結合法則が成り立たない演算の例を二つ、身近なところから紹介します。 まず論理演算の「ならば」、記号で書けば「→」があります。 A → ( B → C ) と ( A → B ) → C は同値ではありません。 他には、累乗演算ですね。 a ^ ( b ^ c ) と ( a ^ b ) ^ c は一般には同じになりません。 括弧が省略されている場合、（絶対ではないですが）数学・論理学では先のどちらの例でも概ね上の式の意味だと解釈します。 演算が可換でもなく結合的でもない場合はなるべく括弧を使って書いた方が伝わりやすいです。 （先の累乗の場合のように、数学においては慣習として省略形の解釈がほぼ決まっていることもあります。） *因みに「累乗を連ねた表記は右肩から順に結合が強いと解釈する」というこの慣例の説明について、「累乗は非可換な演算だから」と説明する人がいますが関係ありません。 もしその解釈に合わせるのなら、先の「ならば」の例では、 A → B は「 Aに対して右演算 (→ B) を施している」と解釈するのが自然ということになるでしょうが、そんな事実はありません。 二項演算としての累乗の表記で慣例的に「底と指数」の役割を区別し、右演算っぽく表記しているからそう思えるだけです。つまりこれも慣例という以外に強い理由はありません。
![【厳密に学ぶ高校数学#5】[1-4]加法に関する簡約法則と自然数の減法](http://i.ytimg.com/vi/ouPV5Xedygc/mqdefault.jpg)
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暗黙のうちに筆算の知識を仮定してるの面白い
一見自明なものを証明していく作業は、すごく刺さる人とそうでない人がかなりクッキリと分かれちゃいますよね〜(私は前者なので応援しています！)
高校生が厳格に数学をしている
数学科に入る前の入門として
素晴らしいですね
証明を精読するために#2を何度も見返してしまった😆
結合法則と分配法則は大学まで行くと成り立たないこともあるらしいとは漠然と知っていましたが、やはりあまりに自明な事柄に思われてその重要性が理解出来ないところがあります。「足す順序によって結果が変わる」世界が全く想像もつかないからです。結合法則が成り立たない世界が実はとても身近にあるとかだと実感が湧くのかもしれません。
結合法則が成り立たない演算の例を二つ、身近なところから紹介します。
まず論理演算の「ならば」、記号で書けば「→」があります。
A → ( B → C )
と
( A → B ) → C
は同値ではありません。
他には、累乗演算ですね。
a ^ ( b ^ c )
と
( a ^ b ) ^ c
は一般には同じになりません。
括弧が省略されている場合、（絶対ではないですが）数学・論理学では先のどちらの例でも概ね上の式の意味だと解釈します。
演算が可換でもなく結合的でもない場合はなるべく括弧を使って書いた方が伝わりやすいです。
（先の累乗の場合のように、数学においては慣習として省略形の解釈がほぼ決まっていることもあります。）
*因みに「累乗を連ねた表記は右肩から順に結合が強いと解釈する」というこの慣例の説明について、「累乗は非可換な演算だから」と説明する人がいますが関係ありません。
もしその解釈に合わせるのなら、先の「ならば」の例では、 A → B は「 Aに対して右演算 (→ B) を施している」と解釈するのが自然ということになるでしょうが、そんな事実はありません。
二項演算としての累乗の表記で慣例的に「底と指数」の役割を区別し、右演算っぽく表記しているからそう思えるだけです。つまりこれも慣例という以外に強い理由はありません。
12:16 x+1=1+x⇒x+y=y+xの証明は(ii)のみで十分。
xを1,yをxに置き換えると、1+1=1+1⇒1+x=x+1
仮定は真より、1+x=x+1
等号は左右入れ替えてよいから、x+1=1+xより、x+y=y+x
ってやると一回の数学的帰納法で十分ですね。
交換法則の証明の細かい部分に結合法則を使うのは上手いと思いました。
それはそうなんだけど、第一講義見返したら、この講義では等号の対称律に関してはしっかり定義されてないから、そう言う意味では厳密性に欠けるかな
@@天才の証明どっちにしろ(ii)で、
s+(t+1)=(s+t)+1でs=x,t=kとしたものも
(s+t)+1=s+(t+1)でs=k,t=xとしたものも
使っているので、どちらを採用しても対称律に関しては厳密ではないですね。
@@のぶ-x2k
確かにな
等号の性質も事前に明言した方が良いかもね(このシリーズ、もう終わらねえ.....)
先に「 x+1=1+x ⇒ x+y=y+x 」を示して、
その後でそれを利用して「 x+1=1+x 」を証明し、
最後にモーダスポネンスで「 x+y=y+x 」を導くってことか。
つまり
① P ⇒ Q
② P
∴ Q
の順番で証明してるんだ。
P の証明の為に P⇒Q を利用するって不思議。
こんな証明もあるんだ！
私が勘違いしてるだけかもしれませんが、なんかおかしくないですか？
＞xを1,yをxに置き換えると、1+1=1+1⇒1+x=x+1
＞仮定は真より、1+x=x+1
仮定（前件1+1=1+1のこと？）が真なら後件も真とは限りません：例えば1=1⇒1=0など。1=1は真だが1=0は偽。
一般に、命題P⇒Qにおいて、Pが真ならばQも真と言えるのは、P⇒Qが真であるとわかっている場合のみ。今回はP⇒Qは真偽をまだ定められていません。
※何か根本的な（指摘の意図を汲み損ねているような）思い違いをしている気もするので、もし違ってたら教えてください。
まだ足し算やってるよこの人
あなたに向けて発信してないよ。しかもペアノの公理が分かって初めて理解できる話。
@@沖田研司多分これ褒めてる
@user-pt7he1cv6w
褒めてるんですよ、これ！