4 boyutlu bir reel iç çarpım uzayında (2,0,0,0)ve (1,3,3,0) vektörleri in gerdiği uzayın ortogonal kompleamının bir ortonormal bazını bulunuz cevabını yazar mısınız
hocam bazlık durumuna bakmamız için en az boyut kadar vektöre ihtiyacımız yok mudur? Son yaptığınız örnekte R2 için tek vektörlü bazı kabul ettik fakat en az 2 vektörlü bir baz gerekmez miydi?
Fuat Serkan Orhan hocam mesela 2x2 kare matriksin tüm elemanları aynı olsun. Bu matris lineer bağımlı olur ve baz oluşturmaz.boyutu da 1 mi olur boyut konusunda kafam karıştı
Fuat Serkan Orhan hocam o videonuzu da izledim. Boyuta baz kümesindeki eleman sayısı dedik fakat sayıları aynı olan 2x2 matris lineer bağımlı olduğu için baz oluşturmaz.fakat satır uzayının bazı veya sütun uzayının bazına baktığımızda eleman sayısı 1 oluyor rank 1 oluyor.2x2 tüm elemanları aynı olan matrisin satır uzayınım oluşturan küme uzayımızı gerer diyebiliriz değil mi? Boyut= rank diyebilir miyiz hocam
||=||u||.||v|| (Yani, Cauchy-schwarz eşitsizliği eşitliğe indirgenmiş). Bu durumda u ve v nin lineer bağımsız olduğunu gösterebilmem için nasıl bir yol izlemem gerekli hocam? Yardımcı olabilir misiniz?
sl.bing.net/vs1VYlLa7U Tabii ki, yardımcı olabilirim! Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin eşitliğe indirgenmiş hali, iki vektörün doğrusal bağımlı olduğunu gösterir. Yani, $$| \langle u, v angle | = \|u\| \cdot \|v\|$$ eşitliği, $$u$$ ve $$v$$ vektörlerinin doğrusal bağımlı olduğunu ifade eder. Ancak, siz $$u$$ ve $$v$$ vektörlerinin doğrusal bağımsız olduğunu göstermek istiyorsunuz. Bu durumda, Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin eşitlik durumunun sağlanmadığını göstermeniz yeterli olacaktır. İşte adımlar: 1. **Cauchy-Schwarz Eşitsizliğini Uygulama**: Öncelikle, $$u$$ ve $$v$$ vektörleri için Cauchy-Schwarz eşitsizliğini yazın: $$| \langle u, v angle | \leq \|u\| \cdot \|v\|$$ 2. **Eşitlik Durumunu İnceleme**: Eğer $$| \langle u, v angle | < \|u\| \cdot \|v\|$$ ise, bu durumda $$u$$ ve $$v$$ doğrusal bağımsızdır. Çünkü eşitlik durumu yalnızca doğrusal bağımlılık durumunda sağlanır. 3. **Örnek Hesaplama**: $$u$$ ve $$v$$ vektörlerinin iç çarpımını ve normlarını hesaplayın. Eğer iç çarpımın mutlak değeri, normların çarpımından küçükse, doğrusal bağımsız olduklarını kanıtlamış olursunuz. Örneğin, $$u = (1, 2)$$ ve $$v = (3, 4)$$ vektörlerini ele alalım: - $$\langle u, v angle = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$$ - $$\|u\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$ - $$\|v\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$ Bu durumda: $$| \langle u, v angle | = 11$$ ve $$\|u\| \cdot \|v\| = \sqrt{5} \cdot 5 = 5\sqrt{5} \approx 11.18$$ Gördüğünüz gibi, $$11 < 11.18$$ olduğu için $$u$$ ve $$v$$ doğrusal bağımsızdır. Bu adımları izleyerek, vektörlerinizin doğrusal bağımsız olup olmadığını belirleyebilirsiniz. Başka bir sorunuz olursa, lütfen sormaktan çekinmeyin! Kaynak: Copilot ile konuşma. 09.10.2024 (1) Cauchy-Schwarz inequality - Wikipedia. en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality. (2) 6.7 Cauchy-Schwarz Inequality - University of California, Berkeley. math.berkeley.edu/~arash/54/notes/6_7.pdf. (3) Prove the Cauchy-Schwarz Inequality - Problems in Mathematics. yutsumura.com/prove-the-cauchy-schwarz-inequality/. (4) Cauchy-Schwarz inequality proof - Linear Algebra and Applications. pressbooks.pub/linearalgebraandapplications/chapter/cauchy-schwarz-inequality-proof/.
4 boyutlu bir reel iç çarpım uzayında (2,0,0,0)ve (1,3,3,0) vektörleri in gerdiği uzayın ortogonal kompleamının bir ortonormal bazını bulunuz cevabını yazar mısınız
hocam bazlık durumuna bakmamız için en az boyut kadar vektöre ihtiyacımız yok mudur? Son yaptığınız örnekte R2 için tek vektörlü bazı kabul ettik fakat en az 2 vektörlü bir baz gerekmez miydi?
R2 ye baz aramiyoruz ki sorudaki dogruya ariyoruz.
Fuat Serkan Orhan anladım hocam haklısınız. Geri bildiriminiz için teşekkür ederim
hocam lineer bağımsızlık şartı sağlanmıyor ise baz oluşturmaz ve boyut sıfırdır diyebilir miyiz ?
Baz olusturmaz diyebiliriz.
Fuat Serkan Orhan hocam mesela 2x2 kare matriksin tüm elemanları aynı olsun. Bu matris lineer bağımlı olur ve baz oluşturmaz.boyutu da 1 mi olur boyut konusunda kafam karıştı
Sutun uzayinin boyutu 1 olur. Buna da rank deniyor. Ilerideki videolarda bu kavram geciyor.
Fuat Serkan Orhan hocam o videonuzu da izledim. Boyuta baz kümesindeki eleman sayısı dedik fakat sayıları aynı olan 2x2 matris lineer bağımlı olduğu için baz oluşturmaz.fakat satır uzayının bazı veya sütun uzayının bazına baktığımızda eleman sayısı 1 oluyor rank 1 oluyor.2x2 tüm elemanları aynı olan matrisin satır uzayınım oluşturan küme uzayımızı gerer diyebiliriz değil mi? Boyut= rank diyebilir miyiz hocam
||=||u||.||v|| (Yani, Cauchy-schwarz eşitsizliği eşitliğe indirgenmiş). Bu durumda u ve v nin lineer bağımsız olduğunu gösterebilmem için nasıl bir yol izlemem gerekli hocam? Yardımcı olabilir misiniz?
sl.bing.net/vs1VYlLa7U
Tabii ki, yardımcı olabilirim! Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin eşitliğe indirgenmiş hali, iki vektörün doğrusal bağımlı olduğunu gösterir. Yani, $$| \langle u, v
angle | = \|u\| \cdot \|v\|$$ eşitliği, $$u$$ ve $$v$$ vektörlerinin doğrusal bağımlı olduğunu ifade eder.
Ancak, siz $$u$$ ve $$v$$ vektörlerinin doğrusal bağımsız olduğunu göstermek istiyorsunuz. Bu durumda, Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin eşitlik durumunun sağlanmadığını göstermeniz yeterli olacaktır. İşte adımlar:
1. **Cauchy-Schwarz Eşitsizliğini Uygulama**: Öncelikle, $$u$$ ve $$v$$ vektörleri için Cauchy-Schwarz eşitsizliğini yazın:
$$| \langle u, v
angle | \leq \|u\| \cdot \|v\|$$
2. **Eşitlik Durumunu İnceleme**: Eğer $$| \langle u, v
angle | < \|u\| \cdot \|v\|$$ ise, bu durumda $$u$$ ve $$v$$ doğrusal bağımsızdır. Çünkü eşitlik durumu yalnızca doğrusal bağımlılık durumunda sağlanır.
3. **Örnek Hesaplama**: $$u$$ ve $$v$$ vektörlerinin iç çarpımını ve normlarını hesaplayın. Eğer iç çarpımın mutlak değeri, normların çarpımından küçükse, doğrusal bağımsız olduklarını kanıtlamış olursunuz.
Örneğin, $$u = (1, 2)$$ ve $$v = (3, 4)$$ vektörlerini ele alalım:
- $$\langle u, v
angle = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$$
- $$\|u\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$
- $$\|v\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$
Bu durumda:
$$| \langle u, v
angle | = 11$$ ve $$\|u\| \cdot \|v\| = \sqrt{5} \cdot 5 = 5\sqrt{5} \approx 11.18$$
Gördüğünüz gibi, $$11 < 11.18$$ olduğu için $$u$$ ve $$v$$ doğrusal bağımsızdır.
Bu adımları izleyerek, vektörlerinizin doğrusal bağımsız olup olmadığını belirleyebilirsiniz. Başka bir sorunuz olursa, lütfen sormaktan çekinmeyin!
Kaynak: Copilot ile konuşma. 09.10.2024
(1) Cauchy-Schwarz inequality - Wikipedia. en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality.
(2) 6.7 Cauchy-Schwarz Inequality - University of California, Berkeley. math.berkeley.edu/~arash/54/notes/6_7.pdf.
(3) Prove the Cauchy-Schwarz Inequality - Problems in Mathematics. yutsumura.com/prove-the-cauchy-schwarz-inequality/.
(4) Cauchy-Schwarz inequality proof - Linear Algebra and Applications. pressbooks.pub/linearalgebraandapplications/chapter/cauchy-schwarz-inequality-proof/.