Limite en +∞ de (ln(1 + x)/ln(x)) à la puissance x :

On se propose dans cette vidéo de la calculer la limite quand x tend vers +∞ de la fonction (ln(1 + x)/ln(x)) à la puissance x.
Il s'agit d'une forme indéterminée de type '1 à la puissance ∞".
WEB : pcsi.rf.gd/

[@Flix-my5ip]

Je ne comprends pas la fin

[@essaidiali]

Au lieu de calculer la limite de (ln(1+x)/ln(x))^x on a calculé la limite de ln[(ln(1+x)/ln(x))^x], on a trouvé 0, donc la limite qu'on cherche est e^0 = 1.
On a utilsé la propriété suivante :
"Si limite de ln(f(x)) = a alors la limite de f(x) est e^a".

[@SidyKhalilDiomande]

J'comprends pas la fin! les valeurs de x tend vers +∞ et il calcule certaines limites en 1 et en 0 🤯🤯

[@essaidiali]

Merci pour le commentaire, normalement, c'est x la variable et elle tend vers +∞. On a décomposer l'expression en le produit de trois facteurs :
1 ) ln (ln(1 + x)/ln x))/[ln (ln(1 + x)/ln x)) - 1] : si on pose h = ln(1 + x)/ln x alors ln (ln(1 + x)/ln x))/[ln (ln(1 + x)/ln x)) - 1] = ln (h) / (h - 1) et h 🡢 1 lorsque x 🡢 +∞. C'est pourquoi, on a utiliser la limite usuelle en 1 de ln (h) / (h - 1).
2 ) ln (1 + 1/x)/(1/x) : si on pose u = 1/x alors ln (1 + 1/x)/(1/x) = ln (1 + u) / u et u 🡢 0 lorsque x 🡢 +∞. C'est pourquoi, on a utiliser la limite usuelle en 0 de ln (1 + u) / u.
3) 1/ln (x) : Il est est clair que ce facteur tend vers 0 lorsque x tend vers + ∞ car ln (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞.

[@laigleroyal3664]

Super