Hustá slovní úloha - Pyramida
HTML-код
- Опубликовано: 29 ноя 2016
- www.mathematicator.com
Asi nejlepší a nejzajímavější slovní úloha, kterou jsem kdy řešil. Zadání je jednoduché. Budeme skládat pytle a stavět z nich pyramidu. Řešení je podle mě super zajímavé a obsahuje ohromné množství zajímavé matematiky.
Spočítal sem, že kdyby se stavěla taková hora např. z cementu, tak by to stálo 23x celkoveho HDP Číny.
Super příklad:-) Parádní na něm je i to, že čas na veškeré odvozování je stále mnohem kratší, než postupné sčítání pater. V tomto aspektu často různé vzorové příklady pokulhávají.
Mě se taky hrozně moc líbil, protože v sobě zahrnuje spoustu krásných věcí :-)
* 6190,5 / 0,125 = 49524
Jo, no, to jsem jelito.
Správné řešení je potom: 40 489 185 838 150
@@marekvalasek7251 jj to znám, pamatuju na 1. třídu - počítalo se do deseti - 10 příkladů já první hotovej a půlku špatně - co se stalo? no já všechno sečetl a nebylo mě divný že výsledek 8-7=15, když počítáme do 10ti jen :-D všude jsem viděl znaménko + a znaménko mínus jsem ignoroval.
Vzpomnel jsem si na slovni ulohu, kterou jsme meli u zkousky z MA1 pred 15 lety:
Konzerva ma tvar valce a objem 1 litr. Navrhnete jeji rozmery tak, aby bylo mnozstvi materialu pouziteho k jeji vyrobe co nejmensi. Tloustku plechu muzete zanedbat.
Super ! - sice koukám na metal klipy, jelikož to je hudba a toto je věc, u které se pobavím tím stylem, že obdivuji chytré lidi. Máte to dobře udělaný a fakt mazec. Dokoukal jsem do konce samozřejmě a jdu najít něco podobného s Vámi a poslední pivo v lednici taky nezůstane ))))
Zase mi stačí středoškolské znalosti. :-P Jsem na začátku devítky na základce
Taky bych chtěl být chytrý jako vy :)
Moc pěkný příklad :)
to je středoškolská matika nebo středověká inkvizice?
Krása :-)
Po 30 letech jsem si procvičil důkaz indukcí a kupodivu si ještě hodně věcí pamatuji, jen to oprášit. Jinak super video !!!
Došel jsem ke stejnému vzorci, ale jiným postupem - upravením vzorce pro výpočet objemu jehlanu. Každopádně úloha je to krásná.
To je super úvaha a návod, jak to odvodit i pro další vyšší mocniny :) (je to dobré spíš na procvičení počítání s maticemi :) )
Tady je pak zajímavý článek, který používá pro vizualizaci problému fyzikální páku - www.michalrepik.cz/matematika/soucty-mocnin-prirozenych-cisel.html
Marku, nevyužil jste celé zadání. Tři rozměry pytle mají napovědět kubický objem jednoho pytle. Pytel máte vysypat. Kolik těch pytlů vysypeme, než dosáhneme výšky hory?
Na stavbu nakupuji materiál od oka. Objem jehlanu 49524^3/3 a mám to skoro přesně. 1,23 mld pytlů bych dokoupil v druhé fůře... Ale popravdě, přesně jsem to spočítat neuměl. Pěkné, díky
je tam chyba: 6190,5:0,125 = 49 524 (nikoli 49 564)
1:30.... Moment ktorý mi zachránil život
1:45.... Ahaaa moment🌶️
Mne vyšiel iný výsledok, veľmi podobný:
A to: 40 487 959 516 608
Je to chybné preto, lebo som použil vzorec na výpočet objemu ihlana so štvorcovou podstavou.
Teda (49524^3)/3, keď som si nakreslil náčrt, zistil som, prečo mi to vyšlo menej.
Otázka znie, dá sa ísť touto cestou, a nejako korigovať vzorec, aby som odstránil nepresnosť?
Ďakujem.
PS: Ak pridám 0.5, teda (49524.5^3)/3 vyjde mi: 40 489 185 842 277, a to som už dosť blízko.
PSS: A mám to, ale neviem prečo to tak je: ((49524+1/2)^3)/3 - (49524+1/2)/12 :-o
Skúšal som to na podstave 10x10, až som sa dopracoval k výsledku štýlom pokus - omyl. Vlastne ani nie pokus omyl, pričítal som 0.5, podľa náčrtu, aj keď bolo jasné, že to nebude presne, potom som postavil výsledky s podstavami 1 až 10 vedľa seba, podľa môjho vzorca a podľa napočítaného klasicky, a zistil som, že rozdiel je vždy 0.083333, preto mínus /12. ;)
Takto to vyzerá, keď to ráta nematematik. :D
6190,5*8 neni 49564 (4:48 ve videu) ale je to 49524 proto to vychází jinak ;)
Mimochodem, existuje lehčí a elegantnější postup, kdy ten součet n^2 hledáš pomocí součtu (n+1)^3 a to sumu n^3 znát nemusíš, ta se vykrátí. Stačí jen vhodně posouvat indexy.
Ahoj keby si tam pridal aj n=0 tak sumu nezmeníš a pre k=0 dostaneš, že hodnota polynómu v nule je nula teda d=0 a teda by ti stačili 3 rovnice s tromi neznámymi
Ano, přesně takhle to napadlo mě. A zároveň by se pak počítalo s menšími čísly. (stačí pro k=0,1,2,3)
Skvela zabava! :-)
to bylo krásné a naprosto úžasné! :0 :-D
Díky :-)
ahoj , co když tu horu ,,, uděláme jako dvojrozměrnou ,,, potom by to byla matematika ZŠ. -
Jasně. Jakmile to bude dvojrozměrná hora, tak sčítáme aritmetickou řadu a je to velmi jednoduché.
Ale co když do toho přidáme fyziku. A to tak ,že na každé patro pytlů působí váha pytlů nad nimi. A tak dál a tak dál. V centru Pyramidy bude značná deformace a zhuštění materiálu.
To bude znamenat, že spodní patra budou tenčí, ale husčí než patra nad nimi. Ale jiná situace zase bude na okrajích pyramidy...aha. Teďka nastává pořádná sranda.
Tak bychom mohli simulovat zatížení od centra pyramidy směrem k okraji. Na tento problém asi narazili i stavitelé pyramid v Egyptě a postupně přes řadu nezdarů vyřešili.
Jinak super kanál :)
Tohle píšu, než jsem dokoukal řešení a dokazování, ale nebylo by lepší ty koeficienty odvodit právě z indukce a vyhnout se tak těm náročným počtům s čísly? Teda pokud nebyl účel i ukázat řešení soustavy rovnic Gaussovou eliminací.
Konkrétně si napsat něco jako
ak**3 + bk**2 + ck + d + (k+1)**2 = a(k+1)**3 + b(k+1)**2 + c(k+1) + d
a soustavu vyrobit z koeficientů u jednotlivých mocnin "k", doplněnou o rovnici pro K=1.
Jinak díky za pěkný videa a inspiraci jak vysvětlovat matematiku.
Hodně pekná úloha jediná malá chybička je, že K= 49524. Asi jsi se přepsal na kalkulačce.
jojo, blbě jsem se uklikl
:-)))
Krásná matematika, jen podstatná chyba ve výpočtu hora z cementu se postavit nedá. Možná z betonu a tak výsledek vydělte aspoň 3 a dodejte písek :-D. Teorie je krásná věc, ale věci kolem nás tak nefungují. Ale jinak se klaním.
A to je přesně ten případ, že matematik nedokáže postavit ani blbý pískoviště pro děti a musí si na to pozvat zedníka s bídně dochozenou základkou.
Protože se jedná o jehlan (+ přesahující část pytlů), musí to začínat k^3/3. Přesahující část jsou 4 trojúhelníky čtvrtpytlů = 4*k^2/2*1/4 = k^2/2, přes hrany zase něco přesahuje, tedy c*k. Na vrcholu nepřesahuje nic, tedy d=0. Mohli bychom geometricky řešit i c, ale je jednodušší vyřešit jednu rovnici. Ze soustavy 4 rovnic mám 1 rovnici a geometricky odvozený vzorec k^3/3 + k^2/2 + c*k. Přišli jsme tím o matice a indukci. Ve Vašem řešení bych jako první k volil 0, kde triviálně d=0, někteří posluchači by možná mohli sčítání 0 pytlů považovat za nekorektní.
Jsi borec
Vraj so znalosťami strednej školy... No neviem ako v Česku ale na Slovensku v poslednom ročníku povinnej matiky teda 3. ročník sa hrajkáme so stereometriou a planimetriou... Čo je to suma a tie matice sa nám ani nesníva... Je to tak zlé na Slovensku alebo ako to vyzerá v Česku na sš ? Ja samozrejme pokračujem volitelných premetom MAT v 4 roč a maturujem ale ak chcem isť na vš do Česka technického typu tak to mám čo doháňať :) Ďakujem za zaujímavé video, super youtube kanál pomohol mi pochopiť mnohé druhy úlôh a rozhodne chcem sa učiť v tej matike ďalšie a ďalšie veci len verím že tomu budem chápať. Ja mám radšej takú tú "praktickú" matematiku než "abstraktnú" matematiku :D :D
PS: ako stavbárka uznávam týpek prerobí a škoda toľkého cementu :( Ani ho nepodloží nezakryje nasiahne to vlhkosť ... vyhodené peneži :P
Ahoj, obvykle se v Česku na SŠ končí v matematika se základama integrálních počtů (derivace, integrály). Jestli to dobře chápu, je u vás matematika povinná do 3. ročníku SŠ, u nás je povinná celou střední docházku, tak tam bude asi ten rozdíl. :) Na VŠ obvykle lidem, co to neznají, tyhle pojmy připomenou a krátce vysvětlej, spíš je to ale koncpiovaný jako osvěžení paměti než výklad od nuly, takže určitě doporučuju před nástupem na technickou VŠ v ČR si tyhle pojmy trochu dopředu nastudovat. Na internetu je spousta a spousta materiálů zdarma. :)
Super , akurát som sa dozvedela že matika v 4 ročníku sú aj limity a pod... Takže fúha super... A ďakujem za opísanie situácie v ČR
Je to tak, ono ostatně třeba takovou derivaci bez limity nenadefinuješ. Ale neni to taková hrůza jak to zní. :) Pokud tě to trochu baví (což, doufám, baví, když chceš jít na technickou VŠ, jinak ti to může otrávit celé studium), tak není problém tomu třeba přes prázdniny pár hodin týdně věnovat. Jednoduché limity, derivace a integrály se vážně naučíš za chvilku. A ohledně těch matic ještě; matice jsou v podstatě jen jiný zápis soustav rovnic (když to řeknu, takříkajíc, na hulváta) - s těma tě pořádně naučí pracovat až na VŠ, takže s nima se tolik nestresuj.
Pekná práca
11:52 odkazujete na vzorec, ale ukazujete špatnou sumu!
Ahoj. Na ten součet sum k^2, kde k běží od 1 to n, lze přijít i jinak. Předně lze snadno nahlédnout, že k^2 = 2*(k nad 2) + (k nad 1). Dále se ví, že sum (k nad m), kde k běží od m do n, se rovná (k+1 nad m+1). Takže spočtu: sum k^2 = 2*sum (k nad 2) + sum (k nad 1) = 2*(k+1 nad 3) + (k+1 nad 2) = 2* (k+1)k(k-1) / 3*2*1 + (k+1)k / 2*1 = k(k+1)(2k+1)/6, což je hledaný vzorec. Žádné matice, žádná Gaussova eliminace, jen trik s kombinačními čísly. ;-)
edit: Ahoj. Na ten součet sum k^2, kde k běží od 1 to n, lze přijít i jinak.
Předně lze snadno nahlédnout, že k^2 = 2*(k nad 2) + (k nad 1). Dále se
ví, že sum (k nad m), kde k běží od m do n, se rovná (n+1 nad m+1).
Takže spočtu: sum k^2 = 2*sum (n nad 2) + sum (n nad 1) = 2*(n+1 nad 3) +
(n+1 nad 2) = 2* (n+1)n(n-1) / 3*2*1 + (n+1)n / 2*1 = n(n+1)(2n+1)/6,
což je hledaný vzorec. Žádné matice, žádná Gaussova eliminace, jen trik s
kombinačními čísly. ;-)
No vida :-). Dlaší způsob. Mě tenhlě třeba nenapadl. Ale to video není ani tak o tom, kterej postup je správnej, jako spíš o tom, že ukazuju jednu z cest a ukazuju, jak u toho přemýšlím.
Řekl bych, že zápis je chybný. Čas 15:27. Například pro k=2 platí 8a+4b+2c+d=4, a ne 5. Stejně tak dále.
Zápis je v pořádku, jedná se o počet pytlů nejen v dané řadě ale i všech pytlů v řadách nad ním. Ve druhé řadě je sice pytlů 4, ale v první řadě je ještě ten jeden.
Sikovny remeslnik by to zmaknul s 15 476.25 pytli :)
Eeeh ten pocit když jsem v 8 třídě na základce vůbec tomu nerozumím a dívám se na to jenom protože mě to zajímá.... 🤣
Numerická chyba - stane se. Ale nechat ji tam je IMHO ostuda. Přitom by úplně stačilo do videa přidat dva titulky - jeden na místo, kde ta chyba vznikla, druhý na místo, kde se dosazuje do vzorečku a počítá se finální výsledek. Škoda. Ale jinak klobouček (za celý projekt, nejen za tohle video). :-)
Jde o objem jehlanu, kdy zname pomery stran baliku [popr. uhly] a vysku. [zhruba jedna vrstvicka se takto asi ztrati, tak pridam 125 mm]... pak podelim objemem pytle. Nemusim ani pocitat obsah podstavy u 49524x49524
Moc hezké video, ale objevil jsem chybu hned na začátku videa v první matematické operaci, když jste počítal, kolik bude hora mít řad, vyšlo mi to o 40 míň než vám.
Proč platí vzorec pro součet aritmetické posloupnosti? (Gauss, jinak tomu žáci nižších ročníků ZŠ nerozumí). Možno též uvést proč platí vzorec (a+b) na třetí - stačilo by říct, že když roznásobím (a+b).(a+b)(a+b)=, tak dostanu výsledek...(tj.nemusí se to počítat, doufám, že binomická věta a pascalův trojúhelník budou v některém dalším videu).
PS.: Je to zajímavé pro SŠ i ZŠ, ale rozumět tomu budou až žáci vyšších ročníků SŠ.
Po 6 letech studia na FJFI ČVUT mi to přijde lehké. :-)
Na postavení druhé hory je potřeba stejnej počet pytlů jako na první.. Problém nevidím v počítání, ale v tom že první horu nikdo nedělal z pytlů.. :(
ja viem ze je toto video stare pomaly rok ale mam jednoduchsie riesenie cez aritmeticku posupnost: po vypocitani 6190,5/0,125 sme dostali ze je 49 524 riadkov (poschodi) nasledne si to zapiseme ako AP: a₁=1; an=49 524²=2 452 626 576; (prakticky an=n² napr prve poschodie 1²=1; 2poschodie 2²=4.....atd) potom uz len dosadit do vzorca: sn=n/2*(a₁+an).....po dosadeni by malo vyst ze potrebuje na to 60 731 939 299 674 vriec.....prosim o zvazenie a popripade ma skuste opravit ale so si na 100% isty ze to je spravne
Ahoj, takhle to dělat nemůžeš. Ten vzorec kterým to chceš sčítat je vzorec pro součet aritmetické posloupnosti. Ale tohle není aritmetická posloupnost. A není to ani geometrická posloupnost. Proto na to nejdou použít žádné klasické vzorečky, ale musíme si vzorec pro součet této konkrétní posloupnosti odvodit, například tak jak jsem to udělal v tom videu.
No preco to neni aritmeticka postupnost? Ved ci tam mam kolko chcem vriec vzdy je to 1² + 2² + 3² +....cize mi to aritmeticky rastie n² (ak nie tak preco)
Aritmetická posloupnost je posloupnost, jejíž jakékoli dva sousední členy se liší stále o stejné číslo. Tomu číslu se říká diference. AP je například 1,2,3,4,5,6,... nebo 1,3,5,7,9,... Tady ty členy jsou 1,4,9,16....první dva se liší o 3, další dva o 5, další o 7, atd. Takže to není AP.
Kdyžtak ještě doporučuju podívat se na tato videa: mathematicator.com/search.php?q=aritmetick%C3%A1+posloupnost
Asi snazší by bylo udělat z pytlů jeden sloupec, který “pomyslně” nikdy nespadne 😀
Mohl by jste prosím udělat video na 0.9999...=1?
1/3 = 0,333...
3/3= 0,999...
3/3=1
1=0,999...
Jaké video by sis na tohle představoval? Jsou to 4 řádky, video by mělo 15 vteřin, kromě toho na tom není co vysvětlovat.
Pechna ¨ Tak to by nebylo pro mě ale pro lidi co si myslí že to tak není. Měl jsem spíše namysli povídání o nesprávnosti argumentů proti rovnítku. Samozřejmě souhlasím že by to bylo opravdu krátké video, ovšem co video s mýty v matematice, to už by tu minutu mohlo mít.
Nejsem si úplně jistej, ale mám pocit, že tohodle jsme se dotkli v některým z videí s docentem Rokytou. A pokud ne, tak se toho možná dotkneme v některém z příštích videí. Ta otázka vůbec není jednoduchá a jasná, jak se na první pohled zdá :-)
Ty si pozeral video na kanály vedecké kladivo že ? :D
Jo, to bych rád viděl aspoň jednou v životě dokázané správně, t.j. tak, že pokud se důkaz provede např. na surreálných číslech, tak nefunguje.
Nefungovalo by 1 + (3 + 2 x n)? První co mě napadlo když jsem viděl to 1 4 9 16 25 :D
Ondřej Zabranský Pokud to dobře chápu a to "x" je násobení, tak ne. Vyjde ti aritmetická posloupnost 6,8,10,12....
Primitivní. Vypočítal jsem to ted večer u kafe a jeste jsem u toho koukal na Ordinaci.
Toto je veľmi zaujímavé:
ruclips.net/video/jsYwFizhncE/видео.html
jen na okraj : Hora Denali, dříve Mount McKinley, je nejvyšší hora Severní Ameriky je nejvyšší hora Severní Ameriky. Těším se na výklad
Prej: "Já moc nejsem dobrej na tydle věci" LOL
Muj odhad byl 39 bilionu no kousem sem se sekl lol
Sám bych tuto úlohu lépe nenazval :)
A základna té pyramidy bude jako okres. To by mu žádný stavební úřad nepovolil!
Dobrý deň pán Valášek, v prvom rade by som Vám chcel povedať, že ste super a obdivujem Vašu nadšenosť z matematiky. Je príjemné vedieť, že existujú ľudia, ktorí majú matiku tak veľmi moc radi ako ju mám rád ja. Pozerám Vás už dosť dlho a veľmi sa mi Vaše videá páčia. Len tak ďalej. Máte moju plnú podporu. V druhom rade by som Vám rád napísal jeden príklad, ktorý som objavil ešte ako 12-ročný a už dlhých 5 rokov ho mám niekde vzadu v mysli a stále s ním bojujem. Dnes ako 17-ročný tretiak na strednej priznávam porážku a píšem Vám ho sem s túžbou vidieť Vaše riešenie. Tu je príklad:
5 námorníkov stroskotá na neobývanom ostrove. Utáboria sa kúsok od brehu a rozhodnú sa ísť preskúmať ostrov a nazbierať nejaké kokosy lebo sú veľmi hladní. Keď sa večer vrátia na miesto, kde sa utáborili, majú veľmi kopu kokosov. Už sú tak veľmi unavení, že už ani nejedia a idú sa po náročnom dní vyspať. V noci sa však jeden z nich zobudí na hlad. Príde ku kope a rozdelí ju na päť rovnako veľkých častí. Zostane mu jeden kokos, ktorý dá opici, ktorá sa okolo neho motká. Svoju pätinu si schová a tie štyri pätiny zmieša dokopy. Naje sa a ide opäť spať. Krátko po tom sa zobudí druhý z námorníkov. Spraví presne to isté, čo ten prvý. Príde ku kope, rozdelí ju na 5 rovnako veľkých dielov, jeden kokos mu zostane, dá ho opici, svoju pätinu si schová a zje. Štyri pätiny zmieša dokopy. Ide spať. Takto to spraví tretí, štvrtý a aj piaty námorník. Ráno sa všetci spoločne zobudia, prídu ku kope, rozdelia ju na 5 rovnako veľkých častí a zostane im jeden kokos. Ten dajú opici. Tá si ho už len veľmi neochotne zoberie, pretože za noc ich už mala päť. Otázka znie, že koľko vlastne bolo tých kokos potom ako sa vrátili z tej obhliadky ostrova. Dúfam, že sa Vám príklad zapáči a poradíte si s ním lepšie ako ja. Prajem veľa zdravia. Držte sa. 🙂
Dobry den, Kristiane. Deluji za krasny komentar. Ta uloha je moc hezka. Zamyslim se nad ni. Zkusil jsem to ted jen na rychlo asi za 5 minut a zatim se mi to nedari, ale mam nejake napady jak k ni pristoupit. Snad se povede :-)
Já bych řekl že to nemá řešení, po dlouhém výpočtu (který sem nepíšu protože je zmatkový) mi vyšlo že 4096 musí dělit 15625x+11529 ať už je X co chce, tak 4096 musí i dělit 11529, což ale nedělí. Možná jsem na to šel špatně, ale došel jsem na to tak, že jsem si lenivě napsal 6 rovnic a dosadil jsem (ne moc elegantní ale co už) a vylezlo tohle.
Marek je marec
Sčítání řád je ale součástí znalostí středoškolské matematiky ,nemám pravdu? :O
Záleží na tom jakých řad. Aritmetických a geometrických ano, ale tohle není ani aritmetická ani geometrická řada.
@@marekvalasek7251 Nazdar docela mě ta úloha pobavila, a napadla mne myšlenka na to jít jako na obyč jehlan, kdy místo metrických jednotek, jsem dosadil pouze počet vrstev ( 49524). A vyšlo mi číslo jiné, což je pochopitelné a špatně, vzhledem ke zvolenému postupu , jen mi příjde, že i vám mělo vyjít číslo jako mě a menší. Jenže vám vyšlo větší a to i tady v chatu, a to k tomu pohlížím jako že mě tam přebývají úkosy na stěně ,, hory ,, . Chtělo by to zrevidovat, kde je chyba.
Edit: Opravdu máte chybu a vzorec pro výpočet objemu jehlanu zcela dostačuje ( vzhledem k vašemu zadání ,, stavby z cihliček,,)