전반적으로 선대 강의들은 직관은 없고 그저 계산과정만 있는 강의들이군요.. 외우기만 하는 수업이랑 큰 차이를 모르겠네요 Augmented matrix에서 inverse of A가 되는 이유에 대해 설명이 없으면 듣는 사람이 이해할 수 있을까요? 직관도 설명도 없다면 그냥 교과서 읽어주는 것과 큰 차이를 잘 모르겠습니다.
날카로운 댓글 감사합니다..! 우선 질문 주신 부분은 2:15 에서 설명했습니다~ 지난 시간 등장한 증강행렬을 이해하셨다면 질문주신 역행렬되는 이유를 캐치하실 수 있습니다. (증강행렬의 도입은 여기서 설명했습니다 -> ruclips.net/video/Q1zCibRtI2A/видео.html ) 대부분은 걍 왼쪽에 [a,b ; c,d] 오른쪽에 [1,0 ; 0,1] 놓고 가우스 조던 때리면 역행렬 나온다. 이런 식이지만 저는 원리를 알려드리기 위해 기존의 augmented matrix으로부터 더 확장할 수 있는 이유를 차근차근 설명드렸습니다. 그리고 직관적 설명에 대해 제 생각은 이래요. 뭔가를 직관적으로 이해하려면 적어도 기본 연산들은 아셔야 한다고 봅니다. 행렬, 벡터 세상에서의 항등원 역원을 알아야 Ax=b 에서 x=A^-1b 처럼 넘길 수 있다를 알 수 있죠. 지금 이 영상에서는 아직 재료(곱셈 역원)를 다루고 있는 지라, 계산만 있고 직관이 없다. 고 느끼셨던 것 같아요ㅜ 흠 근데 이 영상 뿐만 아니라 "전반적으로" 선대 강의들은 직관이 없다. 하시는데.. 그건 좀 그르네요.. 내적에 대한 직관적 이해 : ruclips.net/video/47axVfuf-Q0/видео.html 열공간에 대한 직관적 이해: ruclips.net/video/Lo8FsB1anzQ/видео.html span에 대한 직관적 해석: ruclips.net/video/g0eaDeVRdZk/видео.html 선형 독립에 대한 직관적 해석: ruclips.net/video/mOOI4-BfjGQ/видео.html
@@hyukppen 답변 감사합니다. 말씀해주신 것에 대해 설명을 좀 더 드리면 1. 달아주신 링크에서 역행렬이 되는 이유를 캐치할 수 있다고 하셨는데 링크는 augmented matrix로 Ax=b를 푸는 방법이군요 적어도 Ax=[1;0]이런 것들을 풀면 역행렬의 각 column을 얻을 수 있다는 설명이 있어야 하지 않을까 싶네요 elementary row operation이 각각 들어가서 A->I를 만드는 과정이 I->A^(-1)가 된다는 설명도 없구요 2. 선대강의에서 직관적이라고 하시는 부분들이 글쎄요 뭔가 선대를 이해하는데 엄청난 도움을 주는 것 같지는 않습니다. 영상들에 visualization에 공들이신 것은 좋은 부분 같습니다. 하지만 좋은 그림이 항상 좋은 직관을 가져오지는 않지요. 달아주신 링크들은 직관적인 설명이라기보다는 정의에 입각해서 설명하는 것들이 아닐까 생각이 듭니다. 물론 행렬을 AI나 딥러닝에서 계산도구로 쓰게 되면 수학적 직관이 그렇게 필요 없을 수도 있지만 혁펜하임님의 강의에는 교과서에서 보는 visualization이상의 것을 보기는 어렵네요 가령 왜 full rank (square) matrix만 invertible한걸까요? 선대에서 직관이 중요하게 설명되어야 하는 부분은 linear transformation이 가지는 의미, determinant가 가지는 의미 등부터 일텐데 어려운 부분을 잘 풀어 설명해주시면 좋을 것 같네요 3. "이런 설명을 찾아보기 힘들다"라고 하시는 말씀을 종종 쓰시는 듯 한데 선형대수 교과서에 나오는 설명이랑 크게 다른 부분을 못느끼겠습니다. 정말 augmented에서 inverse를 구하는게 선형대수 교과서에 없을까요... 제가 생각하는 좋은 선대교과서는 SIAM 에서 출판된 Numerical linear algebra인데요 혁펜하임님의 설명이 여기서 나오는 설명에 비해 막 더 독특하다, 해석이 창의적이다 할만한 포인트는 없는 것 같습니다.
@@운드리 음.. 그래요 뭐 바쁘시니까 이해는 합니다만.. 영상을 자세히 안보시고 설명이 없다고 하시면ㅠㅠㅠ 1. Ax=b 를 푸는 거지 AB=I 를 푸는 걸 안보여줬다 => 0:45 에 있습니다 ㅠ.. 그리고 행렬과 행렬의 곱셈 영상( ruclips.net/video/Lo8FsB1anzQ/видео.html )에서도 다뤘던 것입니다! 2. 넵 동의합니다. 정의에 입각해서 잘 풀어 설명하려고 애썼습니다. full rank matrix만 invertible 한 이유
@@hyukppen 1. 영상을 안보고 피드백을 쓸정도로 무책임하지는 않아요 ㅋㅋㅋ 오해의 소지가 있었다면 미안합니다. AB=I를 푸는거지만 결국 elementary row opeartion을 연이어해서 역행렬을 구하는 과정이므로 A앞에 En*...*E2*E1*A=I를 하는 과정에 대한언급이 없다는게 제가 하고 싶은 얘기였습니다 결국 그럼 가는 방향이 B*A=I인걸 찾은 거니까요 이면에는 AB=BA=I가 숨어있는거라고 말씀드릴 수 있겠네요 (당연히 책에서 증명하지만 짚고넘어가서 나쁠건 없으니까요) 2) rank라는 건 결국 linear transformation의 output이 몇차원 이냐라는 것이죠 A라는 행렬이 rank deficient하다고 했을 때 가령, 3차원의 벡터를 2차로보내게 된다면 3차에 해당하는 정보가 압축됐다고 볼 수 있겠습니다. 그러면 압축되기 전 정보가 원래 무엇이었는지 복구하기 어렵겠죠. 즉 inverse가 제대로 정의될 수 없습니다. 3. 혁펜하임님의 말씀은 이해했습니다. 스타트업이라는 소재가 신박하긴했습니다만 그 예시가 주는 해석이 완전 새롭다고 보기는 힘들다고 생각해요. 설명 방법이야 천차만별이지만 "세상에 여기에서만 볼 수 있는" 과 같은 표현은 좀 확대해석이라고 볼 수도 있고요. 이걸로 논문을 쓰거나 할 수 있는건 아니니까요. 많은 사람들에게 좋은 영상으로 다가가시는 만큼 그 스탠다드가 높았으면 하는 바람입니다.
@@운드리 음.. 저는 혁펜하임님 선대 수업을 쭉 따라오면서 운드리님이 말씀하신 설명이 부족하다 라는 느낌은 못받았습니다. 강의 잘 따라왔으면 개념적으로 충분히 다 이해 가능한 내용이라고 생각이 들어요. 운드리님은 element row operation 이라는 용어를 아신는 것 보니, 이미 혁펜하임님 강의가 아니더라도 선대를 미리 접하신분 같네요... 음 제가 혁펜하임님 강의를 보고도 이번 영상 내용을 충분히 이해가능하다고 생각하는 이유는 다음과 같아요. 1. 확장행렬을 통해 역행렬이 되는 이유를 캐치할 수 있었는가? 있습니다. 이에 대한 부분은 혁펜하임님의 Gauss-Jordan Elimination 강의에서의 확장 행렬 개념을 이해하면 충분히 유추해볼 수 있는 내용입니다. 역행렬의 정의가 AA^-1 = I 를 의미하기 때문에, 확장행렬로 A | I 를 나태내보고, 해당 행렬에 A를 I로 만드는 operation이 수행되면, I는 A^-1를 나타낸다는 것을 충분히 이해할 수 있습니다. (제가 알아서 이해했거든요..) 2 Full rank (square) matrix만 invertible 한 이유? 이는 혁펜하임님의 행렬의 네가지 공간을 이해했다면 충분히 이해하고 유추할 수 있는 내용이라고 생각합니다. full rank이면, null space는 0 vector뿐이고, A의 column space만으로 전체 공간을 나타낼 수 있기 때문에, 해는 단 하나만 존재하게 되고, 이는 결국 역행렬은 반드시 존재한다는 것을 의미하기 때문입니다. (x=A^-1b) + 운드리님이 말씀하신 rank라는 것은 결국 linear transformation의 output이 몇차원이다 라는 개념은 아직 혁펜하임님의 강의를 쭉따라왔을때 깨달을 수 있는 부분은 아닌 것 같습니다. 다만, 행렬 공간의 개념과 행렬 곱셈의 정의 중 column space의 linear combination 이라는 개념을 생각해봤을 때, 운드리님께서 말씀하신 linear transformation이라는 개념은 행렬의 column vector로 이루어진 축으로 공간을 이동시킨다고 생각해 볼 수 있고, 이는 좌표 변환에서 이용될 수 있을 것 같다는 생각이 듭니다. 그렇게 생각해보면다면, rank deficinet일 경우 정보가 축소되어 이전 정보를 복구하기 어렵기 때문에 invertible하지 않다는 운드리님의 말씀이 이해되는 것 같습니다. 제가 이해한 내용이 맞나요? 결국 중요한건, 혁펜하임님 강의를 따라오면 제가 이렇게 운드리님과 얘기할 수 있을 정도로 개념을 이해할 수 있게 됐다는 것이고, 처음 보는 개념도 혁펜하임님의 강의를 보며 이건 왜 그럴까? 생각하고 유추해볼 수 있다는 것 아닐까 싶습니다. 그리고, 혁펜하임님께서 바라신 것은 본인의 입맛에 맞는 강의가 아니기 때문에 비판하는 문화가 아니라 개념에 대한 더 좋은 설명이 있다면 이를 풀어서 설명하고 서로 의견을 주고 받는 문화가 아닐까 생각합니다. 더 나아가 운드리님이 말씀하신 linear transformation이라는 개념을 아직 혁펜하임님의 강의에서는 설명하지 않았기 때문에 이개 념을 운드리님이 좀 더 자세히 설명해주시면 더 좋은 문화가 형성되지 않을까요? linear transformation이라는 개념에 대한 저의 유추는 오직 혁펜하임님의 강의만 따라오고 제가 개인적으로 해본 유추이고, 이 부분이 틀렸다면 알려주시면 감사하겠습니다. 혁펜하임님도 그것을 바라실 것 같구요. 아무쪼록 2023년은 새해 복 많이 받으시기 바랍니다! 저도 운드리님을 비판할 생각은 없었다는 점, 알아주시기 바랍니다. (텍스트로 적기 때문에 제 어감이 전달되지 않을 수도 있을 것 같아 오해하실 수도 있다고 생각해서 노파심에 말씀드리네요.)
![[선대] 3-3강. 행렬식(determinant)에 대한 모든 것!](http://i.ytimg.com/vi/F_7zPoosry8/mqdefault.jpg)
![[선대] 3-3강. 행렬식(determinant)에 대한 모든 것!](/img/tr.png)
![[선대] 5-2강. 고윳값 분해 (Eigendecomposition) 의 모든 것!](http://i.ytimg.com/vi/PP9VQXKvSCY/mqdefault.jpg)
![EBS [수학영역] 수학 I - 역행렬이란?](/img/1.gif)
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rank 구하기 예제: ruclips.net/video/7LDebT9p4es/видео.html
중간고사 만점대비반 20 문제: ruclips.net/video/Ya1810qcvjg/видео.html
Ax=b 해의 수 판단: ruclips.net/video/fMk84aazEdM/видео.html
최소자승법 3 문제: ruclips.net/video/g-3B8b-8u5Q/видео.html
고윳값 분해 6문제: ruclips.net/video/G9XTXqzALHg/видео.html
주성분 분석 연습 문제: ruclips.net/video/optHJg50opo/видео.html
특이값 분해 연습문제: ruclips.net/video/lVHF1eOmOQQ/видео.html
241026 좋은 강의 감사합니다!
12월 20일 동안 선대 다듣기 16강 완료 (혁형. 정말 사랑하고 감사합니다)
수학잘하는 잘생긴 형
선대 설명하실때가 가장 멋있으십니다.. 🥹
올만입니다 ㅎ
강의 잘 듣고있습니다! 진짜 도움 많이 되고 있습니다!!
7:12초 부근에 3번 내용 설명하실때 A^-1을 깜빡하신것같아요!
헉! ㅋㅋㅋㅋㅋ 그러네요!! 감사합니다!
6:07 Full rank, then null space is 0
아주 작디작은 부분 입니다만, 방정식 예시에서 처음 방정식의 두번째 줄에 있는 x는 x1이 아닐까 싶습니다.
우앗! 맞습니다 ㅎㅎㅎ 감사합니다!!!
4:40
전반적으로 선대 강의들은 직관은 없고 그저 계산과정만 있는 강의들이군요..
외우기만 하는 수업이랑 큰 차이를 모르겠네요
Augmented matrix에서 inverse of A가 되는 이유에 대해 설명이 없으면 듣는 사람이 이해할 수 있을까요?
직관도 설명도 없다면 그냥 교과서 읽어주는 것과 큰 차이를 잘 모르겠습니다.
날카로운 댓글 감사합니다..!
우선 질문 주신 부분은 2:15 에서 설명했습니다~
지난 시간 등장한 증강행렬을 이해하셨다면 질문주신 역행렬되는 이유를 캐치하실 수 있습니다.
(증강행렬의 도입은 여기서 설명했습니다 -> ruclips.net/video/Q1zCibRtI2A/видео.html )
대부분은 걍 왼쪽에 [a,b ; c,d] 오른쪽에 [1,0 ; 0,1] 놓고 가우스 조던 때리면 역행렬 나온다. 이런 식이지만
저는 원리를 알려드리기 위해 기존의 augmented matrix으로부터 더 확장할 수 있는 이유를 차근차근 설명드렸습니다.
그리고 직관적 설명에 대해 제 생각은 이래요.
뭔가를 직관적으로 이해하려면 적어도 기본 연산들은 아셔야 한다고 봅니다.
행렬, 벡터 세상에서의 항등원 역원을 알아야 Ax=b 에서 x=A^-1b 처럼 넘길 수 있다를 알 수 있죠.
지금 이 영상에서는 아직 재료(곱셈 역원)를 다루고 있는 지라, 계산만 있고 직관이 없다. 고 느끼셨던 것 같아요ㅜ
흠 근데 이 영상 뿐만 아니라 "전반적으로" 선대 강의들은 직관이 없다. 하시는데.. 그건 좀 그르네요..
내적에 대한 직관적 이해 : ruclips.net/video/47axVfuf-Q0/видео.html
열공간에 대한 직관적 이해: ruclips.net/video/Lo8FsB1anzQ/видео.html
span에 대한 직관적 해석: ruclips.net/video/g0eaDeVRdZk/видео.html
선형 독립에 대한 직관적 해석: ruclips.net/video/mOOI4-BfjGQ/видео.html
@@hyukppen 답변 감사합니다.
말씀해주신 것에 대해 설명을 좀 더 드리면
1. 달아주신 링크에서 역행렬이 되는 이유를 캐치할 수 있다고 하셨는데
링크는 augmented matrix로 Ax=b를 푸는 방법이군요
적어도 Ax=[1;0]이런 것들을 풀면 역행렬의 각 column을 얻을 수 있다는 설명이 있어야 하지 않을까 싶네요
elementary row operation이 각각 들어가서 A->I를 만드는 과정이
I->A^(-1)가 된다는 설명도 없구요
2. 선대강의에서 직관적이라고 하시는 부분들이 글쎄요
뭔가 선대를 이해하는데 엄청난 도움을 주는 것 같지는 않습니다.
영상들에 visualization에 공들이신 것은 좋은 부분 같습니다. 하지만 좋은 그림이 항상 좋은 직관을 가져오지는 않지요.
달아주신 링크들은 직관적인 설명이라기보다는 정의에 입각해서 설명하는 것들이 아닐까 생각이 듭니다.
물론 행렬을 AI나 딥러닝에서 계산도구로 쓰게 되면
수학적 직관이 그렇게 필요 없을 수도 있지만 혁펜하임님의 강의에는 교과서에서 보는 visualization이상의 것을 보기는 어렵네요
가령 왜 full rank (square) matrix만 invertible한걸까요?
선대에서 직관이 중요하게 설명되어야 하는 부분은
linear transformation이 가지는 의미, determinant가 가지는 의미 등부터 일텐데
어려운 부분을 잘 풀어 설명해주시면 좋을 것 같네요
3. "이런 설명을 찾아보기 힘들다"라고 하시는 말씀을 종종 쓰시는 듯 한데
선형대수 교과서에 나오는 설명이랑 크게 다른 부분을 못느끼겠습니다.
정말 augmented에서 inverse를 구하는게 선형대수 교과서에 없을까요...
제가 생각하는 좋은 선대교과서는
SIAM 에서 출판된 Numerical linear algebra인데요
혁펜하임님의 설명이 여기서 나오는 설명에 비해 막 더 독특하다,
해석이 창의적이다 할만한 포인트는 없는 것 같습니다.
@@운드리 음.. 그래요 뭐 바쁘시니까 이해는 합니다만..
영상을 자세히 안보시고 설명이 없다고 하시면ㅠㅠㅠ
1. Ax=b 를 푸는 거지 AB=I 를 푸는 걸 안보여줬다
=> 0:45 에 있습니다 ㅠ.. 그리고 행렬과 행렬의 곱셈 영상( ruclips.net/video/Lo8FsB1anzQ/видео.html )에서도 다뤘던 것입니다!
2. 넵 동의합니다. 정의에 입각해서 잘 풀어 설명하려고 애썼습니다.
full rank matrix만 invertible 한 이유
@@hyukppen
1. 영상을 안보고 피드백을 쓸정도로 무책임하지는 않아요 ㅋㅋㅋ 오해의 소지가 있었다면 미안합니다.
AB=I를 푸는거지만 결국 elementary row opeartion을 연이어해서 역행렬을 구하는 과정이므로
A앞에 En*...*E2*E1*A=I를 하는 과정에 대한언급이 없다는게 제가 하고 싶은 얘기였습니다
결국 그럼 가는 방향이 B*A=I인걸 찾은 거니까요
이면에는 AB=BA=I가 숨어있는거라고 말씀드릴 수 있겠네요 (당연히 책에서 증명하지만 짚고넘어가서 나쁠건 없으니까요)
2)
rank라는 건 결국 linear transformation의 output이 몇차원 이냐라는 것이죠
A라는 행렬이 rank deficient하다고 했을 때 가령,
3차원의 벡터를 2차로보내게 된다면 3차에 해당하는 정보가 압축됐다고 볼 수 있겠습니다.
그러면 압축되기 전 정보가 원래 무엇이었는지 복구하기 어렵겠죠. 즉 inverse가 제대로 정의될 수 없습니다.
3. 혁펜하임님의 말씀은 이해했습니다.
스타트업이라는 소재가 신박하긴했습니다만 그 예시가 주는 해석이 완전 새롭다고 보기는 힘들다고 생각해요. 설명 방법이야 천차만별이지만 "세상에 여기에서만 볼 수 있는" 과 같은 표현은 좀 확대해석이라고 볼 수도 있고요. 이걸로 논문을 쓰거나 할 수 있는건 아니니까요.
많은 사람들에게 좋은 영상으로 다가가시는 만큼 그 스탠다드가 높았으면 하는 바람입니다.
@@운드리 음.. 저는 혁펜하임님 선대 수업을 쭉 따라오면서 운드리님이 말씀하신 설명이 부족하다 라는 느낌은 못받았습니다. 강의 잘 따라왔으면 개념적으로 충분히 다 이해 가능한 내용이라고 생각이 들어요. 운드리님은 element row operation 이라는 용어를 아신는 것 보니, 이미 혁펜하임님 강의가 아니더라도 선대를 미리 접하신분 같네요...
음 제가 혁펜하임님 강의를 보고도 이번 영상 내용을 충분히 이해가능하다고 생각하는 이유는 다음과 같아요.
1. 확장행렬을 통해 역행렬이 되는 이유를 캐치할 수 있었는가? 있습니다.
이에 대한 부분은 혁펜하임님의 Gauss-Jordan Elimination 강의에서의 확장 행렬 개념을 이해하면 충분히 유추해볼 수 있는 내용입니다.
역행렬의 정의가 AA^-1 = I 를 의미하기 때문에, 확장행렬로 A | I 를 나태내보고, 해당 행렬에 A를 I로 만드는 operation이 수행되면, I는 A^-1를 나타낸다는 것을 충분히 이해할 수 있습니다. (제가 알아서 이해했거든요..)
2 Full rank (square) matrix만 invertible 한 이유?
이는 혁펜하임님의 행렬의 네가지 공간을 이해했다면 충분히 이해하고 유추할 수 있는 내용이라고 생각합니다.
full rank이면, null space는 0 vector뿐이고, A의 column space만으로 전체 공간을 나타낼 수 있기 때문에, 해는 단 하나만 존재하게 되고, 이는 결국 역행렬은 반드시 존재한다는 것을 의미하기 때문입니다. (x=A^-1b)
+ 운드리님이 말씀하신 rank라는 것은 결국 linear transformation의 output이 몇차원이다 라는 개념은 아직 혁펜하임님의 강의를 쭉따라왔을때 깨달을 수 있는 부분은 아닌 것 같습니다. 다만, 행렬 공간의 개념과 행렬 곱셈의 정의 중 column space의 linear combination 이라는 개념을 생각해봤을 때, 운드리님께서 말씀하신 linear transformation이라는 개념은 행렬의 column vector로 이루어진 축으로 공간을 이동시킨다고 생각해 볼 수 있고, 이는 좌표 변환에서 이용될 수 있을 것 같다는 생각이 듭니다. 그렇게 생각해보면다면, rank deficinet일 경우 정보가 축소되어 이전 정보를 복구하기 어렵기 때문에 invertible하지 않다는 운드리님의 말씀이 이해되는 것 같습니다. 제가 이해한 내용이 맞나요?
결국 중요한건, 혁펜하임님 강의를 따라오면 제가 이렇게 운드리님과 얘기할 수 있을 정도로 개념을 이해할 수 있게 됐다는 것이고, 처음 보는 개념도 혁펜하임님의 강의를 보며 이건 왜 그럴까? 생각하고 유추해볼 수 있다는 것 아닐까 싶습니다.
그리고, 혁펜하임님께서 바라신 것은 본인의 입맛에 맞는 강의가 아니기 때문에 비판하는 문화가 아니라 개념에 대한 더 좋은 설명이 있다면 이를 풀어서 설명하고 서로 의견을 주고 받는 문화가 아닐까 생각합니다. 더 나아가 운드리님이 말씀하신 linear transformation이라는 개념을 아직 혁펜하임님의 강의에서는 설명하지 않았기 때문에 이개 념을 운드리님이 좀 더 자세히 설명해주시면 더 좋은 문화가 형성되지 않을까요?
linear transformation이라는 개념에 대한 저의 유추는 오직 혁펜하임님의 강의만 따라오고 제가 개인적으로 해본 유추이고, 이 부분이 틀렸다면 알려주시면 감사하겠습니다. 혁펜하임님도 그것을 바라실 것 같구요.
아무쪼록 2023년은 새해 복 많이 받으시기 바랍니다! 저도 운드리님을 비판할 생각은 없었다는 점, 알아주시기 바랍니다. (텍스트로 적기 때문에 제 어감이 전달되지 않을 수도 있을 것 같아 오해하실 수도 있다고 생각해서 노파심에 말씀드리네요.)