表面积无限大，体积却是有限大?什么是托里拆利小号悖论？

[@jerryshi3560]

妈咪叔讲的真心好！其实说实话，一切的悖论都来自于数学中的概念，叫∞，而现实生活中没有永远的极限，一切皆有终点

[@志亮陳]

有的！宇宙就是無限大...我們所知的是可視宇宙

[@LinYuanXianYu]

碎形了解下

[@niceday2015]

喜欢这种视频，这个味儿对了

[@louisme6981]

一句话帮你理解。纬度不同不能比较，三维的东西即便再小也能无限切割成二维表面。比如你有一段木头，你技术够牛，你能把它切割成无限多的份。当然现实上是不可能的。所以，数学上不同维度的量去比较是没有意义的，就像视频里用体积和面积比较，用面积和长度比较！

[@calvinlee1127]

正確

[@Kazzit_Chang]

油漆也装不满的，其实很好理解，从速度，或者油漆滴体积都可以理解。倒下去的油漆永远流不到另外一头，和永远刷不完是一致的。

[@windshadow233]

这说的是数学上的体积，和现实里是两码事，毕竟现实里也没这种结构😅

[@jafet2077]

托里拆利小号的体积可以表达成一个收敛的反常积分，虽然结果是收敛于pai，但是理想状态下，从小号喇叭口方向注入体积为pai的油漆，需要无限长的时间。从吹嘴口方向注入体积为pai的油漆，同样需要无限长的时间。无限长的时间，反映出这是一个四维体。

[@windshadow233]

@@jafet2077 注入时间无限长和体积有限其实也不矛盾😄

[@jafet2077]

@@windshadow233 我说矛盾了吗？

[@zhenji1635]

非常棒，戳破悖论的实质

[@alec09188]

小號的尾端是趨近於零的
但油漆分子不是無窮小的
所以油漆往尖處流動時無法無窮流到小號的尖端
油漆最多只能流到尖端處直徑接近於油漆分子直徑的地方，所以油漆能裝滿卻無法塗滿整個小號的裡面
除非我們也假設油漆分子是無限小，但這樣就會導致一桶油漆中的分子是無窮多個，既然分子是無窮多的那塗滿無窮大面積的小號就不是問題了

[@lap0122]

你這樣說我才明白

[@yxgq5721]

我跟你的想法类似

[@破腦改管畜全家死光]

你的最後一句怪怪的吧
為什麼分子無窮多就代表塗得完？

[@沈明德-f5i]

你是在表面塗，跟物件厚度或漆厚度都無關。在表面塗裝，你鋪瓷磚都行何況塗漆，誰再乎你漆有多厚？

[@顏荣耀]

真想念这小白板

[@gby7139]

感觉托里拆利小号悖论有问题: 我们认为有限的油漆不能涂满小号外表面是因为我们默认油漆涂在表面需要占据一定的高度h.
所以我们认为外表面积无穷大的小号涂满外表面所需的油漆体积=无穷大的面积*油漆高度h 也是无穷大的.
而小号内表面显然在尖嘴的一侧,内表面间的距离要小于我们想象的油漆高度h.
所以这里会产生悖论的原因是我们对 内外表面涂满油漆的定义不一致, 对外表面我们认为有高度h时才算涂满油漆,而内表面我们确认为高度无穷小时也算涂满了油漆.
如果我们统一标准,对内外表面都认为油漆高度无穷小是也算涂满油漆,那有限体积的油漆也是可以涂满外表面的.
其他几个悖论感觉也是类似的问题.

[@tonyye3277]

有道理👍

[@XiJinping3019]

第一，如果像你所说，假设油漆层的厚度h为无穷小，那么因为油漆层所需要覆盖的表面积是无穷大，所以所需要的油漆的体积是等于无穷小乘以无穷大。数学上这结果是一个不确定的值，可以是从无穷小到无穷大。也就是说，如果油漆高度无穷小，那么给我任意有限量的油漆，我都可以做到刚刚好涂满小号的表面，一点不多一点不少，不管是外表面还是内表面。不存在涂不满的问题。
第二，因此，这个悖论所说的意思，不是“涂不满”，而是“涂不完”，这其实是一个时间概念：因为这个小号表面积无穷大，所以一个油漆工会发现，他永远也涂不完它的外表面。所谓“永远”，指的是你无法在有限的时间内完成，也就是说这个油漆工需要无限多的时间才能涂满它的表面。所以这其实和油漆的量没有关系，就像我在第一点所说的，油漆的量不管是无限多还是无限少你都不用担心，问题的关键是即使你涂油漆的速度无限快，你也无法在有限的时间内涂满它的外表面，你仍然还需要无限多的时间。
第三，如果理解到这里的无限其实指的是一个时间概念，那么你就会发现这个所谓的悖论其实并不矛盾，只是说了两个看似有关，但其实相互无关的事实：这个悖论的前半段说的是时间概念 - 因为小号的外表面无限，所以你永远无法在有限多的时间里涂满他外的表面；而后半段说的却是体积概念 - 你只需要有限多体积的油漆就能充满整个小号。而事实上这个后半段没有告诉你的是，如果从时间上来看，同样因为小号的内表面无限，所以你也永远无法在有限多的时间里，通过把这一罐有限量的油漆完整的倒入这个小号里从而涂满它的内表面。具体来说，油漆向下流和涂满它所经过的内表面需要时间，因为小号的长度是无限长的，所以油漆需要无限多的时间向下流。另外，因为小号的尖端是越来越细以至于无限细的，所以即使油漆向下流的速度无限快，在小号开口的地方，油漆液面的下降也是越来越慢以至于无限慢。那么倒油漆的人就不得不把油漆也倒得无限慢。最后你会发现，因为你倒油漆的速度无限慢，所以你永远无法在有限的时间里把这一罐油漆倒完。这整件事和桶里面有多少有限量的油漆都无关。不管油漆是满桶、半桶、还是已经无限少，你倒完这一桶油漆所需要的时间都一样是无限多。

[@palettelee1]

我想到解釋方式了，你把油漆倒進去小號裡，油漆是分子組成，小號一直無限向前延伸，延伸到很小的時候孔洞會比分子還小，所以倒進去的油漆進到某一程度就被卡住進不去了，所以只能油漆只能填充部分表面，但是可以填滿小號

[@MAO-MAODARIN]

不谈数学公式，让这些事变得好理解一些😝：托里拆利小号可以想象拉着橡皮泥一头往上拽，假设橡皮泥弹性够好，构成橡皮泥的分子够小，那么一直被拉长，最终最尖的地方就是一颗分子。 而橡皮泥要想无限被拉长，也就是构成橡皮泥的分子就要无限小。 就可以想象成把一个三维的物体切割成无限份，这些无限份的小物体的部分面积总和也是无限大的。油漆工永远没法刷完墙面可以想象为要去喷漆无数个无限小的物体，所以喷不完，但前提是油漆分子要比无限小还小。
可以把科赫雪花 想象成我用软件画六边形，要画一条最细的线，结果电脑屏可以无限zoom in，虽然ctrl+1恢复原大小，画板面积是不变的，但在线条无限变小的过程中，其相对应的面积在无限变大。
至于谢尔宾斯基三角形，想象成像我们周围的空气即可，0摄氏度标准大气压下，一颗大点儿的骰子里面填满空气，空气只重1克左右，卻有大約2x10^22个分子 （数据不精确，大概参考下

[@逆熵]

悖论不悖，托里拆利小号没问题，外表面“油漆”体积为零，不矛盾。

[@ZRJ-one]

可以用维度解释，一维的直线无限长，但是面积为零，二维的表面面积可以无限大，但体积为零。用三维概念（体积计量）的油漆去刷满无限面积的二维表面显然有难度，但是将油漆降维到二维就行了，即压缩厚度直至为零，这时你会发现由于油漆体积为零反而填不满这个托里拆利小号了。
托里拆利小号的面积是受X轴长度限制的，一桶油漆降维后的面积也是受其原始体积和能量密度限制的，只要满足换算关系，肯定能刷满。

[@junyinmm]

其实并不是悖论。如果定义刷上漆的厚度必须大于一个非零的常数，装满内部的体积一定小于刷满外部的体积（无穷大）。如果定义漆的厚度只要大于零、可以无穷小，则外部刷满漆的体积可以构造成有限的，并小于装满内部的体积。

[@wandademolition]

你第二个假设，就是无穷大乘以无穷小，X * 1/X=1， 1 还是大于体积Pi

[@junyinmm]

@@wandademolition 不理解你在说啥。构造很容易。因为截面是圆形，只要外部漆厚度使得漆层截面（环）面积小于内部截面（圆）面积就行了。

[@wandademolition]

@@junyinmm 你说漆的厚度大于0且无穷小，就是1/X （X 是无穷大），表面积又是无穷大X， 所以两者相乘就是1。 1 大于其体积派（圆周率）

[@傅學惟]

15個油漆工按了不喜歡

[@chloecheung3617]

😃以后没人敢请油漆工了，明明工钱算给了315。他却一定要314.15926。。。。。。给不了这个准确数值钱，不知道会不会被告上法庭。

[@polectoular4712]

@@chloecheung3617 给她315，让他找！

[@calvingao1987]

如果油漆无限薄就可以把号涂满

[@naokongjiemi]

是的 视频没解释这个问题 s=v/d d无限小 s就可以无限大 因为在内部体积的表面积就是近似厚度0的油漆表面 最后还要看是不是等阶无穷 s应该可以做到无穷阶无限小吧

[@lucifinel7969]

以毒攻毒，聰明XD
-但其實那樣有塗跟沒塗一樣-

[@zhixudu2547]

@@lucifinel7969 确实和没涂一样，厚度无限薄，涂上去的油漆体积为0

[@lucifinel7969]

@@zhixudu2547 其實不說體積，那麼薄都特麼會透光了#

[@calvinlee1127]

@@zhixudu2547 厚度無限少, 長度或闊度無限大, 所以體積不為0

[@老鬼-n3c]

油漆工不能把小号涂满，但是并不意味着需要无线的油漆，油漆看做很薄，无限取极值之后也是有限的体积

[@顏荣耀]

感觉妈咪叔说完混沌就功成身退了，可惜人类还没解决，只能跟进实事

[@no1xtz765]

被西瓜视频雇佣后，科普内容稍有不同

[@taowang9735]

我也喜欢之前的各种公式，不过那时候太硬了没多少人看

[@jyfuxc]

1、换个角度看也许就不反直觉了：如果我们不看体积，只看小号的截面，随着小号尾巴无限拉长，小号的周长在无限增长，但曲线所围的面积却是收敛的。这时候再把曲线旋转一圈，它的表面积是周长*pai，而它的体积是截面面积*pai，所以表面积是无限大，而体积有限大。
2、刷油漆与倒油漆悖论的理解：在我们现实生活中，刷油漆再薄也会有个厚度，所以一桶油漆能刷多少面积，实际上也是个油漆的体积问题。但是在数学上讲，面积是没有厚度的，所以一滴油漆理论上就可以刷无限的面积，只要它够薄。
3、托利拆利小号之所以成为悖论，是因为它有一个特殊之处，在另外两几个例子中，都是边界无限弯曲折叠,从而实现无限周长，这个并不反直觉。但是这个小号是完全平滑的曲线，所以就反直觉了。

[@eeio1000]

那個理想中的油漆, 如果漆膜之厚度, 可以 趨近於 0.
那即使再小滴體積的漆, 也都可以展成無限大面積的漆膜.
所以, 有限體積的油漆, 可以漆無限大的面積 , 並沒有矛盾...
雖然現實上的物質, 最薄就是一層分子的大小, 並非 趨近於 0...
但數學上, 並無此限制.. 既然命題是用一個 數學小號,
那當然就可以用 數學漆, 膜厚得趨近於 0 想像中的那種理想漆...

[@calvinlee1127]

然後有人說這證明了佛的存在

[@ccxx]

还是喜欢这种硬核科普。

[@kyoclim240]

嗯。维度不同。体积是三维的，面积是二位。 这好比，一条（二维的）线段长1cm，问里面有多少个（一维的）点。 所以当维度不同的时候其实是不具可比性的，就是这个数值后面还跟着一个单位。数学应用到现实世界的时候需要考虑到物理里面的量纲。

[@calvinlee1127]

對, 一滴油漆也能塗滿無限大的面積, 只是厚度無限變薄

[@便當-n7b]

基本上可以想成積分是一個極限近似的概念然後當橫軸無限長時體積會以近似的方式收斂 然而表面積卻產生發散 這是積分一個大問題 但是要計算無窮的唯一方法卻只能用積分解決 因為無窮是無法透過其他的方法來得到一個答案

[@sungleong]

thanks, this video helps me understand an important concept in Buddhism.

[@秋月-f8n]

熟悉的白板回来了，舒服

[@port-ep7hx]

没有无限小，最小单位是普朗克，因此不存在无限大。诸如此类的悖论还有很多，但核心都是探讨空间或长度能否无限切分下去。

[@MayshowGunMore520]

你這比喻也太爛 普郎克長度是物理的東西 跟數學裡的無窮小沒半毛錢關係

[@nightmareforeverinvoid]

這期悖論的根本原因，在於把一個有些分割，存在最小單位的物件，假設成可以無限分隔，所以導致悖論產生。
拿電腦螢幕來說，任取一個可以無限靠近X軸的函數來顯示，沒有一台電腦可以顯示無限靠近的狀態，因為電腦的畫素是有限的，最終函數的線一定會與X軸交錯，不存在無限靠近的情況。

[@SiliconSoup]

妈咪叔家里的一面墙体积为0，结论是不需要油漆就可以刷满了，还可以用数学证明。

[@inffdd1899]

理论存在，实际不存在。

[@XiJinping3019]

你想说的意思应该是墙的厚度无穷小导致的体积无穷小吧？因为在三维空间里面，一个物体如果体积为零，就代表这个物体不存在，所以也就不需要刷油漆了。

[@MAO-MAODARIN]

还以为点开评论也是搞笑的，没想到挺较真。 推荐大家尝试从中间对半切开一粒 强林奶宝 看一眼然后放进嘴里 你就会体验到 表面积很大 体积为0的感觉 😆

[@huang0319]

没刷满。因为下面太小了。水分子进不去😂

[@Mao_jin_ping]

你去刷油漆那這個油漆本身必須是無限薄，但是你用倒的那就有厚度，這個厚度相對於無限薄是趨近於無限厚

[@了反取子名]

既然悖論說油漆倒的進這個小號 也就是說油漆分子可以無限小，外表面的油漆厚度也可以無限小 那麼即使體積有限，外表面就可以無限延伸發散到無窮大的表面積 也就和發散的調和級數有 "同量級的感覺了"，若不允許油漆無限小也就是說外表面積必有厚度那麼的確塗不滿因為外表面積發散但是這也同時導致他倒不進這個尾部無限小的小號裡面了。也就是說外表不同量級和內裡倒滿兩件事件是互斥的 根本不可能同時發生阿！
或者也可以理解成倒進去油漆可以塗滿內表面 油漆往下流的過程便是指體積有限但是單個分子無限小的油漆分子慢慢塗在無限大的內表面積上 兩個都是一直發散的也是一個"同量級的感覺" 整個悖論有一個重點就是在假設油漆可以倒進去的同時也假設了油漆塗滿內表面的時候厚度趨近於0便可以一直永遠的在無限的內表面積無限的塗下去 這就和在無限大的外表面積上塗無限薄的油漆是一樣的道理了 所以悖論就不悖了!

[@wuyongzheng]

视频没有直接解释这个悖论。我觉得油漆用量跟面积，刷漆厚度和曲率有关。当曲率半径远大于刷漆厚度的时候，可以用简单的厚度乘面积。但是这个假设显然对这个小号形状不成立。

[@蕭咪咪-d1w]

維度升降 不等價：
1） 二維面積數積值，降維成 一維線長值，不等價。
2） 三維體積容量，降維成 二維面積積值，不等價。
3） 四維時空 位歷四維值，降維成 三維體積 容量 矢量積值，也不等價。

[@蕭咪咪-d1w]

純數學領域 無限微積分的 宇宙難保穏定存在；
量子躍階 晶格體架構成的 真實世界 使得 理化驗証 成為可能。

[@蕭咪咪-d1w]

［24］！=［2,12］！=［2,3,4］！=［1,2,3,4］

[@蕭咪咪-d1w]

［1,1,π］！=［1,∞］；
［1,π］！=［∞］。

[@calvinlee1127]

正確

[@calvinlee1127]

@@蕭咪咪-d1w 數學裏沒有宇宙

[@izayoi5776]

矛盾在于题目假设刷油漆一下只能刷有限范围，但是倒油漆时候油漆分子可以瞬间穿过无限长的x轴，直到无穷远，从而填满小号内部的整个空间。暂且不说管径迟早会变得比油漆分子更窄。

[@j.j.8531]

表明物理現實不一定可以容納數學結論
簡單而言一這是概念化求1/0
比如一條數學概念的一維線延長到無限在二維空間, 其邊長為無限但其面積為零
一個數學概念的二維面延長到無限在三維空間, 其面積為無限但其體積為零

[@tianyang5241]

深度值得深入

[@sulinwang3227]

表面积无限大，而体积有限大(甚至为0)，我觉得是因为人们对体积、面积的定义“并不那么匹配”导致的。
拿托里拆利来举例，如果给它的内表面只刷一层油漆，那请问需要多少体积的油漆？
如果拿三维谢尔品斯基海绵举例，用油漆去刷它的表面，所需油漆的体积为0，那请问体积为0，是否意味着不需要油漆？

[@微冰夏日]

這是常識押, 不需要證明
在三維有限的空間中可分割無限小的空間
同時也締造無限大的面積
在二維有限的面積中可分割無限小的面積
同時也締造無限大的周長

[@HenOOXX]

刷油漆跟倒油漆差了一個維度不能直接比

[@j.j.8531]

重點在維度

[@calvinlee1127]

正確

[@forrestsun3373]

只要刷的油漆厚度无限小，油漆就刷不完了。体积和面积是不能比较的。比较的话有点会误导别人。这和给你一张有限的纸和一支无限细的笔让你画一条线一样，这条线可以画得无限长。

[@calvinlee1127]

正確

[@JS-dx3yp]

证明看懂了， 但是还没是想通到底能不能刷满油漆。 妈咪叔能解释一下吗？

[@HanLi1984]

其实也不难理解 你画一个正方形 然后尝试用直线填满它。直线可以是x=0.00001; x=0.00002.... 无限条 所以总长度是无限长。填充面积却是有限的。维度不同 塞多少都行

[@金苹果-w7e]

感谢妈咪叔视频，非常喜欢！不好意思提一个个人想听的话题，人体所的承受的撞击极限·（或者其他极限），诸如约翰·保罗·斯塔普等一些故事。

[@pengchen2864]

刷油漆需要消耗油漆的前提是油漆层是有厚度的，如果油漆没有厚度，一桶油漆也是可以无限刷的。这小号在无穷远的地方，很细，细到油漆都刷不上去，即使刷上去，也不怎么消耗油漆，因为没有厚度了。

[@Zack-hf2vx]

這感念就是把一個體積切成線段，體積是有限的，但線段的寬度可抵無限細小

[@tadcx9972]

这玩意有办法从另外一个角度证伪吗？不过感觉更像是数学规则的漏洞

[@kholmsk20]

体积用积分求不就一步到位了吗？用得着转那么大一个弯么？
y=1/x
V=∫（1 to ∞） π y^2 dx=π∫（1 to ∞）(1/x^2)*dx=π
V=圆周率

[@Hh-nf8nk]

所以你數學老師教你乘法的時候, 不會用加法演算一次給你看嗎?
他用計算機不就一步到位囉, 用得著轉那麼大一個灣麼?

[@ericchen6759]

相当于泰勒展开式了

[@yich2444]

这个积分是最简单的吧，而且可以直接给出精确解

[@RRMAKOTO]

熟悉的媽咪叔終於回來了

[@YJClarinet]

要是托利拆里的底面积不是一个圆而是一个谢尔宾斯基三角型，是不是更加逼疯油漆匠？

[@老鹰-j5o]

油漆悖论的本质在于漆面厚度不可以无限小。原子真径是极限。以有限对无限，悖论产生。
如果漆面可以无限薄的话，一滴油漆也多多有余

[@grundayyang1236]

不对不对，这样思考就不是单纯的数学问题了。这里油漆只是打一个彼方，真正的悖论依然是小号的表面积与体积的对比

[@老鹰-j5o]

@@grundayyang1236 面积无限与体积有限并不矛盾，这个小号的极限是线与平面，是二维的，而体积是三维的

[@老鹰-j5o]

@@grundayyang1236 油漆悖论在于用装油漆有限的量跟刷油漆无限的量相悖，本质在于装油漆时小于原子直径时是装不进的，而刷油漆却无此限制，一旦油漆厚度无也制，一滴油漆也足以涂全而有余

[@blackfive2276]

类似于计算国家海岸线长度的那个理论。

[@Yuhsuan999]

當托里切利小號的口徑小於油漆分子的大小的時候油漆便過不去了，所以倒進去的油漆體積肯定比較少

[@zhaowen1901]

可以想象油漆无穷细，这就是一个思想实验。

[@ty8730]

@@zhaowen1901 这就是无穷小的定义问题了。用经典的epsilon-delta表述：任取一个epsilon>0作为小号内表面油漆的厚度，那小号上都存在一个位置delta=1/epsilon，使得x>delta时小号内部比epsilon还要细，内表面的油漆就过不去了。所以不管油漆分子有多细，小号里总会有过不去的坎。

[@LightChu2.7183]

感謝 長知識

[@MayshowGunMore520]

為什麼以前的影片留言板都關了

[@shaho_channel]

感覺數學太較真了
我們物理也該較真一下
物質大小有下限，再小甚至都不能成為物質了所以無法上漆，結案

[@calvinlee1127]

首先你要把無限長的喇叭弄出來, 弄不出來, 結案

[@galaxy-fv4hl]

把一个三维的球体压扁成一张没有厚度的二维平面，可不就是面积无限大吗。

[@j.j.8531]

正解

[@calvinlee1127]

正解

[@tigermo538]

传说中的降维打击？！我的理解是这样的，无论多小的体积里面可以放无数个无限薄的面积，而一个无论多小的面积里面可以放无数个无限窄的线条。然而我钻的牛角尖是油漆是有厚度的。

[@calvinlee1127]

正確

[@tankokping1867]

长知识了，谢谢妈咪叔

[@w____1021]

直到上禮拜，youtube都還是認為媽咪叔是育兒類頻道，不讓我縮小看。
我實在是笑死

[@qqq9017]

@黃襄木 怕小孩眼睛吃力

[@ibn5100_sg]

我就想說為啥是兒童頻道，原來是因為名字google有你的😑
連大家的留言都被刪了

[@w____1021]

是google會出現什麼東西嗎？不然我怎麼看不懂你在說啥

[@vicatew6725]

现在留言开回了

[@chihuizheng]

是不是和英国海岸线问题类似？长度和体积的度量取决于你的尺度，如果你只有米尺，你是不可能量出一厘米的长度。这个问题里油漆就是这把尺，在第一个问题中的长号里，由于油漆的固有体积，即颜料分子的范德华体积，太细的地方油漆是无法填充的，所以如果以油漆来度量，这个长号的体积不会是pi，表面积也不会是无限大。
所以关键的问题是（个人感觉）数学模型转换到生活实际例子产生了偏差。数学世界里存在体积有限面积无限的物体并没有问题，但现实世界里由于物质由原子构成，所以具有一定的基本尺度，而用现实例子去理解就会显得很荒谬。。。这层意义上看又很像薛定谔的猫

[@zhixudu2547]

如果在小号的外表面均匀涂上厚度为1的油漆，我们得到一个涂了油漆的小号，然后前后两个小号体积的差

[@文鹰时评]

其实这就是二维空间和一维空间的区别。周长属于一维，铺开就是直线一条，面积是二维空间，有XY轴才能有面积。两个不同空间的概念不能互相比较。

[@thunderwind314]

媽咪叔能講講考拉茲猜想嗎？尤其是陶哲軒提出的部份證明那邊

[@kholmsk20]

托利拆里的长相居然有点像我女友😂😂😂

[@dsimba3354]

可以啊兄弟，品味不错

[@arthurlin5170]

可以跟女友玩角色扮演，让她cos托里拆利，想想就刺激

[@mikahoIic]

@@arthurlin5170 他女朋友cos托里拆利，他cos托里拆利的那根水银管

[@weisun2711]

你太短了

[@hesh2732]

@@arthurlin5170 大濕 我要課後輔導

[@ciri4kgaming7]

可以啦 要是油漆工刷的速度和倒油漆後流動的速度一樣無限快，那就能秒完成。

[@tp65j39]

一塊蛋糕可以分成無限份
但總體積還是一塊
所以分成無限份後一塊一塊吃
永遠吃不完但是整塊一起吃的話
一口就能吃完 純屬個人見解
（小蛋糕）

[@shiny599]

一尺之棰 日取其半 萬世不竭
（莊子 天下篇）
兩千多年前 類似的悖論就不少
算是微積分的先河吧

[@hibobmaster]

真有趣～

[@gintonic6204]

我不懂具体的，但是把有限体积的物体平摊成厚度无限小的平面，平面面积不就是无穷吗？为什么这是一个悖论？
(Example: 体积为1的正立方体长宽高1*1*1，那要把这个正立方体压扁，高度为0，长宽不就必须趋近于无穷吗)

[@Vic-ys6ql]

刷油漆的时候不考虑油漆厚度，那表面的油漆就没有体积了，那无穷小一滴油漆就可以刷满。。。
所有这些都是粒度问题了，忽略粒度进行几何构造产生悖论是我们的数学体系不完善还是怎么样呢？
在现实中因为线条和表面总是有厚度的，构造不出来这些东西。

[@neoanderson55]

破解小号悖论的核心是：油漆有厚度。当你填充内部的时候，最后厚度趋于0，但你涂抹外层的时候，暗自假设了厚度是一个很小的定值，所以才产生了矛盾。

[@davidlol3205]

并非悖论吧。现实意义上的油漆，在固定体积下是离散并有限的，自然无法涂满小号的表面。但若是有连续且无限的油漆，那自然可以满足两者

[@hongliangliang2264]

硬核的叔是最帅的，男人需要硬，哈哈

[@還真是可愛呢]

油漆刷的無限薄不就可以刷滿了很難嗎？

[@calvinlee1127]

他們會說, 油漆分子大少是有限的

[@zacmtwood6149]

没刷满啊，最小的漆分子就卡在了小号的某个位置上😂

[@ibn5100_sg]

數學油漆可以無限分割🤟

[@kuiye5880]

或者可以说用π体积的液体填满整个小号的时间是无限长的

[@dazhou3297]

@@ibn5100_sg 那问题就来了，体积和面积怎么兑换呢？

[@yiniu7265]

@@kuiye5880 我觉得这个解释真是太棒了，完美解释了这个悖论

[@ibn5100_sg]

@@dazhou3297 所以才說是悖論不是嗎

[@mai762]

油漆也是由分子组成的啊，相当于一个一个的颗粒

[@xintixieyi]

能不能理解为，在有限的面积内进行无限的分割？

[@Wind_of_Night]

數學只顧計算，沒顧及到現實，所以現實中不可能存在，沒有物體結構承受的了那麼多次拆解(微分)。

[@jack258001]

還是硬科普舒服

[@隆守一]

理論上能用油漆裝滿，但是裝滿的時間需要無限長?

[@kkuu7040]

数学上说可以用一个确定的时间装满，牛顿力学需要无限时间，量子力学说可能立即 可能无限时间，可能不确定的任意时间，，，，

[@ching-yanglin5689]

頭發昏

[@隆守一]

同樣的講法在科赫雪花柱體就變得比較不好解釋了，是要說因為油漆附著力導致裝滿的時間無限還是說油漆厚度導致進不到細縫裡面?

[@calvinlee1127]

能夠塗滿, 只是厚度無限薄, 數學模型才不管你現實物理, 沒有限制

[@摄素超标]

这些知识应该的归类于叫 fractal的数学门类 专门研究这类图形。我之前上过这门课的入门课。就是用C写这类的图形

[@ax_tube]

碎形幾何

[@摄素超标]

@@ax_tube 谢谢

[@miltonstone1685]

如果把数学里的计算表面积想象成刷墙的话，那么刷满一个无限大的平面所需的油漆量是0，因为所刷的油漆并不要求有厚度，所以有限的油漆填满体积有限大表面积无限大的托里拆利小号并无矛盾

[@horatiowang8679]

将一块1立方厘米豆腐切无数次，表面积无穷大，体积有限。把无数块豆腐放进装有1升油漆的油漆桶，所有的表面能不能被油漆完全覆盖？想了十分钟后觉得有个问题，如果切无限次，那么每一个表面积就是无限小，要用油漆盖满这个表面，那么油漆分子之间必须没有空隙并且油漆分子的体积是无限小，这是不可能的。同时油漆的体积不会超过一升，若果油漆分子无限小，那么油漆分子的数量就是无限多，这是也是不可能的。所以豆腐的表面积不能被油漆完全覆盖。

[@daniellu7940]

哈哈其实把油漆倒进去也刷不满表面积，因为当托里拆利小号里面的空隙小于水分子的大小时，油漆已经进不去了，除非油漆分子也是无限小

[@blackfive2276]

好理解。就是无限接近1但比1小的这个数字，加任何大于0的数字和，都大于1

[@allenjantw]

簡單一句白話，在數學上任何只要有體積的東西，只要有壓的夠扁拉得夠長都會有無限延伸的表面積，有限容量的油漆如果可以塗的無限薄也可以產生出無限大的表面積

[@赵永-e3i]

如果我们规定直径一米的圆为一平方米。回头求矩形面积会不会矩形也会无穷大。

[@jackywang8011]

如果油漆和拆里托利小号的摩擦力为0，则体积为 π 的油漆需要无限的时间去填充满小号内部，也就是需要无限的时间就可以涂满小号内部。
我瞎说的🙈

[@莊帥哥-u8d]

油漆是有厚度的，不論多薄，厚度不等於0，所以用油漆把小號外面塗滿就等於刷滿了，和內部灌滿是同樣意思。
刷油漆並不需要用最小單位去刷，比如，一個分子慢慢刷，這樣永遠也刷不完。所以用大面積刷子，三下就刷滿了。
這個問題和水滴能不能砸死人是一樣的意思。難道你沒有淋過雨？

[@了反取子名]

就是因為有厚度才塗不完阿 外表面積發散到無窮不是要你先塗1/2再塗1/3再塗1/4的意思(我不知道你是否如此理解了)
一次塗可以塗10^1000000的巨無霸刷子都好 但是對於任意實數m 必定存在n使得1/2+1/3+1/4+......+1/n>m 所以只要要油漆厚度不能無窮小而是如所說有下界那麼任意有限體積的油漆都塗不完的
邏輯點應該是
既然悖論說油漆倒的進這個小號 也就是說油漆分子可以無限小，外表面的油漆厚度也可以無限小 那麼即使體積有限，外表面就可以無限延伸發散到無窮大的表面積 也就和發散的調和級數有 "同量級的感覺了"，若不允許油漆無限小也就是說外表面積必有厚度那麼的確塗不滿因為外表面積發散但是這也同時導致他倒不進這個尾部無限小的小號裡面了。也就是說外表不同量級和內裡倒滿兩件事件是互斥的 根本不可能同時發生阿！
或者也可以理解成倒進去油漆可以塗滿內表面 油漆往下流的過程便是指體積有限但是單個分子無限小的油漆分子慢慢塗在無限大的內表面積上 兩個都是一直發散的也是一個"同量級的感覺" 整個悖論有一個重點就是在假設油漆可以倒進去的同時也假設了油漆塗滿內表面的時候厚度趨近於0便可以一直永遠的在無限的內表面積無限的塗下去這便和在無限的外表面積上塗下去是一樣的道理了 所以悖論就不悖了。

[@莊帥哥-u8d]

@@了反取子名 你的理論上只存在小號無限長，是用什麼材質做的？肉眼看不到的地方需要刷嗎？無限長只存在數學中，現實不存在，這個小號任何人都可以輕鬆刷完，用塗的也行，用倒的也行。
雨滴能砸死人嗎？

[@莊帥哥-u8d]

@@了反取子名 想都不用想就知道能塗滿，算數學只是為了樂趣，不是證明這件事存在。這件事不存在，不用證明。任何人都可以把小號塗滿，不用證明。

[@了反取子名]

@@莊帥哥-u8d 不能塗滿就是因為假設小號無限長阿 這個悖論違反直覺的文字遊戲部份就是因為即使小號無限長表面積慢慢會發散到無窮大但是體積卻會收斂到有限的值 如果你要討論現實物理 那麼無限長的小號目前的技術理論無法實現 所以這個小號目前不存在 結案, 但那就沒意義拉 這理論是 假設真的有無限長的小號 那麼他的體積有限但表面積無限 至於"塗滿油漆的邏輯謬誤在哪裡"上方已有說明不再贅述

[@了反取子名]

@@莊帥哥-u8d 所以整個悖論是要討論 如果真的做出無限長的小號的情況 這是前提 即使目前的技術還做不到 但捨棄這個前提這命題根本沒意義 這是假設性問題你直接否認假設就沒什麼好討論的阿 哈哈~ 🤔🤔😑😑
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[@xo5523]

有限的意思是不大于某个定值，无限的意思就不要解释了。两个简单明了的例子：一克黄金，质量是有限的，即体积是有限的，无论什么形状体积是不增加的，当不断用锤子砸，该黄金的表面积是越来越大，即体积是有限的表面积是无限的。第二个例子：1.1111…每次加前位数的1/10，该数永远不会大于等于1.2，即值是有限的，但小数点后的位数是无限的。

[@sw1285-q5o]

而且y=1/x双曲线中的一条的曲线下面积也是无穷大

[@samjiang1445]

面积和体积不冲突吧。理想的二维平面是没有体积的吧？一滴油漆如果摊开到无限薄，面积也无限大了。

[@CHfromTW]

就你最牛，一點即通

[@laquinta5063]

越往小号深处油漆厚度越薄，最后会趋近于0，有限的体积除以趋近0的厚度就可以得到无限大的表面积。

[@kevinwu193]

妈咪叔不回b站了吗QAQ

[@yangsihang6309]

问题出在倒入油漆的这一过程永远无法完成，油漆始终处于流淌的过程中。虽然等体积的油漆看似可以倒入，但是由于永远无法填充满，始终在进行中，可知倒入花费的时间必然小于流满内部的时间，因此必然有一部分会溢出，然后剩下的油漆慢慢下沉低于口部。要问倒入后下沉的速度是多少那就要看液体的表面张力了。这个悖论没有考虑到倒入油漆是一个过程，不是一瞬间，因此我认为的结论是用油漆涂抹表面永远也涂不完，倒入油漆也是永远到不满，而且要将这个体积拆分反复倒入无限多次，两种都是不可能涂满的。体积固定和一下就能填满是两个概念，因为填充是有速度的，不是瞬时完成的，如果说表面张力无穷小那就是气体，不存在这种液体，也就倒不进去。继续思考这个问题，你会发现他故意设置了一个陷阱，那就是刷油漆和倒油漆用的都是油漆，然而这两种手段根本不能比较，因为这个假设中油漆没有厚度，就算告诉他别往里倒油漆了，把那个固定体积的油漆都涂在表面吧，他也涂抹不完，因为每涂一下用掉的油漆体积是0，这两种手段根本没有可比性。非要用一个绝对理想的场景去套一个现实的主题，这样故意下套实在无聊，跟真正称得上经典的悖论薛定谔的猫相比简直云泥之别……

[@daizhao4874]

涂满整个小号，需要的油漆体积是0，因为对于涂满是不考虑涂层厚度的。

[@calvinlee1127]

不是0, 而是任何體積除了0 , 可以無限小也可以無限大

[@daizhao4874]

calvin lee 需要的体积就是0。表面积是无穷大，但是厚度是0。是无穷大乘0的一个模型，这里结果是0

[@calvinlee1127]

@@daizhao4874 我跟你說我很有錢, 只是我的錢的厚度為0

[@daizhao4874]

@@calvinlee1127 你可以说成，你家房子面积无限大，并且地上全部铺了金子，可是金子的厚度为0。在这种情况下，你家里既有可能是穷光蛋，也有可能是世界首富，也有可能就是正常人。在这个视频中，就是我说的第一种情况

[@calvinlee1127]

@@daizhao4874 那麼你的油漆就是二維了, 數學上可以存在, 但是題目一早已經假設了油漆是三維物體

[@馮小彪-b8v]

科學出現芒点，那是以數學的算式加公式把自己侷限在科學框架內，難過科學進步有限

[@zhongyi5025]

up很强 正常人都会想到用积分 但up能用这么浅显的方法证明出来 数学功底很强啊

[@zhaowen1901]

大脑皮层可以很大的面积（丰富的神经元分布）、毛细血管表面积也可以很大（可用的交换物质接触面），其实都说明，这种构造常见于自然界，虽不是无穷，但有很大、足够大的想象。

[@吴晓东-t9c]

我觉得一个二维里肯定有无限个一维，三维里也肯定有无限个二维的，油漆并不是单纯的二维，用三维立体的填充三维的应该一定能填满。如果油漆抽象成无限薄就填不满了。

[@yutianzhang4584]

这些悖论充分说明了科学的尽头是神学 相信神的存在的只有小学文凭的跟博士文凭的。因为所有科学都是建立在某些定义与公理体系的基础上的 其未必能保证不能推出一些与常识大相径庭的结果 而要justify这些定义跟公理体系就只能搬出上帝他老人家了（当然你也可以信佛）😊数学我只能说是略知一二 但是现今的物理学我很清楚 一切都是建立在薛定谔方程的基础之上的 而其正确性只有上帝能够知道了！

[@zhouzheng15]

有意思，喜欢

[@yuccahummingbird4179]

播主要边解说边放视频，不能大部分时间你霸占屏幕呀!

[@zhangsimeng]

我觉得我们常知道的世界的空间是三次元
而数学是可以算其他次元。所以就会产生这样的悖论吧。实际的油漆是有厚度不是平面的。

[@chenpatrick2362]

我问了一个有经验的油漆工，他告诉我，不要刷的太厚，厚度控制在半径的1/10，那么π/5的油漆就够了。