[뉴진수] 선적분의 기본정리에 대한 직관, 다변수 함수의 최적화와 곡면

[@h2ogun26]

질문 1번 관련된 내용이 궁금해서 들어왔습니다.
48분 쯤에 말씀해주신걸 토대로 어렴풋이 든 생각은
TpM의 원소(접평면상 벡터)를 받아서 R값(함수 변화량 근사값)을 뱉어내는 듀얼벡터들을 가지고 2차곡선 형태의 등고선을 만든거처럼 보입니다.
2차곡선 방정식 ax^2+bxy+cy^2+dx+fx+g=0에서 1차 항과 상수는 각각 곡면의 기울기와 높이에만 영향을 주고 2차 항들이 구부러진 곡면의 형태들을 잡아주는 항들이라 걔네만 가지고
행렬형태로 만든것 처럼 보여요.
등고선은 f(x,y)=c로 함수값을 고정시켜서 나오는 점들의 집합이고 이 집합 밖으로 나가는 움직임을 가지면
함수값이 증가하거나 감소할 것이고 등고선을 따라 움직이면 함수값의 변화가 없을 테니까
등고선(로컬하게 함수값이 변화하지 않는 공간)을 가지고 로컬하게 곡면의 형태를 가늠하는것처럼 생각됩니다.
이 등고선의 계수가 쌍곡선 모양이면 움직일 때 등고선을 넘어서 나아가거나 넘어서 들어오는 방향이 각각 x와 y 방향이고 (수직하게 등고선을 넘는 방향인건 아닌것 같습니다. 다만 적어도 한방향이 함수값이 증가하는 방향이면 그것에 수직한 방향은 반드시 감소하는 방향인건 맞는거 같습니다.)
그래서 적어도 로컬한 공간에서 새들포인트를 그리고
원의 방정식 형태면 미분계수를 구한 지점에선 어느 방향으로 나아가도 동일하게 함수값이 모두 증가하거나 모두 감소하니까
로컬하게 3차원 파라볼라 형태가 나오고
등등..
그래서 정리하면
TpM 벡터들을 변수로 받아서 증가량을 뱉어내는 듀얼들을 가지고 만들어진 등고선을
2차 곡선의 계수와 형태에 대한 정보들과 대응시켜
로컬한 곡면의 형태를 bowl/saddlepoint/flat 로 구분짓는것 같습니다.