass es dir geholfen hat :-)
Da habe ich zwei Fragen:
1. Ich dachte immer "Kollinearität" bedeutet, dass 2 Punkte auf der gleichen Geraden liegen. Das würde ja für 2 Vektoren bedeuten, dass man eine Gerade zeichnen könnte, die auf beiden Vektoren liegt. Aber du meintest ja, dass Kollinearität mit Parallelität verbunden ist. 2 Vektoren können ja auch parallel zueinander sein, wenn man keine Linie durch beide ziehen könnte. Die Vektoren können ja unterschiedliche Startpunkte haben und dennoch parallel sein. Deswegen meine Frage: Hat das Wort "Kollinearität" etwa eine andere Bedeutung, wenn es um Vektoren geht?
und
2. Du meintest ja, damit 3 Vektoren komplanar sind, muss ein Vektor die Linearkombination der anderen beiden sein. Aber ich habe gelernt, dass die Komplanarität davon abhängt, ob man mit der Linearkombination aller drei Vektoren den Nullvektor bilden kann.
Deswegen: Gibt es etwa zwei Wege, um die Komplanarität zu überprüfen?
Lieber Leon,
vielen Dank für deine interessanten Fragen!
Zu 1.: Vektoren, die kollinear sind, zeigen in die gleiche Richtung (oder in die genau entgegengesetzte), so dass einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Auch, wenn 2 Vektoren auf einer Geraden liegen, erfüllen sie dieses Kriterium! Sie müssen ja auf jeden Fall in die gleiche Richtung (oder die entgegengesetzte) zeigen, damit sie auf einer Geraden liegen können. Damit ist der von dir genannte Fall ein Spezialfall der Kollinearität! Auch dann sind die Vektoren kollinear, aber halt auch, wenn die Vektoren echt parallel zueinander stehen.
Zu 2. Beide Wege tun dasselbe. Du kannst mit Vektoren in Gleichungen ja ebenfalls ganz normal mit Äquivalenzumformungen rechnen, so wie in Gleichungen auch. Beispiel dazu: Wir nennen die Vektoren x, y und z. Dann gilt nach deiner Definition: r*x + s*y + t*z = 0. Wenn ich nun auf beiden Seiten (an die Gleichung denken!) t*z subtrahiere, ergibt sich: r*x + s*y = -t*z. Jetzt könnte man beide Seiten durch (-t) dividieren, so dass r und s jeweils nochmal durch (-t) geteilt werden: (r/-t) *x + (s/-t) * y = z. Dadurch, dass r, s und t ja Zahlen sind, die wir bestimmen müssen, stört uns die Division durch (-t) gar nicht. Und was wir hier nun haben ist der im Video dargestellte Lösungsweg: Eine Linearkombination aus zwei Vektoren ergibt den dritten :-) Beide Wege sind also gleichwertig und tun im Prinzip auch genau das gleiche! Nur haben wir die Gleichung bei dem Weg im Video umgeformt.
Ich hoffe, ich konnte es gut erklären! Ich denke, ich mache zu beiden Fragen nochmal je ein kurzes Video, da es wirklich sehr interessante Fragen sind! Vielen Dank fürs Nachfragen :-)
Liebe Grüße 🙋♀️