Limite en +∞ de (ln(1 + x)/ln(x)) à la puissance x :
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- Опубликовано: 6 фев 2025
- On se propose dans cette vidéo de la calculer la limite quand x tend vers +∞ de la fonction (ln(1 + x)/ln(x)) à la puissance x.
Il s'agit d'une forme indéterminée de type '1 à la puissance ∞".
WEB : pcsi.rf.gd/
Methode trop arcaïque mais vrai par contre il existe une seconde méthode simple
Il suffit de simplifier le exposants x en jouant sur la propriété des ln puis simplifier les x ensuite multiplier le numérateur et le dénominateur par e puis simplier les ln on se retrouve avec 1+x/x puis factorier le numerteur par x ensuite simplifier le x du numérateur et du denominateur et on se retrouve avec 1+1/x et on applique la limite en +infini et on trouve 1 car 1/x en plus infini egal a 0.
Bien sûr, il existe toujours une méthode plus simple que celle proposée dans la vidéo. L'objectif de la vidéo était de proposer la méthode usuelle (niveau terminal) pour étudier la forme indéterminée "1 puissance ∞" :
1 - Utiliser le logarithme : ln (f(x) puissance g(x)) = g(x) x ln(f(x)).
2 - Ensuite écrire l'expression sous la forme : g(x) x (f(x) - 1) x ln(f(x)) / (f(x) - 1).
3 - La, on remarque que ln(f(x)) / (f(x) - 1) tend vers 1 donc, il reste à calculer la limite de g(x) x (f(x) - 1) qui est simple en générale.
4 - En fin, on applique l'exponentielle à la limite trouvée pour conclure.
Je ne comprends pas la fin
Au lieu de calculer la limite de (ln(1+x)/ln(x))^x on a calculé la limite de ln[(ln(1+x)/ln(x))^x], on a trouvé 0, donc la limite qu'on cherche est e^0 = 1.
On a utilsé la propriété suivante :
"Si limite de ln(f(x)) = a alors la limite de f(x) est e^a".
J'comprends pas la fin! les valeurs de x tend vers +∞ et il calcule certaines limites en 1 et en 0 🤯🤯
Merci pour le commentaire, normalement, c'est x la variable et elle tend vers +∞. On a décomposer l'expression en le produit de trois facteurs :
1 ) ln (ln(1 + x)/ln x))/[ln (ln(1 + x)/ln x)) - 1] : si on pose h = ln(1 + x)/ln x alors ln (ln(1 + x)/ln x))/[ln (ln(1 + x)/ln x)) - 1] = ln (h) / (h - 1) et h 🡢 1 lorsque x 🡢 +∞. C'est pourquoi, on a utiliser la limite usuelle en 1 de ln (h) / (h - 1).
2 ) ln (1 + 1/x)/(1/x) : si on pose u = 1/x alors ln (1 + 1/x)/(1/x) = ln (1 + u) / u et u 🡢 0 lorsque x 🡢 +∞. C'est pourquoi, on a utiliser la limite usuelle en 0 de ln (1 + u) / u.
3) 1/ln (x) : Il est est clair que ce facteur tend vers 0 lorsque x tend vers + ∞ car ln (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞.
c'est le changement de variable
Super