階乗と累乗の方程式

[@wtpotom]

一応グラフ的？にも求められそうです
f(x)=x!,g(x)=x^3-xとすると、
求めたいものはf(x)-g(x)=0となるxです。（x∈N)
ここでf(x)/f(x-1)=x , g(x)/g(x-1)=(x+1)/(x-2)となり、
x>=4において、f(x)/f(x-1)-g(x)/g(x-1)は常に正となります。
これはf(x)がg(x)よりも早く増大していくことを意味し、(f'(x)>g'(x)みたいなもの)
ある値よりも大きいxに対してf(x)-g(x)>0になることを意味します。
また、f(0)-g(0)=1,f(1)-g(1)=1,f(2)-g(2)=-6であることを加味すると
f(x)-g(x)は、1

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

コメント有難うございます。xを整数に限定する問題とすべきだったと反省してます。

[@wtpotom]

@@マルチーズ先生のやさしい東大数
確かに階乗って大学以降ではガンマ関数になるので自然数のみのイメージが無いですよね……
僕は大学数学をやってないので階乗イコール自然数のイメージだったのと
ガンマ関数の微分を知らなかったので
移動割合を微分代わりに使ってみました

[@仁科芳雄-k5b]

GeoGebraで「x!-x^3+x」のグラフを描いてみると、1.37あたりにも解があります。
この動画の後半でy!に言及していますが、これはx>2に解がないことを言っているだけで、上記の解を見逃しているのでは？

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

はい、その通りです。ガンマ関数まで拡張すると1.37あたり以外にも多数の解がありそうで、不適切でした。おまけ部分を削除しました。

[@クオッカワラビー-d7d]

えと、設問は正の整数とするか0以上の整数としなければいけません。
xは実数とする、とした場合はガンマ関数で考えなければいけません。
f(x) = x!-x^3+xのグラフを考えると、 1.372 < x < 1.374にもう一つの解が存在します。
よって、問題が不適切です。
がロア理論より、xは実数した場合は代数的に解くことは不可能です。
つまり、この問題はx = 5を代数的に解いて、他の解は代数的には解けませんということを証明する問題だったのですね！
高校入試レベルと思っていましたが、大学入試レベルでしたね。。。

[@레이-l2m]

高校入試で階乗はでません

[@うっちゃん-e8e]

x!₌x^3₋xより(x₋1)!₌x^2₋1₌(x₋1)(x₊1)　よって(x₋2)!₌x₊1　条件式よりx≧3
　x＝ 3,、4、5、6
(x₋2)!＝1、2、6、24
　x₊1＝4、5、6、7
x₌5で(x₋2)¡₌x₊1となりx≧6のとき(x₋2)!＞x₊1　よってx₌5
この問題は遊びに近いようなものと思われる。

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

そうですね。どちらが速く増加するかを把握して、確認していけば、解はおのずと分かります。

[@ぺにのこ]

実数はお手上げ

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

正の整数にすべきでした。。。

[@クオッカワラビー-d7d]

めずらしく、高校入試レベル。たまには息抜きですねｗ
1つ質問。他の投稿者サンたちも　1 = 0なので不適とか記述していますが、
そもそも等式が成り立たないので　=　とするのはイケナイ気がします。
左辺 = 1、右辺 = 0なので不適とすべきでは？？
採点基準がめちゃ厳しい京大なら、半分ぐらい減点されちゃいまんねや。

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

すんまへん。受験生は細心の注意が必要なのですね。

[@クオッカワラビー-d7d]

京大の採点基準が　イカレチ●ポなのです。
旧帝難関国公立でも、数点減点されうる。

[@あああ-l7t7i]

恒等式のときと同じ

[@hirano598]

0=1と書いても良いのでは？

[@クオッカワラビー-d7d]

0 = 1が正しいとするならば、0 は加法の単位元で、1 は乗法の単位元を指すことになっちゃいますがな。R を環とし、加法単位元 0 と乗法単位元
1 が一致しているとする。このときR は零環である。
数学者なら、0 = 1はこう解釈しますよ！
マジで入試で記述すると、採点者は数学者なのでがっつり減点するのは
このため。数学者じゃない方が採点する中堅大学程度ならば、スルーされるかもしれんが。
代数学勉強しようぜ！

[@ゴミ罵倒歓迎]

お、見たことある！丸パクリですね～

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

結構有名な問題のようで、いろんな方が動画をUPしているようですね。ガンマ関数まで拡張したところは余計でした。。。