Şimdi Benim Anladığım: ~ Bir denkleme bağlı fonksiyon örüntüsünün x'inin derecesiyle katsayısını arttırıcı ya da azaltıcı işlemlere tabii tutarak (toplama çarpma çıkarma) polinom haline getirebiliriz. Polinom sonsuz işlem halinde devam edecek olursa bu artık bir polinom olmaktan çıkar, lim değeriyle sonsuz toplam sembolünün içinde gösterilen bir seriye dönüşür. Ancak sonlu seriler (özelliği belirtilmeli) bundan farklı olarak kendi formül açılımı içinde polinom ifadelerinin toplamını bildirir, mevzuyu daha da açacak olursak polinomlar fonksiyonların işleme tabii tutulmuş haliydi zaten. :)) → Haliyle polinomlarda kökler toplamı ve çarpımı aslında içinde bulunan iki ayrı fonksiyonun birbirine göre durumlarını bildirir/belirtir. → Serilerde limit incelenmesi yakınsama ıraksama kavramları üzerinden açılımlanır ve lise müfredatındaki limit konusundan farklı olarak her zaman belli bir değere tam anlamıyla 0,1 farklık değerlerle yaklaşmak zorunda değildir. Bazen ne kadar uç değerler verseniz de eksen üzerinde ileri gitmeye direnebilir. Böyle olursa toplamların alabileceği max min değeri fonksiyon bağlamında direkt çıkmış olur, limit değeriyle daha fazla ileri gitmenize gerek kalmaz. Logaritmik fonksiyonlar örnek olarak böyle diye biliyorum. (Seri içerisinde ifade edilen toplamların lim değeri incelenecekse x'e değer verilirken genelde sıfır verilir, herhangi bir değer ifade etmeyen +∞, -∞ haricinde yani.) Benden yorumu okuyacaklara birkaç ‘Math Funfact’ daha: ~ Polinom dediğimiz şey grafiksel boyutta birbirinin üzerine bindirilmiş izdüşümsel doğruların yukarı ya da aşağıya dönük bir eğri haline gelmesi ve yeniden boyutlandırılarak çizimidir, türevinin tersini aldığımızda (basitleştirilmiş anlatımla türev alımında eğriden doğruya geçişli bir yaklaşım söz konusuyken türevinin tersini almamız doğrudan eğriye geçişli bir yaklaşıma yani tersine karşılık gelir, basitleştirilmiş anlatımdan çıkıyorum ama bu alt dimensionların tersine üst dimensionlara taşımamızla olur→ İNTEGRAL*) kırılma noktalarındaki geçişleri düzeltip eğriyi asıl formuna yaklaştırmış oluyoruz. Birazdan az önce söylediklerimin üzerine tekrar türev alımından bahsedeceğim. Artan yönde eğimlerle birbirini takip eden x ekseni boyunca ötelenmiş ve kesişimli doğru parçalarını var olmayan bir eğriye yaklaştırdık, şimdi elde ettiğimiz eğriyi tekrardan hepsini kapsayacak bir doğru denklemine yaklaştırıp tüm o kesişim noktaları bulunan ama parçalı haldeki fonksiyonları tek bir polinom derecesi altında birleştirmiş olacağız. Yani önce herkesin bildiği kısmı söyleyeyim, sonra üzerine ekleme yapayım: Polinom denkleminden eğimi direkt bulamayız, bu yüzden teğet bir doğru çekmemiz gerekir. Bunu zaten biliyoruz. Bu aşamayı geçtikten sonra denklemimizi türev aracılığıyla derinlik algısından kurtarıp bir alt dimension'a düşürerek bulduğumuz cebirsel sonucu eğime eşitleriz. (Sabitlemek daha doğru bir kelime kullanımı olurdu, işlemlere dahil edilmeyen dx sapma payı var) Benim yorumum olan kısma geri döndüğümüzde önce türevinin tersini sonra ise türevini almamız denklemi cebirsel anlamda herhangi bir değişikliğe uğratmayacak ama grafiğin yeniden yapılandırma aşamalarından geçirip son haline gelmesini sağlayacak gerekli bir şeydi ve polinomların grafik üzerinde fonksiyonel açılımlarına kadar iniyordu. ~ Polinomlar söz konusuysa türevinin türevini aldığınızda bir teğet doğruyla, eğime denkleştirilmiş eğri (ilk türev alma eyleminin sonucu) arasındaki ortalama hız değişimini inceleyebilirsiniz. (Hatta bunları serilere de uyarlayabilir, elinizdeki polinom denkleminin bir serinin içine girdiğinde nasıl davrandığını inceleyebilirsiniz.) Doğrularda daha ilk türev alımında bunu yapabiliyorsunuz ama bir doğru ve bir eğri örneğinde önce eğriyi türevini alarak mevcut doğruya yaklaştırmanız gerekiyor. Türevi ortalama değişim incelemelerine açık olan doğrusal denklemlere kıyasla parabol ya da parabol üstü derece bildiren grafiklerde ikinciye türev almadan ortalama hız incelemesini yapamıyoruz, önce eğriyi eğim değerine sabitlemek lazım. ... Beyin yakma seansımızın sonuna geldik. İngilizce kaynakları taramanın ve üstüne yorum yeteneğini geliştirmenin önemi, herkese saygılar. 🙏🏻❤
Polinomlar ve sonlu seri ilişkisini daha iyi anlamak isteyen biri olursa buraya ufak bir alt başlık bırakıyorum araştırma konusu gibi düşünebilirsiniz: Taylor serisinde sıfır polinomu gösterimi. (Türevlenebilirlik ve faktoriyel ilişkisini de ortaya koyar aynı zamanda.)
11:21 Reel sayılardan tam sayılara ya da rasyonel sayılara geçişli iki küme alabiliyor muyuz peki? 11:49 Çarpma yaptığımız zaman kesirli bir ifadeyse o kaybolacağı için Q → Z oluyor sanırım, klavye üstünde tam gösteremedim şimdi.
Tabii ki, iyi tanımladığınız sürece fonksiyonu istediğin gibi tanımlayabilirsiniz. Hatta tüm bunlara gerek kalmadan her şeyi R[x]'te de çalışabilirsiniz, tam sayılar reel sayıların bir alt kümesi olduğundan her tam katsayılı polinom aynı zamanda bir reel kat sayılı polinomdur.
@@nedokaryus O zaman önemli olan denklem şartlarının düzgün bir şekilde belirlenmesi istenen aralıkta sonuca ulaşabilmek açısından. Çok teşekkürler, şimdi daha net oldu benim için her şey. 😊
@@nedokaryus Ben kümeleri tanımlamada pek iyi değilim, zihnimde aşırı soyut kalıyor. Grafikleri kavrayabilmek açısından grafik animasyonlarıyla zenginleştirilmiş matematik içeriklerini takip ediyorum ya da desmostan faydalanıyorum ama kümeleri nasıl görselleştirip kendime sürekli hatırlatabileceğim konusunda hiçbir fikrim yok maalesef. Tavsiyelere açığım bu konuda. 😅
@@heartbreakersplace Bir süre cebelleştikten sonra alışıyorsun diyeyim. Kümeler matematiğin her yerinde çıktığı için onlar olmadan bir şey yapamıyorum ben de :D Cebir ve topoloji gibi soyut kavramlar çok çalıştığım için grafikler de beni yoruyo tam tersine. Görselleştirmelerin nasıl yapıldığına dair ben de tavsiyelere açığım 😁
@@nedokaryus Benim şuan mezun senesinde yeniden hazırlanan bir öğrenci olarak bahsettiğiniz konularda tavsiye vermem biraz zor ama grafikler açısından söyleyebileceğim birkaç şey çıkar belki. Geçen seneki sınav deneyimimden anladığım söz konusu matematikse hiçbir yerden bilgi açığı bırakmayacak şekilde çalışmak büyük önem arz ediyor, kast ettiğim sırf konu eksiği olarak da düşünülmesin. Sadece ayt kısmı için konuşacak olursak bile dağ kadar yapılması gerekenler yığını oluşuyor yani bu işin grafiklerle görselleştirilmesi var, kök bulma denklem yazımı konusunda el pratiğinin oturması, sorulara sezgisel yaklaşımlar geliştirebilme ve bilgi temelli yorumlar getirebilmek o kadar hızlı ve kolay elde edilmiyor. Belki başka arkadaşlar da burayı okur diye kendi sınav deneyimimden yola çıkarak bazı şeylerden bahsetmek istiyorum aslında. Benim çok fazla dağıldığım an oldu sınavdan sonraki süreçte ama bir artı olarak karakter açısından kendimi gösterebildiğim zamanlar bu kritik karar anları ve hemen sonrasında gelişti diyebilirim. Arkamda hiç kimsenin desteği yokken bir elimde geçen senenin başarısız sonucu, diğer elimde tüm bunları değiştirebileceğim bir fırsat vardı. Ben de yaz tatili demeden kısa vadede birikim oluşturabilmek adına insani şartlardan uzak bir işe girdim, kendime dershane kitap yatırımı yapabilmem gibi olası durumlara karşı dayanak noktam oluşmuş oldu böylece. Ortam değiştirmek zorunda olduğumu biliyordum ailevi durumumdan ötürü, o yüzden kendimi maddi açıdan biraz sağlama aldığımı hissedince yakın bir akrabamın evine taşındım. Kısacası iş güç olsun ders düzeni ve insan ilişkileri olsun türlü türlü uyum sürecinden geçmem, bunları olabilecek en sağlıklı şekilde atlatmam gerekti yani ne kadar olabiliyorsa işte. Yani kötü şeyler iyi şeyleri beraberinde getiriyor o an bunu pek göremesek de. Bir iki ay öncesine baktığımda bile matematiği anlayarak öğrenme bakımından aldığım yolu gözlemleyebiliyorum ve bu da doğru yolda olduğum anlamına gelir. Yukarıda yazdığım koca paragraf ikinci el matematik kitaplarıyla yatıp kalktığım masa bile olmayan bir sehpa üzerinde çalışırken saatleri devirdiğim bir ayın birikimi sadece. Şükür ki genele kıyasla kavrama hızım yüksek, yoksa matematik adına bu kadar bilgi açığı bir iki aylık kısa bir zaman diliminde oturmazdı bende de. Demem o ki bir insanın kendi sınırlarını keşfetmesi kendiniz için doğru kararlar verirken çevrenin eleştirisine maruz kaldığınız kritik zamanlarda belli oluyor, bazen bazı şeyler de yeni başlangıçlar yapmaya ne kadar hazırsınız vb şartları imkanlarınız doğrultusunda değiştirme gayretiyle oluyormuş. Geçen sene sınavı kazanmak için girdim ama hangi kriterlerle olduğu konusu kafamı sürekli karıştırıyordu. Bu sene ise kendimi derece seviyesine çıkararak sadece kazanmak da değil sınavın hakkını vere vere kazanma gayesiyle hazırlanıyorum, sanırım fark bu. Şuan bile bir gündeki on iki saatlik uyanık zaman dilimini bir buçuk iki günmüş gibi sürdürüyorum ben, mesela bugün dünden uykusuz takılıyorum ders videolarında. Rüyamda Tunç Kurt falan görmem muhtemel bir senaryo artık uyuduğum kısıtlı vakitlerde. 😅 Neyse biraz lafı da uzattım kusura bakmayın, kendimi kaptırmış bulundum. İlk başta grafik için bazı önerilerde bulunabilirim demiştim. Desmos dışında fonksiyonların çalışma mantığını anlamak için bilgisayar programlarında input output testleri yapmak birebir, o konuda diyebileceğim basit temelde yazılım dilini kurcalayıp öğrenmeye çalışmakla oturuyor fonksiyonların çalışma prensibi. Bende öyle oldu yani. Ayrıca tek başına desmos kullanmak değil de temel grafiklerin çizimine eli alıştırmak gerekiyor kağıt üstünde. Tabii ben desmos kullanacağım diyenler yanında kök bulma/köklerine ayırma konusunda işe yarar bir root calculator uygulaması kullanmayı da ihmal etmesinler naçizane tavsiyem. İyi çalışmalar dilerim herkese. (Ya da iyi geceler mi desem bilemedim.) ✍️✨
Şimdi Benim Anladığım:
~ Bir denkleme bağlı fonksiyon örüntüsünün x'inin derecesiyle katsayısını arttırıcı ya da azaltıcı işlemlere tabii tutarak (toplama çarpma çıkarma) polinom haline getirebiliriz. Polinom sonsuz işlem halinde devam edecek olursa bu artık bir polinom olmaktan çıkar, lim değeriyle sonsuz toplam sembolünün içinde gösterilen bir seriye dönüşür. Ancak sonlu seriler (özelliği belirtilmeli) bundan farklı olarak kendi formül açılımı içinde polinom ifadelerinin toplamını bildirir, mevzuyu daha da açacak olursak polinomlar fonksiyonların işleme tabii tutulmuş haliydi zaten. :))
→ Haliyle polinomlarda kökler toplamı ve çarpımı aslında içinde bulunan iki ayrı fonksiyonun birbirine göre durumlarını bildirir/belirtir.
→ Serilerde limit incelenmesi yakınsama ıraksama kavramları üzerinden açılımlanır ve lise müfredatındaki limit konusundan farklı olarak her zaman belli bir değere tam anlamıyla 0,1 farklık değerlerle yaklaşmak zorunda değildir. Bazen ne kadar uç değerler verseniz de eksen üzerinde ileri gitmeye direnebilir. Böyle olursa toplamların alabileceği max min değeri fonksiyon bağlamında direkt çıkmış olur, limit değeriyle daha fazla ileri gitmenize gerek kalmaz. Logaritmik fonksiyonlar örnek olarak böyle diye biliyorum. (Seri içerisinde ifade edilen toplamların lim değeri incelenecekse x'e değer verilirken genelde sıfır verilir, herhangi bir değer ifade etmeyen +∞, -∞ haricinde yani.)
Benden yorumu okuyacaklara birkaç ‘Math Funfact’ daha:
~ Polinom dediğimiz şey grafiksel boyutta birbirinin üzerine bindirilmiş izdüşümsel doğruların yukarı ya da aşağıya dönük bir eğri haline gelmesi ve yeniden boyutlandırılarak çizimidir, türevinin tersini aldığımızda (basitleştirilmiş anlatımla türev alımında eğriden doğruya geçişli bir yaklaşım söz konusuyken türevinin tersini almamız doğrudan eğriye geçişli bir yaklaşıma yani tersine karşılık gelir, basitleştirilmiş anlatımdan çıkıyorum ama bu alt dimensionların tersine üst dimensionlara taşımamızla olur→ İNTEGRAL*) kırılma noktalarındaki geçişleri düzeltip eğriyi asıl formuna yaklaştırmış oluyoruz. Birazdan az önce söylediklerimin üzerine tekrar türev alımından bahsedeceğim. Artan yönde eğimlerle birbirini takip eden x ekseni boyunca ötelenmiş ve kesişimli doğru parçalarını var olmayan bir eğriye yaklaştırdık, şimdi elde ettiğimiz eğriyi tekrardan hepsini kapsayacak bir doğru denklemine yaklaştırıp tüm o kesişim noktaları bulunan ama parçalı haldeki fonksiyonları tek bir polinom derecesi altında birleştirmiş olacağız. Yani önce herkesin bildiği kısmı söyleyeyim, sonra üzerine ekleme yapayım: Polinom denkleminden eğimi direkt bulamayız, bu yüzden teğet bir doğru çekmemiz gerekir. Bunu zaten biliyoruz. Bu aşamayı geçtikten sonra denklemimizi türev aracılığıyla derinlik algısından kurtarıp bir alt dimension'a düşürerek bulduğumuz cebirsel sonucu eğime eşitleriz. (Sabitlemek daha doğru bir kelime kullanımı olurdu, işlemlere dahil edilmeyen dx sapma payı var) Benim yorumum olan kısma geri döndüğümüzde önce türevinin tersini sonra ise türevini almamız denklemi cebirsel anlamda herhangi bir değişikliğe uğratmayacak ama grafiğin yeniden yapılandırma aşamalarından geçirip son haline gelmesini sağlayacak gerekli bir şeydi ve polinomların grafik üzerinde fonksiyonel açılımlarına kadar iniyordu.
~ Polinomlar söz konusuysa türevinin türevini aldığınızda bir teğet doğruyla, eğime denkleştirilmiş eğri (ilk türev alma eyleminin sonucu) arasındaki ortalama hız değişimini inceleyebilirsiniz. (Hatta bunları serilere de uyarlayabilir, elinizdeki polinom denkleminin bir serinin içine girdiğinde nasıl davrandığını inceleyebilirsiniz.) Doğrularda daha ilk türev alımında bunu yapabiliyorsunuz ama bir doğru ve bir eğri örneğinde önce eğriyi türevini alarak mevcut doğruya yaklaştırmanız gerekiyor. Türevi ortalama değişim incelemelerine açık olan doğrusal denklemlere kıyasla parabol ya da parabol üstü derece bildiren grafiklerde ikinciye türev almadan ortalama hız incelemesini yapamıyoruz, önce eğriyi eğim değerine sabitlemek lazım.
...
Beyin yakma seansımızın sonuna geldik. İngilizce kaynakları taramanın ve üstüne yorum yeteneğini geliştirmenin önemi, herkese saygılar. 🙏🏻❤
Polinomlar ve sonlu seri ilişkisini daha iyi anlamak isteyen biri olursa buraya ufak bir alt başlık bırakıyorum araştırma konusu gibi düşünebilirsiniz: Taylor serisinde sıfır polinomu gösterimi. (Türevlenebilirlik ve faktoriyel ilişkisini de ortaya koyar aynı zamanda.)
enfes bir video hocam anladığımı biliyorumama anlamadım gibi hissediyorum sorun bende :d
o çok normal bir şey anladığını gösterir çoğu zaman
11:21
Reel sayılardan tam sayılara ya da rasyonel sayılara geçişli iki küme alabiliyor muyuz peki?
11:49 Çarpma yaptığımız zaman kesirli bir ifadeyse o kaybolacağı için Q → Z oluyor sanırım, klavye üstünde tam gösteremedim şimdi.
Tabii ki, iyi tanımladığınız sürece fonksiyonu istediğin gibi tanımlayabilirsiniz. Hatta tüm bunlara gerek kalmadan her şeyi R[x]'te de çalışabilirsiniz, tam sayılar reel sayıların bir alt kümesi olduğundan her tam katsayılı polinom aynı zamanda bir reel kat sayılı polinomdur.
@@nedokaryus O zaman önemli olan denklem şartlarının düzgün bir şekilde belirlenmesi istenen aralıkta sonuca ulaşabilmek açısından. Çok teşekkürler, şimdi daha net oldu benim için her şey. 😊
@@nedokaryus
Ben kümeleri tanımlamada pek iyi değilim, zihnimde aşırı soyut kalıyor. Grafikleri kavrayabilmek açısından grafik animasyonlarıyla zenginleştirilmiş matematik içeriklerini takip ediyorum ya da desmostan faydalanıyorum ama kümeleri nasıl görselleştirip kendime sürekli hatırlatabileceğim konusunda hiçbir fikrim yok maalesef. Tavsiyelere açığım bu konuda. 😅
@@heartbreakersplace Bir süre cebelleştikten sonra alışıyorsun diyeyim. Kümeler matematiğin her yerinde çıktığı için onlar olmadan bir şey yapamıyorum ben de :D Cebir ve topoloji gibi soyut kavramlar çok çalıştığım için grafikler de beni yoruyo tam tersine. Görselleştirmelerin nasıl yapıldığına dair ben de tavsiyelere açığım 😁
@@nedokaryus
Benim şuan mezun senesinde yeniden hazırlanan bir öğrenci olarak bahsettiğiniz konularda tavsiye vermem biraz zor ama grafikler açısından söyleyebileceğim birkaç şey çıkar belki. Geçen seneki sınav deneyimimden anladığım söz konusu matematikse hiçbir yerden bilgi açığı bırakmayacak şekilde çalışmak büyük önem arz ediyor, kast ettiğim sırf konu eksiği olarak da düşünülmesin. Sadece ayt kısmı için konuşacak olursak bile dağ kadar yapılması gerekenler yığını oluşuyor yani bu işin grafiklerle görselleştirilmesi var, kök bulma denklem yazımı konusunda el pratiğinin oturması, sorulara sezgisel yaklaşımlar geliştirebilme ve bilgi temelli yorumlar getirebilmek o kadar hızlı ve kolay elde edilmiyor.
Belki başka arkadaşlar da burayı okur diye kendi sınav deneyimimden yola çıkarak bazı şeylerden bahsetmek istiyorum aslında. Benim çok fazla dağıldığım an oldu sınavdan sonraki süreçte ama bir artı olarak karakter açısından kendimi gösterebildiğim zamanlar bu kritik karar anları ve hemen sonrasında gelişti diyebilirim. Arkamda hiç kimsenin desteği yokken bir elimde geçen senenin başarısız sonucu, diğer elimde tüm bunları değiştirebileceğim bir fırsat vardı. Ben de yaz tatili demeden kısa vadede birikim oluşturabilmek adına insani şartlardan uzak bir işe girdim, kendime dershane kitap yatırımı yapabilmem gibi olası durumlara karşı dayanak noktam oluşmuş oldu böylece. Ortam değiştirmek zorunda olduğumu biliyordum ailevi durumumdan ötürü, o yüzden kendimi maddi açıdan biraz sağlama aldığımı hissedince yakın bir akrabamın evine taşındım. Kısacası iş güç olsun ders düzeni ve insan ilişkileri olsun türlü türlü uyum sürecinden geçmem, bunları olabilecek en sağlıklı şekilde atlatmam gerekti yani ne kadar olabiliyorsa işte. Yani kötü şeyler iyi şeyleri beraberinde getiriyor o an bunu pek göremesek de. Bir iki ay öncesine baktığımda bile matematiği anlayarak öğrenme bakımından aldığım yolu gözlemleyebiliyorum ve bu da doğru yolda olduğum anlamına gelir. Yukarıda yazdığım koca paragraf ikinci el matematik kitaplarıyla yatıp kalktığım masa bile olmayan bir sehpa üzerinde çalışırken saatleri devirdiğim bir ayın birikimi sadece. Şükür ki genele kıyasla kavrama hızım yüksek, yoksa matematik adına bu kadar bilgi açığı bir iki aylık kısa bir zaman diliminde oturmazdı bende de. Demem o ki bir insanın kendi sınırlarını keşfetmesi kendiniz için doğru kararlar verirken çevrenin eleştirisine maruz kaldığınız kritik zamanlarda belli oluyor, bazen bazı şeyler de yeni başlangıçlar yapmaya ne kadar hazırsınız vb şartları imkanlarınız doğrultusunda değiştirme gayretiyle oluyormuş. Geçen sene sınavı kazanmak için girdim ama hangi kriterlerle olduğu konusu kafamı sürekli karıştırıyordu. Bu sene ise kendimi derece seviyesine çıkararak sadece kazanmak da değil sınavın hakkını vere vere kazanma gayesiyle hazırlanıyorum, sanırım fark bu. Şuan bile bir gündeki on iki saatlik uyanık zaman dilimini bir buçuk iki günmüş gibi sürdürüyorum ben, mesela bugün dünden uykusuz takılıyorum ders videolarında. Rüyamda Tunç Kurt falan görmem muhtemel bir senaryo artık uyuduğum kısıtlı vakitlerde. 😅
Neyse biraz lafı da uzattım kusura bakmayın, kendimi kaptırmış bulundum. İlk başta grafik için bazı önerilerde bulunabilirim demiştim. Desmos dışında fonksiyonların çalışma mantığını anlamak için bilgisayar programlarında input output testleri yapmak birebir, o konuda diyebileceğim basit temelde yazılım dilini kurcalayıp öğrenmeye çalışmakla oturuyor fonksiyonların çalışma prensibi. Bende öyle oldu yani. Ayrıca tek başına desmos kullanmak değil de temel grafiklerin çizimine eli alıştırmak gerekiyor kağıt üstünde. Tabii ben desmos kullanacağım diyenler yanında kök bulma/köklerine ayırma konusunda işe yarar bir root calculator uygulaması kullanmayı da ihmal etmesinler naçizane tavsiyem.
İyi çalışmalar dilerim herkese. (Ya da iyi geceler mi desem bilemedim.) ✍️✨