L’échange p vs d est aussi sur la vignette du premier indice de l’exo1, 2). Les « viewers » qui ne tombent pas sur cette chaîne par un malheureux hasard devraient corriger d’eux mêmes.
Merci beaucoup pour cette vidéo et ces exos, je serais très content d’avoir cette petite vidéo sur ces fameuses conjectures perso! 👍🏼👍🏼 D’ailleurs pour changer de la preuve d’Euclide sur l’infinité des nombres premiers, on peu faire appel à ces fameux nombres de Mersenne, comme quoi ils sont partout! Supposons que l’ensemble des nombres premiers soit fini et que p soit le plus grand nombre premier. Considérons le nombre de Mersenne Mp=(2^p)-1 et montrons que tout facteur premier q de Mp est plus grand que p (ce qui impliquerait la conclusion désirée!) Soit donc q diviseur de Mp, alors 2^p ≡ 1[q]. Puisque p est premier, cela signifie que 2 est d’ordre p dans le groupe multiplicatif ℤq \{0} du corps ℤq. (ce groupe a q-1 éléments) Donc par le Théorème de Lagrange💡, l’ordre de chaque élément divise le cardinal du groupe, i.e p / q-1 et par conséquent p
J'admire votre volonté de montrer que les mathématiques ne sont qu'un simple déroulement logique. Pourtant, la réalité est bien différente : les mathématiques sont en vérité une accumulation de techniques pour lesquelles des esprits respectables ont consacrés toute leur vie à élaborer. Ces efforts permettent de dérouler une logique souvent capillotractée, qui semble parfois ne servir qu'à satisfaire notre propre quête de cohérence. En somme, nous ne sommes encore qu'à la préhistoire de la logique mathématique et de sa véritable consistance. Pour l'instant, nous n'avons pas d'autre choix que de faire semblant. Mais peut-être est-ce justement cela qui les rend fascinantes ?...
Vous vous attaquez à ce problème avec quel type d'outil ? (Je sais, c'est pas très probable qu'on comprenne la réponse, mais quand même, c'est pas impossible 😅.)
@@UnNimois C'est ça qui est fabuleux avec la théorie analytique des nombres, y'a quasi aucun outil abstrait ! Mais on y retrouve des sommes de Kloosterman, des séries de Dirichlet et quelques transformées de Fourier (cf C.Hooley, On the greatest prime factor of a quadratic polynomial)
Concernant les conjectures, je resterais toujours émerveillé par la conjecture de Goldbach. Un énoncé tellement simple, presque évident … mais tellement difficile.
dans la premiere partie, pour prouver n premier, peut-on éviter d'utiliser le raisonnement par l'absurde en écrivant n=p*q (avec q>1, on peut toujours le faire) et on déduit p=1 et on conclut que n est premier.
Merci pour cette vidéo Cassou Maths Prépa ! Par contre, à la question 2)d) du premier Oral, ne serait-ce pas plutôt "donc p (nombre premier fixé au départ) appartient à E" au lieu de "donc d appartient à E" ?
ça marche bien "juste avec les mains", avec seulement les propriétés de IN, de divisibilité (ordre) et les congruences. Mais l'utilisation de la théorie "de base" des groupes cycliques simplifie beaucoup les notations quand même (et ça donne du sens à la notion d'ordre d'un élément, au début je n'ai pas fait le lien avec l'ordre de 2 dans le groupe multiplicatif de Z/pZ...😉😊).
Le dernier théorème (d = +/-1 mod 8) peut s'obtenir à l'aide de la réciprocité quadratique, mais je dois avouer qu'avec les outils de prépas je ne suis pas sûr de comment faire ça. (le fait que d -1 = 2kp lorsque d divise Mp implique que 2 est un résidu quadratique modulo d et ceci implique exactement d = +/-1 mod 8) À noter que même si l'on connait 52 nombres premiers de Mersenne, il reste quelques vérifications avant d'être sûr que ce sont bien les 52 premiers dans l'ordre, car GIMPS ne procède pas totalement linéairement et il reste des nombres entre p1=128 461 759 et p2 = 136 279 841 (avec M_p2 le plus grand nombre premier connu actuellement) qui n'ont pas été testés. Super vidéo sinon!
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Erratum 15:48 E est non vide car "p" appartient à E (et pas "d", bien sûr). Désolé pour cette confusion de ma part. 😅
C'était clair tkt 😊
L’échange p vs d est aussi sur la vignette du premier indice de l’exo1, 2). Les « viewers » qui ne tombent pas sur cette chaîne par un malheureux hasard devraient corriger d’eux mêmes.
de très bons sujets
je suis un prof marocain vos sujets sont transmis à mes élèves de terminale sc maths
merci beaucoup
Bravo encore des sujets intéressants
Merci beaucoup pour cette vidéo et ces exos, je serais très content d’avoir cette petite vidéo sur ces fameuses conjectures perso! 👍🏼👍🏼
D’ailleurs pour changer de la preuve d’Euclide sur l’infinité des nombres premiers, on peu faire appel à ces fameux nombres de Mersenne, comme quoi ils sont partout!
Supposons que l’ensemble des nombres premiers soit fini et que p soit le plus grand nombre premier.
Considérons le nombre de Mersenne Mp=(2^p)-1 et montrons que tout facteur premier q de Mp est plus grand que p (ce qui impliquerait la conclusion désirée!)
Soit donc q diviseur de Mp, alors 2^p ≡ 1[q].
Puisque p est premier, cela signifie que 2 est d’ordre p dans le groupe multiplicatif ℤq \{0} du corps ℤq. (ce groupe a q-1 éléments)
Donc par le Théorème de Lagrange💡, l’ordre de chaque élément divise le cardinal du groupe, i.e p / q-1
et par conséquent p
Votre chaîne (que je viens de découvrir) est une merveille !
Je vais rougir ! 😊 merci beaucoup, les encouragements ça motive 😃👍
J'admire votre volonté de montrer que les mathématiques ne sont qu'un simple déroulement logique. Pourtant, la réalité est bien différente : les mathématiques sont en vérité une accumulation de techniques pour lesquelles des esprits respectables ont consacrés toute leur vie à élaborer. Ces efforts permettent de dérouler une logique souvent capillotractée, qui semble parfois ne servir qu'à satisfaire notre propre quête de cohérence. En somme, nous ne sommes encore qu'à la préhistoire de la logique mathématique et de sa véritable consistance. Pour l'instant, nous n'avons pas d'autre choix que de faire semblant. Mais peut-être est-ce justement cela qui les rend fascinantes ?...
Très bonne vidéo !
Petite conjecture sympathique (qui est mon sujet de thèse) : Il existe une infinité de nombres premiers de la forme n^2+1
Vous vous attaquez à ce problème avec quel type d'outil ? (Je sais, c'est pas très probable qu'on comprenne la réponse, mais quand même, c'est pas impossible 😅.)
@@UnNimois C'est ça qui est fabuleux avec la théorie analytique des nombres, y'a quasi aucun outil abstrait ! Mais on y retrouve des sommes de Kloosterman, des séries de Dirichlet et quelques transformées de Fourier (cf C.Hooley, On the greatest prime factor of a quadratic polynomial)
@@LeMout54Formidable ! Bon courage pour vos travaux de recherche.
à l'hypothèse H de Schinzel :)
Concernant les conjectures, je resterais toujours émerveillé par la conjecture de Goldbach. Un énoncé tellement simple, presque évident … mais tellement difficile.
dans la premiere partie, pour prouver n premier, peut-on éviter d'utiliser le raisonnement par l'absurde en écrivant n=p*q (avec q>1, on peut toujours le faire) et on déduit p=1 et on conclut que n est premier.
Merci beaucoup professeur.
J’ai passé le concours des mines en 2007… à l’époque on était des machines de guerre. Maintenant je me souviens à peine de ce que ça veut dire 😂
à la minute 11:57 pourquoi 2p et pas 2^p ?
oui la conjecture a,b,c !
Merci pour cette vidéo Cassou Maths Prépa ! Par contre, à la question 2)d) du premier Oral, ne serait-ce pas plutôt "donc p (nombre premier fixé au départ) appartient à E" au lieu de "donc d appartient à E" ?
C’est la question 2.c) mais oui c’est p appartient à E.
ça marche bien "juste avec les mains", avec seulement les propriétés de IN, de divisibilité (ordre) et les congruences. Mais l'utilisation de la théorie "de base" des groupes cycliques simplifie beaucoup les notations quand même (et ça donne du sens à la notion d'ordre d'un élément, au début je n'ai pas fait le lien avec l'ordre de 2 dans le groupe multiplicatif de Z/pZ...😉😊).
Merci@@bmxer31000 , moi aussi je me suis embrouillé avec tous ces d...
Oui désolé, confusion, ici je voulais dire "p" évidemment. Merci
Oui c'est sûr. Ici j'essaie de faire en sorte que les 1eres années puissent aussi suivre.
Le dernier théorème (d = +/-1 mod 8) peut s'obtenir à l'aide de la réciprocité quadratique, mais je dois avouer qu'avec les outils de prépas je ne suis pas sûr de comment faire ça. (le fait que d -1 = 2kp lorsque d divise Mp implique que 2 est un résidu quadratique modulo d et ceci implique exactement d = +/-1 mod 8)
À noter que même si l'on connait 52 nombres premiers de Mersenne, il reste quelques vérifications avant d'être sûr que ce sont bien les 52 premiers dans l'ordre, car GIMPS ne procède pas totalement linéairement et il reste des nombres entre p1=128 461 759 et p2 = 136 279 841 (avec M_p2 le plus grand nombre premier connu actuellement) qui n'ont pas été testés. Super vidéo sinon!
Excellent. Merci pour ces précisions 👍👍👍
Une collab Cassou Math Prépa X Maître GIMS ?
Lol. Si l'intéressé accepte, alors je relève le défi ! 🤣... je prends pas bcp de risques !!