Hello! Dans cette nouvelle vidéo un on étudie comment gérer un grand nombre d'inégalité : il suffit de poser une fonction ! On évoque en fait très discrètement l'approximation des fonctions classiques par des polynômes... mais chut tout cela est traité en prépa 😉 Dites moi en commentaires si vous avez des questions !
Plutôt que de dériver pour prouver l'inégalité, on peut partir dans l'autre sens et intégrer. On démontre sur R+ puis on conclut immédiatement sur R par parité. On a cos(t)
J’vais rentrer un terminale spé math, j’ai eu un peu de mal à suivre et à tout comprendre mais j’ai trouvé la démarche très intéressante à suivre ! Merci 😁
@@itachisama428 en seconde tu devras choisir 3 spécialités à la fin de l'année, c'est à toi de décider les matières que tu étudieras : maths, pc, svt, nsi, si, ses, ..,etc. Tu peux trouver la liste des spécialités sur internet
Plein de commentaires intéressants qui vont plus loin ! Mais aux élèves préparant la rentrée le plus important ici c'est la méthode de démonstration d'une égalité
On peut montrer que sinx < x pour x > 0 par concavité du sin sur [0,pi/2] et ensuite conclure pour x > pi/2. Finalement on peut montrer que sinx>x pour x < 0 en multipliant l'inégalité ci-dessus par -1 pour ensuite utiliser l'imparite de sin
C’est au programme! Mais l’été je me disais que je me concentrais sur de la transition terminale sup. Certains seront des classiques de sup d’ailleurs.
C'est quand même beau le hasard vous avez exactement donné le termes d'après quand on tape cos sous forme polynomiale, vous avez sûrement du vous renseigner avant la vidéo, (pour ceux que ça intéresse c'est avec la formule de Taylor Lagrange que l'on voit en année de sup, plutôt tard dans l'année)
Et si on repart de la somme qui permet de définir le cos(x) sa série entière quoi on pourrait prouver l inégalité on est d accord ? (Bien sûr c est juste pour pousser la chose un peu plus loin en "pratique " pas besoin de ça
Si l'on construit le sinus de manière géométrique, il est uniquement nécessaire d'avoir lim x->0 sinx/x =1. Donc non l'inégalité n'est pas nécessaire. De plus on ne se soucie pas au niveau de la terminale de la construction rigoureuse des fonctions sin et cos. Cette construction vient en effet en maths spé (càd 2 ans post-bac)
Je me demande s'il n'était pas possible d'intégrer la fonction initiale. On obtient F(x) = (x^3 / 6) - x + sin x + C. On voit bien que F est croissante sur R ce qui implique que f est positive pour tout x réel
Je suis pas sur … en effet il faudrait que tu demontres que chacun des termes est croissant. Or x^3 fzcile x tres fzcile mais pour sin x ce n est pas le cas, il oscile entre 1 et -1. Donc faudrait prendre x^3/6 + sin x peut etre et montrer que ca c est croissant. Et op miracle x - x^3/6 tu retombes sur le DL de sin x … donc au final tu fais un exo identique mais avec l inegalite de sin vis a vis de son dl. (Ca pourrait etre une question 2 dans cet exo qui serait tres interessante pour voir si l eleve arrive a faire le lien entre les deux). Mais pour repondre je pense pas que ce soit plus simple.
@@rogerraoul4721 Je viens de finir mon année de Terminale et je me demande ce que tu appelles le DL (j'ai vu d'autres commentaires parler de ça donc je me demandais à quoi ça correspond) En tout cas merci de ta réponse ;)
@@paperyka8160 ah. Alors un dl c est une aproximation d une fonction par un polynome. Cette approximation est valable seulement autour d une valeur ou a l infini. Par exemple dans la video il trace cos x et la fonction et on s apercoit qu autour de 0 les deux fonctions se « collent ». Donc la fonction est le developement limité (dl) de cos x autour de 0. Si tu fais des etudes de maths tu les verras d ici 2 ans.
Merci pour cette vidéo ! Attention il y a une petite erreur : le signe (-) de f' est manquant dans la factorisation, même si ça ne change rien au résultat ^^
Si je dis pas de bêtises, dans ce cas, il faut justifier que l’ensemble des valeurs qui annule la dérivée (qui nous intéresse) est formé de valeurs isolées (les « zéros » sont espacés les uns des autres) et que pour toutes les autres valeurs, la dérivée est strictement positive
Non les DL c’est uniquement du local. Cela ne permet pas d’etablir une propriété globale. D’ailleurs en vrai, en dehors d’être pratique pour lever des indéterminations dans les limites, les DL ce n’est pas super utile, c’est comme les criteres de convergence des series c’est un truc de taupin qui ne suffit jamais à resoudre un vrai problème. Un bon conseil pour l’analyse d’un ex khôlleur en MP. Il faut majorer minorer approcher (avec des epsilon) et bien reflechir à si on fait du global ou du local. Bref comprendre ce que l’on fait et prendre du recul, c’est ca qui est dur en prepa. Il n’y a pas de magie en mathématiques
Parce qu'on peut développer la fonction cosinus en série entière et le terme x^4/24 apparait dans ce développement en série entière. Un développement en série entière n'est pas un développement limité. Cos(x)=somme de n=0 à l'infini de (-1)^n*x^(2n)/(2n)! Cette égalité est vraie pour tout x réel (tout x complexe) le ! indique une factorielle.
@@guilhemmorel2004 Si ce que vous appelez Taylor-Young est la formule où apparait une fonction epsilon multipliée par une puissance de x (ou de (x-a) suivant la valeur prise pour le développement) alors même avec cette formule on ne peut pas. On ne sait rien sur le signe de cette fonction epsilon pour toutes les valeurs de l'intervalle où l'égalité est valide. Ici dans l'exercice qui nous intéresse on a besoin d'estimer le signe de l'erreur commise quand on remplace cosx par un polynôme censé l'approcher.
@@guilhemmorel2004 Ce qui pourrait fonctionner est si on a une représentation de l'erreur commise par une intégrale. Dans ce cas, le reste est un truc précis sur lequel on peut travailler. Dans notre exercice on peut utiliser cette méthode à condition de savoir ce qu'est une intégration par parties.
@richard heirivile. En effet, j’ai expliqué plus haut cette histoire de DSE et la methode d’estimation ou de calcul de la queue d’une serie par une integrale mais comme en classe les eleves qui n’ecoutent pas, ici beaucoup d’intervenants ne lisent pas. Pourquoi se casser les pieds à essayer d’ecouter les conseils de quelqu’un dont c’est le metier? Bref. Ici on est face à une inégalité de convexité d’où l’utilisation de la dérivée seconde d’ailleurs.
Il est super intéressant mais dur! Ne pas y arriver est normal mais ça vaut le coup de s’y tester et de checker des corrigés et explications si tu en trouves (par exemple les quelques uns sur cette chaîne 😁). Il n’existe pas de corrigé en pdf à ma connaissance. Je vais essayer d’en faire un échantillon pendant l’été de mon côté ;)
@@Marneus_Calgar Ce n'est pas inutile quand on les applique à bon escient. Dans le cas de l'exercice proposé cela ne sert à rien du tout pour le résoudre.
@@richardheiville937 ah mais on est d'accord, c'était juste une référence au fait que depuis que j'ai étudié ça, j'ai l'impression d'en voir partout, rien de plus
Bah non tu dis pas n'importe quoi, tu fais juste un développement limité à l'ordre 4, on peut même avec un DSE la confondre complètement sur R, il suffit de pousser les termes à l'infini ...
![Noob To Max With DRAGON REWORK In Blox Fruits [FULL MOVIE]](http://i.ytimg.com/vi/LnBMOinoOvA/mqdefault.jpg)
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Hello! Dans cette nouvelle vidéo un on étudie comment gérer un grand nombre d'inégalité : il suffit de poser une fonction ! On évoque en fait très discrètement l'approximation des fonctions classiques par des polynômes... mais chut tout cela est traité en prépa 😉 Dites moi en commentaires si vous avez des questions !
J’aime bieb le « en rajoutant x4/24… enfin je dis n importe quoi » tout en sachant pertinement que tu viens de donner le dl 😂
Ha-hem ! 😅
J'avais pensé au dl d'ailleurs
vous avez vraiment une belle maniere de gerer et de faire passer les explications
Merci ça fait plaisir!
Plutôt que de dériver pour prouver l'inégalité, on peut partir dans l'autre sens et intégrer. On démontre sur R+ puis on conclut immédiatement sur R par parité. On a cos(t)
J’vais rentrer un terminale spé math, j’ai eu un peu de mal à suivre et à tout comprendre mais j’ai trouvé la démarche très intéressante à suivre ! Merci 😁
👍 merci ! La démarche générale de « poser une fonction » est le plus important
Moi jsuis en seconde et jme demanger comme ils ont retiré les filières s es L , ces quel option pour spe math quel matière ?
@@itachisama428 en seconde tu devras choisir 3 spécialités à la fin de l'année, c'est à toi de décider les matières que tu étudieras : maths, pc, svt, nsi, si, ses, ..,etc. Tu peux trouver la liste des spécialités sur internet
La même mais c pas compliqué honnêtement, ya de ses vidéos où c plus corsé
excellente explication, + de vidéo terminale-> sup svp 🙏
C’est en cours! 😊
Plein de commentaires intéressants qui vont plus loin ! Mais aux élèves préparant la rentrée le plus important ici c'est la méthode de démonstration d'une égalité
magnifique youtubeur
Magnifique spectateur 😄🙏
Hello ! peut on calculer une primtive de la fonction posée et montrer qu'elle ( la fonction) est positive ou nulle ?
Hyper instructif merci beaucoup !!
Merci à toi !
A partir de f seconde positive on a f convexe donc f au dessus de sa tangente en 0 qui est 0 et conclut le raisonnement
L'inégalité de Taylor Lagrange demontre le résultat plus rapidement quand même, mais bon c'est un entrenement classique de terminale sinon
Je l'ai fait !
On peut montrer que sinx < x pour x > 0 par concavité du sin sur [0,pi/2] et ensuite conclure pour x > pi/2. Finalement on peut montrer que sinx>x pour x < 0 en multipliant l'inégalité ci-dessus par -1 pour ensuite utiliser l'imparite de sin
Trop bien et grave chillax
Merci! 😄
Se serait bien de faire des vidéos dédiées prépa
This
C’est au programme! Mais l’été je me disais que je me concentrais sur de la transition terminale sup. Certains seront des classiques de sup d’ailleurs.
Super ! Merci, même deux ans après
Merci !
C'est quand même beau le hasard vous avez exactement donné le termes d'après quand on tape cos sous forme polynomiale, vous avez sûrement du vous renseigner avant la vidéo, (pour ceux que ça intéresse c'est avec la formule de Taylor Lagrange que l'on voit en année de sup, plutôt tard dans l'année)
Well…😅
@Infinity Sauf qu'un développement limité ne permet pas de déduire une inégalité valable pour toute valeur d'un intervalle.
On pourrait le prouver avec les dvp limite ?
Un développement limité n'est vrai qu'en 1 point, la l'inégalité est vrai sur un certain intervalle...
L’approximation proche de 0 oui. Si tu veux là on étudie la différence entre cos et son DL, mais sur tout R
Et si on repart de la somme qui permet de définir le cos(x) sa série entière quoi on pourrait prouver l inégalité on est d accord ? (Bien sûr c est juste pour pousser la chose un peu plus loin en "pratique " pas besoin de ça
@@oscardi9976 la oui et si c'est utile car ca se fait en 1 ligne du coup.
Cos est analytique donc on peut utiliser son DSE
Mais 1-x^2/2 c’est pas le polynôme de Taylor de degrés 2 de cosinus ?
Mais si 😄
Oui mais il veut pas le dire, c'est au programme de prépa ^^
@@italixgaming915 c quoi ce polynôme ?
@@ulmeuse6287 la fonction cosinus peut être décrite par un polynôme infini. Je te conseille de te renseigner sur les séries de Taylor
@@italixgaming915 chute du niveau oblige. Dans quelques années ça sera un sujet de thèse !
On s approche d un développement limité en 0 ?
Ouais merci sympa ces exos
De rien!
L'outil des développements limités sert à calculer des limites de fonctions. Ici, on ne cherche pas à calculer une limite.
Vous utilisez le fait que la dérivée de la fonction sinus est cosinus pour prouver l'inégalité sin(x)
Si l'on construit le sinus de manière géométrique, il est uniquement nécessaire d'avoir lim x->0 sinx/x =1. Donc non l'inégalité n'est pas nécessaire. De plus on ne se soucie pas au niveau de la terminale de la construction rigoureuse des fonctions sin et cos. Cette construction vient en effet en maths spé (càd 2 ans post-bac)
@@thomasmartinelli4440 Merci de votre réponse !
Je me demande s'il n'était pas possible d'intégrer la fonction initiale. On obtient F(x) = (x^3 / 6) - x + sin x + C. On voit bien que F est croissante sur R ce qui implique que f est positive pour tout x réel
Je suis pas sur … en effet il faudrait que tu demontres que chacun des termes est croissant. Or x^3 fzcile x tres fzcile mais pour sin x ce n est pas le cas, il oscile entre 1 et -1. Donc faudrait prendre x^3/6 + sin x peut etre et montrer que ca c est croissant. Et op miracle x - x^3/6 tu retombes sur le DL de sin x … donc au final tu fais un exo identique mais avec l inegalite de sin vis a vis de son dl. (Ca pourrait etre une question 2 dans cet exo qui serait tres interessante pour voir si l eleve arrive a faire le lien entre les deux). Mais pour repondre je pense pas que ce soit plus simple.
@@rogerraoul4721 Je viens de finir mon année de Terminale et je me demande ce que tu appelles le DL (j'ai vu d'autres commentaires parler de ça donc je me demandais à quoi ça correspond) En tout cas merci de ta réponse ;)
@@paperyka8160 ah. Alors un dl c est une aproximation d une fonction par un polynome. Cette approximation est valable seulement autour d une valeur ou a l infini. Par exemple dans la video il trace cos x et la fonction et on s apercoit qu autour de 0 les deux fonctions se « collent ». Donc la fonction est le developement limité (dl) de cos x autour de 0. Si tu fais des etudes de maths tu les verras d ici 2 ans.
On voit pas bien que c’est croissant non, ça me semble même assez dur à montrer
Merci pour cette vidéo !
Attention il y a une petite erreur : le signe (-) de f' est manquant dans la factorisation, même si ça ne change rien au résultat ^^
Merci !
Comment justifier la croissance stricte ? Et non la croissance tout court ?
Si je dis pas de bêtises, dans ce cas, il faut justifier que l’ensemble des valeurs qui annule la dérivée (qui nous intéresse) est formé de valeurs isolées (les « zéros » sont espacés les uns des autres) et que pour toutes les autres valeurs, la dérivée est strictement positive
@@goblin5003 Oui. Il faut pas d'intervalle, non réduit à un point, ou la dérivée est nulle.
Quand vous dites exo de prépa c’est seulement pour les Mpsi ou les Pcsi aussi ?
Les deux!
C'est aussi valable pour les BCPST et les écos par ailleurs
À la fin c'était la formule de développements limités pour sinx si j'ai bien capté ?
Pas exactement 😉
Attends je viens de prouver que x-x^3/6=
Content si ça peut aider 😅
j'ai réussi l'exo tout seul mais je l'ai trouvé plus facile que le concours G c'est normal ?
J'adore
Sinon il faut savoir que sin(x) = 1-x²/2.
Excellent! J’adore aussi 😊
sin(x)
@@goblin5003 En effet, je suis allé un peu vite de tête ^^
En attendant les Développements limités
Yes!
Non les DL c’est uniquement du local.
Cela ne permet pas d’etablir une propriété globale. D’ailleurs en vrai, en dehors d’être pratique pour lever des indéterminations dans les limites, les DL ce n’est pas super utile, c’est comme les criteres de convergence des series c’est un truc de taupin qui ne suffit jamais à resoudre un vrai problème.
Un bon conseil pour l’analyse d’un ex khôlleur en MP. Il faut majorer minorer approcher (avec des epsilon) et bien reflechir à si on fait du global ou du local.
Bref comprendre ce que l’on fait et prendre du recul, c’est ca qui est dur en prepa.
Il n’y a pas de magie en mathématiques
Sinon un développement de taylor avec reste intégral
donc si je comprend bien les solutions sont - infini ; +infini
Oui c’est toujours vrai!
alors comme les deux sont paires , on peut commencer par dire que le cas x>0 suffit ce qui fait deux fois moins de boulot pour le tableau ;)
Oui excellent !
Pourquoi tu as pensé à ajouter x^4/24 pour les rendre (((plus confondues)))
C’est une notion de sup on peut approcher des fonctions de plus en plus par des polynômes de degrés de plus en plus élevés! ;)
Il a parlé du développement limité qui est une somme Infini de polynôme pour permettre d'approximer une fonction à un voisinage
Parce qu'on peut développer la fonction cosinus en série entière et le terme x^4/24 apparait dans ce développement en série entière. Un développement en série entière n'est pas un développement limité.
Cos(x)=somme de n=0 à l'infini de (-1)^n*x^(2n)/(2n)! Cette égalité est vraie pour tout x réel (tout x complexe) le ! indique une factorielle.
"On pourrait rajouter, au hasard, je sais pas, x^4/24, au hasard hein je dis n'importe quoi...." hmm hmm
;)
Ce n'est pas très compliqué de démontrer l'approximation dont vous parlez quand on sait ce qu'est une intégration par parties.
Lesgooooo
J’aime cette motivation 😄
Et quand on est en prépa on a les série de Taylor et s'est évident... 😂
Yes 😁
Avec les équivalents ça devient plus facile
Un équivalent ne permet pas d'avoir une telle inégalité valable sur un intervalle.
@@richardheiville937 même avec Taylor young ?
@@guilhemmorel2004 Si ce que vous appelez Taylor-Young est la formule où apparait une fonction epsilon multipliée par une puissance de x (ou de (x-a) suivant la valeur prise pour le développement) alors même avec cette formule on ne peut pas. On ne sait rien sur le signe de cette fonction epsilon pour toutes les valeurs de l'intervalle où l'égalité est valide. Ici dans l'exercice qui nous intéresse on a besoin d'estimer le signe de l'erreur commise quand on remplace cosx par un polynôme censé l'approcher.
@@guilhemmorel2004 Ce qui pourrait fonctionner est si on a une représentation de l'erreur commise par une intégrale. Dans ce cas, le reste est un truc précis sur lequel on peut travailler. Dans notre exercice on peut utiliser cette méthode à condition de savoir ce qu'est une intégration par parties.
@richard heirivile.
En effet, j’ai expliqué plus haut cette histoire de DSE et la methode d’estimation ou de calcul de la queue d’une serie par une integrale mais comme en classe les eleves qui n’ecoutent pas, ici beaucoup d’intervenants ne lisent pas.
Pourquoi se casser les pieds à essayer d’ecouter les conseils de quelqu’un dont c’est le metier?
Bref.
Ici on est face à une inégalité de convexité d’où l’utilisation de la dérivée seconde d’ailleurs.
C'est quel niveau en math pour comprendre du Hodge ?
Merci pour les explications au passage sur cet exo :)
Si c’est ce que je crois je dirais au moins master 😄 merci pour le petit mot!
Master 2 recherche au moins. Peut-être dans des séminaires de doctorat.
Vraiment au hasard le x^4/24 🤭 et pourquoi pas un -x^6/720 après...
Par exemple hein 😅
Cest vraiment top ce genre de vidéos avant ma rentrée en prépa ☕️
Merci j’essaie de faire petit programme de l’été ;)
@@TheMathsTailor est-ce que le pdf Louis le grand il est bien pour s’entraîner ou c’est un peu too much en terme de difficulté ?
Il est super intéressant mais dur! Ne pas y arriver est normal mais ça vaut le coup de s’y tester et de checker des corrigés et explications si tu en trouves (par exemple les quelques uns sur cette chaîne 😁). Il n’existe pas de corrigé en pdf à ma connaissance. Je vais essayer d’en faire un échantillon pendant l’été de mon côté ;)
@@TheMathsTailor ah merci, je savais pas qu’il y avait déjà des vidéos
Et j’ai la version du pdf corrigé, je peux le passer via Discord si nécessaire
@@amadios9874 tu as la version corrigée du PDF de Louis-le-Grand ?
Oh no, je vois des développements limités partout
😂
Vous avez bien tort. Cela pourrait vous jouer de mauvais tours.
@@richardheiville937 j'ai pas dis que je trouvais ça inutile par contre
@@Marneus_Calgar Ce n'est pas inutile quand on les applique à bon escient. Dans le cas de l'exercice proposé cela ne sert à rien du tout pour le résoudre.
@@richardheiville937 ah mais on est d'accord, c'était juste une référence au fait que depuis que j'ai étudié ça, j'ai l'impression d'en voir partout, rien de plus
Bah non tu dis pas n'importe quoi, tu fais juste un développement limité à l'ordre 4, on peut même avec un DSE la confondre complètement sur R, il suffit de pousser les termes à l'infini ...