此數必為3的倍數，因此此數10^(2n+2)+10^(n+1)+1，必為3*37=111倍數。 又10^3k mod 111=1、10^(3k+1) mod 111=10、10^(3k+2) mod 111=100，因此10^(2n+2)、10^(n+1) mod 111必各為10與100。 故次方有下列兩種情況：(1)n+1=3k+1且2n+2=3k'+2，可解得n=3k。(2)n+1=3k+2且2n+2=3k'+1，可解得n=3k+1。 另外上一題是(ω+1)^2015/ω後的實部，可利用極式完成。但願有天得見李翰老師真人。😍
不太於？
@@DoongXiouHua 您好
我是頻道編輯
不好意思
老師寫錯了🤣🤣🤣
是＂不大於＂
@lihanmath 😂
話說老師的“於”的右半邊寫的很像小於等於符號，我覺得很有意思w
非常棒的思考方法
37*9=333，所以可以把題目改成9(n個0)9(n個0)9，找333的倍數，可以注意到1000除以333餘1，所以10^k除以333的餘數跟10^(k-3)除以333餘數一樣。
題目是9*10(2n+2)+9*10^(n+1)+1找333的倍數，用前面的整理方法可以整理成三個900,90,9相加找333的倍數。
以三個900,90或9拼成333的倍數，只有900+90+9=999這個可能，所以必然要滿足2n+2跟n+1還有0除以3的餘數要不一樣，其中0一定是整除，所以其他兩個不能是整除，所以n不是除以3餘2的數字。
注意2n+2跟n+1除以3的餘數可以發現，因為不能是整除，所以一定不一樣，餘1的兩倍之後變成餘2，餘2的2倍之後變成餘1。
所以只要n不是除以3餘2的數字，就會滿足題目條件。
看起來這個題目有設計過
感謝您的分享，考慮不可能的解法是一個很好的想法👍
可惜大家都留言了跟我差不多的想法，我慢了幾步。
確實第三題注意到37*27=999=10^3-1就可以利用同餘解決，跟今天台大數學人培的考題一模一樣。
而第二題可用二項式定理展開（1+x)^n，再帶入x=1,ω,ω^2（其中ω=e^i(2π/3)），再用1+ω+ω^2=0消去取除以3餘0或餘2的項，即可留下餘1的項，接著不難發現（1+ω）^n=e^i(nπ/3)及(1+ω^2)^n=e^i(-nπ/3)便可以輕鬆得到答案，而且這題似乎有點出到爛掉了？（似乎很常出現）感覺變成筆試二等級的題目了。
此數必為3的倍數，因此此數10^(2n+2)+10^(n+1)+1，必為3*37=111倍數。
又10^3k mod 111=1、10^(3k+1) mod 111=10、10^(3k+2) mod 111=100，因此10^(2n+2)、10^(n+1) mod 111必各為10與100。
故次方有下列兩種情況：(1)n+1=3k+1且2n+2=3k'+2，可解得n=3k。(2)n+1=3k+2且2n+2=3k'+1，可解得n=3k+1。
另外上一題是(ω+1)^2015/ω後的實部，可利用極式完成。但願有天得見李翰老師真人。😍
感謝您的分享，111是個很棒的想法👍；有空的話可以來補習班找老師聊聊天啊❤️
解法簡潔有力👍
跑了其他質數
k = 0,1,2,3
3 : k / 31 : 5k+4 / 61 : 20k+19
7 : 6k+1 or 6k+3 / 13 : 6k+1 or 6k+3 / 19 : 18k+5 or 18k+11 / 37 : 3k or 3k+1 / 43 : 21k+6 or 21k+13 / 67 : 33k+10 or 33k+21 / 97 : 96k+31 or 96k+63
這題如果是在任何不能用筆電的場合遇到的話該怎麼解呢？
今年台大數培也有一題也是類似的題目(老師出那一題也有故事😂
看到4分50秒才開始明白題目是什麼。書寫太不清楚了。
想知道第二題怎麼算
(2^2015-2)/3