Für Oxford würde das im Video gesagte kaum reichen, denn es gibt nicht "die Lösung" im Sinne von nur einer Lösung. Man kann leicht erkennen, dass die Gleichung symmetrisch in x und y ist, denn wenn man x und y vertauscht, ändert sich die Gleichung nicht. Also sind x und y gleichberechtigt und zu jeder Lösung (a, b) gibt es auch eine Lösung (b, a). Deshalb ist nicht nur (x = 10, y = 4), sondern auch (x = 4, y = 10) eine Lösung. Zudem kann 55 nicht nur in 5 * 11, sondern auch in 1 * 55 zerlegt werden. Mqn erhält dann x + 1 = 1, also x = 0, und y + 1 = 55, also y = 54, oder umgekehrt. Wenn man für die natürlichen Zahlen auch die Null zulässt (was an der Universität während meines Studiums je nach Dozent manchmal so war), bekommt man also auch noch (0, 54) ud (54, 0) als Lösungen.
"denn es gibt nicht "die Lösung" im Sinne von nur einer Lösung." Mein Mathedozent formulierte es so: "Die Lösung der Aufgabe ist die Herleitung ALLER möglichen Lösungen, mit denen die gegebene Aussage wahr ist. Oder kurz gefasst: Bestimmen sie die Lösungsmenge."
55 kann zwar in 1*55 zerlegt werden, aber dann wäre entweder x oder y =0 und da x,y aus N sind und nicht als "N0" (ich kann das hier nicht richtg formatieren), wäre das keine gültige Lösung, sagt er auch bei ca 0:44, dass x,y positive ganze Zahlen sind, Null ist nicht positiv... Allerdings hätte ich auch erwartet, dass die Lösung x=0, y=54 als "nicht gültig" im Beweis mit aufgeführt wird
@@lotharmayring6063 Die Frage, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört, hat keine universell gültige Antwort, sondern hängt von der mathematischen Konvention und dem Kontext ab. Allerdings gibt es gut etablierte Sichtweisen, die häufig verwendet werden. Die zwei gängigen Definitionen: "Inklusive Definition" (mit Null): In dieser Konvention gehört die Null zu den natürlichen Zahlen. Man schreibt: 𝑁 = {0,1,2,3,…}. Diese Definition wird oft in der Informatik und Zahlentheorie verwendet, wo die Null einen natürlichen Anfang darstellt (z. B. bei Indizes in Arrays oder Summen). "Exklusive Definition" (ohne Null): Hier beginnt die Menge der natürlichen Zahlen bei 1 N={1,2,3,…}. Diese Definition findet häufig in der klassischen Mathematik, insbesondere in der Schulmathematik, Anwendung. Unterschiedliche Konventionen in der Literatur In deutschsprachigen und vielen modernen mathematischen Lehrbüchern wird zunehmend die Null als Teil der natürlichen Zahlen betrachtet. In älteren Texten oder bestimmten traditionellen Kontexten, etwa in elementarer Zahlentheorie, ist die Definition ohne Null häufiger anzutreffen. Normierungen und Standards: Die ISO-Norm 80000-2 zur mathematischen Nomenklatur definiert natürliche Zahlen als {0,1,2,3,…}. Viele Universitäten und Mathematikprogramme verwenden das ebenfalls als Standard. Fazit Es gibt keine alleingültige Antwort, da die Definition vom Kontext abhängt. Moderne, international standardisierte Konventionen tendieren jedoch zur Einbeziehung der Null in die natürlichen Zahlen. Wenn Klarheit erforderlich ist, sollten Mathematiker explizit angeben, ob sie N mit oder ohne Null verwenden.
Hallo, ich hätte da mal eine Frage :D wie kann man das Konzept der modularen Arithmetik nutzen, um das modulare Inverse einer Zahl zu finden und wie wird dies im Caesar-Code zur Entschlüsselung verwendet? Könnten Sie das vielleicht in einem Video erklären?
Hallo liebe Teilnehmer/in, Danke für Ihre Mail. Leider habe ich noch eine lange Liste an Themen und Anfragen, für die ich noch ein Video machen will/soll. Das Thema „Modulare Inverse einer Zahl“ ist leider nicht darunter, weil es nicht zu meiner „Zielgruppe“ passt. Ich habe „Modulare Inverse einer Zahl berechnen“ in RUclips eingegeben und eine Menge an Videos zu diesem Thema vorgeschlagen bekommen, die meist auch gut bewertet waren. Villeicht ist da auch was für Sie dabei. Viel Glück und Erfolg für Ihre Zukunft.
Natürlich kann es genauso gut andersrum sein y=10 und x=4. Und 55 kann auch 1×55 sein. Dass heißt, nachdem ob man die Null zu den natürlichen Zahlen mit dazu zählt kann es noch zwei weitere Lösungen geben.
@eddiepoole Mathematiker legen Wert auf Korrektheit. Zur Lösungsmenge gehören ggf. auch triviale Lösungen. Man muss ja nicht für alles den Rechenweg zeigen, aber man sollte es zumindest erwähnen.
Meines Wissens nach wird die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Null allgemein üblich mit N0 (die Null tiefgestellt) bezeichnet. Damit achließt „N“ die Null eindeutig nicht mit ein. Daß x und y hier beliebig zu vertauschen sind, müßte mMn hier auch in die Lösung mit einfließen (wie aich immer ausgedrückt) und sollte bei aller Trivialität nicht übergangen werden.
Solche Fragestellungen machen Spaß, finde ich. Man muß lediglich die Gesetze kennen und dann damit jonglieren. Da muß man Mathe nicht wirklich verstanden haben. Ich habe damals, vor Jahrzehnten, nur auf diese Weise meine 1 in Mathe LK geholt. Das Tiefgreifende dahinter nicht verstanden, doch einfach die Gesetze gelernt, und zwei Mal das ganze Buch durchgeübt. Das ist wohl auch die Antwort, weshalb es heute bei mir zu nichts, das über 1+1 hinausgeht, reicht. ☺️
@ Vielen Dank für Ihren Zuspruch. Ist aber wahr, ich habe kein Grundverständnis für Zahlen!! Hatte mich stets bemüht und im Durchschnitt lediglich 3 erhalten. Das hat mir dann in der Oberstufe gereicht, mein Lehrer hatte mich aufgegeben, ich mich nicht und dann einfach stur geübt, rauf und runter, bis ich in den Prüfungen nicht mehr mit den Aufgaben überrascht werden konnte. Ich hatte verstanden, was ich geübt (!) hatte, ein Grundverstehen für die Mathematik habe ich mir dadurch jedoch nicht erworben.
Stellen wir die Gleichung doch einmal ein wenig um: x+xy+y=54 x+y*(x+1)=54 y*(x+1)=54-x y=(54-x)/(x+1) Ist x gerade, dann ist 54-x auch gerade und x+1 ungerade, daher muss y gerade sein. Ist x ungerade, dann ist 54-x ungerade und x+1 gerade, daher kann y keine natürliche Zahl sein. x und y sind also gerade. Fangen wir von ganz oben an: y=(54-54)/54+1)=0/55=0 x=54 y=0 wäre eine Lösung wenn die 0 als natürliche Zahl zugelassen wird. nächster Versuch: x=52 y=2/53, ok, das war nichts x=50 y=4/51 x=48 y=6/49 x=46 y=8/47 Solange y ein echter Bruch ist, ist x eindeutig zu groß. Wir überspringen also einige Werte für x. x=26 y=28/27 Ab hier können wir so weitermachen und landen kurze Zei später bei x=10 y=44/11=4 und bei x=4 y=50/5=10 und ganz zum Schluss (wenn die 0 auch gilt) x=0 y=54/1=54 Natürlich kann man die Feststellung treffen, dass die Summe aus Zähler und Nenner immer 55 ist, der Zähler immer gerade und der Nenner immer ungerade. Bei einer solch überschaubaren Aufgabe lohnt sich das aber nicht.
Die Lösung ist y(x)=(54-x)/(x+1) und x ungleich -1; also z.B. x = 0 und y = 54, um zwei Unbekannte eindeutige zu bestimmen braucht es zwei Gleichungen.
Ich bin so vorgegangen: Das Ergebnis 54 ist ja die Summe aus den Elementen x, y und deren Produkt. So habe ich mir erst mal das Produkt xy aufgezeichnet als Rechteck, bestehend aus Kugeln (Kreisen). Die waagerechte Reihe nenne ich x und die senkrechte y. Nun zeichne ich noch eine weitere Reihe x dazu sowie eine weitere senkrechte Reihe y. Nun habe ich meine Lösung 54. Kann ich die auch als Produkt ansehen? Ja, wenn ich in der Ecke eine Kugel hinzufüge. Das neue, größere Produkt lautet also (x+1)*(y+1). Die gesuchte Lösung ist um eins kleiner, lautet also (x+1)*(y+1) - 1 = 54. Oder (x+1)*(y+1)=55. Und nun dürfen wir uns glücklich schätzen, dass es nur zwei (vernünftige) Faktoren von 55 gibt, nämlich 11 und 5. Und weiter wie gehabt... Was sich hier etwas umständlich liest, wird ganz einfach mit einer Skizze, die ich hier leider nicht anbieten kann.
Heute habe ich ein Alibi, weshalb ich diese Aufgabe erst gar nicht lösen können muß: Bin nicht an Oxford interessiert, da ich doch schon in Harvard bin… 😉😁
Für Oxford würde das im Video gesagte kaum reichen, denn es gibt nicht "die Lösung" im Sinne von nur einer Lösung.
Man kann leicht erkennen, dass die Gleichung symmetrisch in x und y ist, denn wenn man x und y vertauscht, ändert sich die Gleichung nicht. Also sind x und y gleichberechtigt und zu jeder Lösung (a, b) gibt es auch eine Lösung (b, a). Deshalb ist nicht nur (x = 10, y = 4), sondern auch (x = 4, y = 10) eine Lösung. Zudem kann 55 nicht nur in 5 * 11, sondern auch in 1 * 55 zerlegt werden. Mqn erhält dann
x + 1 = 1, also x = 0, und y + 1 = 55, also y = 54, oder umgekehrt. Wenn man für die natürlichen Zahlen auch die Null zulässt (was an der Universität während meines Studiums je nach Dozent manchmal so war), bekommt man also auch noch (0, 54) ud (54, 0) als Lösungen.
"denn es gibt nicht "die Lösung" im Sinne von nur einer Lösung."
Mein Mathedozent formulierte es so: "Die Lösung der Aufgabe ist die Herleitung ALLER möglichen Lösungen, mit denen die gegebene Aussage wahr ist. Oder kurz gefasst: Bestimmen sie die Lösungsmenge."
Definition der natuerlichen Zahlen haengt also vom Dozent ab............soviel zur Mathematik
55 kann zwar in 1*55 zerlegt werden, aber dann wäre entweder x oder y =0 und da x,y aus N sind und nicht als "N0" (ich kann das hier nicht richtg formatieren), wäre das keine gültige Lösung, sagt er auch bei ca 0:44, dass x,y positive ganze Zahlen sind, Null ist nicht positiv...
Allerdings hätte ich auch erwartet, dass die Lösung x=0, y=54 als "nicht gültig" im Beweis mit aufgeführt wird
@@lotharmayring6063 Die Frage, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört, hat keine universell gültige Antwort, sondern hängt von der mathematischen Konvention und dem Kontext ab. Allerdings gibt es gut etablierte Sichtweisen, die häufig verwendet werden. Die zwei gängigen Definitionen:
"Inklusive Definition" (mit Null):
In dieser Konvention gehört die Null zu den natürlichen Zahlen. Man schreibt:
𝑁 = {0,1,2,3,…}.
Diese Definition wird oft in der Informatik und Zahlentheorie verwendet, wo die Null einen natürlichen Anfang darstellt (z. B. bei Indizes in Arrays oder Summen).
"Exklusive Definition" (ohne Null):
Hier beginnt die Menge der natürlichen Zahlen bei 1
N={1,2,3,…}.
Diese Definition findet häufig in der klassischen Mathematik, insbesondere in der Schulmathematik, Anwendung.
Unterschiedliche Konventionen in der Literatur
In deutschsprachigen und vielen modernen mathematischen Lehrbüchern wird zunehmend die Null als Teil der natürlichen Zahlen betrachtet.
In älteren Texten oder bestimmten traditionellen Kontexten, etwa in elementarer Zahlentheorie, ist die Definition ohne Null häufiger anzutreffen.
Normierungen und Standards:
Die ISO-Norm 80000-2 zur mathematischen Nomenklatur definiert natürliche Zahlen als {0,1,2,3,…}.
Viele Universitäten und Mathematikprogramme verwenden das ebenfalls als Standard.
Fazit
Es gibt keine alleingültige Antwort, da die Definition vom Kontext abhängt. Moderne, international standardisierte Konventionen tendieren jedoch zur Einbeziehung der Null in die natürlichen Zahlen. Wenn Klarheit erforderlich ist, sollten Mathematiker explizit angeben, ob sie N mit oder ohne Null verwenden.
Hallo, ich hätte da mal eine Frage :D wie kann man das Konzept der modularen Arithmetik nutzen, um das modulare Inverse einer Zahl zu finden und wie wird dies im Caesar-Code zur Entschlüsselung verwendet? Könnten Sie das vielleicht in einem Video erklären?
Hallo liebe Teilnehmer/in, Danke für Ihre Mail. Leider habe ich noch eine lange Liste an Themen und Anfragen, für die ich noch ein Video machen will/soll. Das Thema „Modulare Inverse einer Zahl“ ist leider nicht darunter, weil es nicht zu meiner „Zielgruppe“ passt.
Ich habe „Modulare Inverse einer Zahl berechnen“ in RUclips eingegeben und eine Menge an Videos zu diesem Thema vorgeschlagen bekommen, die meist auch gut bewertet waren.
Villeicht ist da auch was für Sie dabei.
Viel Glück und Erfolg für Ihre Zukunft.
Natürlich kann es genauso gut andersrum sein y=10 und x=4. Und 55 kann auch 1×55 sein. Dass heißt, nachdem ob man die Null zu den natürlichen Zahlen mit dazu zählt kann es noch zwei weitere Lösungen geben.
Schon, allerdings messen Mathematiker trivialen Lösungen keinen Stellenwert bei.
@eddiepoole Mathematiker legen Wert auf Korrektheit. Zur Lösungsmenge gehören ggf. auch triviale Lösungen. Man muss ja nicht für alles den Rechenweg zeigen, aber man sollte es zumindest erwähnen.
Warum ist y4 und x10? Warum nicht umgekehrt?
Meines Wissens nach wird die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Null allgemein üblich mit N0 (die Null tiefgestellt) bezeichnet. Damit achließt „N“ die Null eindeutig nicht mit ein. Daß x und y hier beliebig zu vertauschen sind, müßte mMn hier auch in die Lösung mit einfließen (wie aich immer ausgedrückt) und sollte bei aller Trivialität nicht übergangen werden.
1x55 kann es nicht sein, denn dann wäre xy=0 das wäre dann 55 + 0 + 0 = 54
Damit ist es egal ob 0 als N zählt
Solche Fragestellungen machen Spaß, finde ich. Man muß lediglich die Gesetze kennen und dann damit jonglieren. Da muß man Mathe nicht wirklich verstanden haben.
Ich habe damals, vor Jahrzehnten, nur auf diese Weise meine 1 in Mathe LK geholt. Das Tiefgreifende dahinter nicht verstanden, doch einfach die Gesetze gelernt, und zwei Mal das ganze Buch durchgeübt.
Das ist wohl auch die Antwort, weshalb es heute bei mir zu nichts, das über 1+1 hinausgeht, reicht. ☺️
Eine 1 in Mathe LK holt man sich nicht einfach so mal schnell ab. Stellen Sie Ihr Licht nicht so unter den Scheffel.
@ Vielen Dank für Ihren Zuspruch. Ist aber wahr, ich habe kein Grundverständnis für Zahlen!! Hatte mich stets bemüht und im Durchschnitt lediglich 3 erhalten. Das hat mir dann in der Oberstufe gereicht, mein Lehrer hatte mich aufgegeben, ich mich nicht und dann einfach stur geübt, rauf und runter, bis ich in den Prüfungen nicht mehr mit den Aufgaben überrascht werden konnte. Ich hatte verstanden, was ich geübt (!) hatte, ein Grundverstehen für die Mathematik habe ich mir dadurch jedoch nicht erworben.
nett. und was mache ich, wenn ich annehme, 55 nicht berechnen zu können - denn das ist der eigentliche clou der Sache.
Diese Annahme ist sehr kühn und sehr wahrscheinlich auch ziemlich individuell.
Stellen wir die Gleichung doch einmal ein wenig um:
x+xy+y=54
x+y*(x+1)=54
y*(x+1)=54-x
y=(54-x)/(x+1)
Ist x gerade, dann ist 54-x auch gerade und x+1 ungerade, daher muss y gerade sein.
Ist x ungerade, dann ist 54-x ungerade und x+1 gerade, daher kann y keine natürliche Zahl sein.
x und y sind also gerade.
Fangen wir von ganz oben an:
y=(54-54)/54+1)=0/55=0
x=54 y=0 wäre eine Lösung wenn die 0 als natürliche Zahl zugelassen wird.
nächster Versuch: x=52 y=2/53, ok, das war nichts
x=50 y=4/51
x=48 y=6/49
x=46 y=8/47
Solange y ein echter Bruch ist, ist x eindeutig zu groß.
Wir überspringen also einige Werte für x.
x=26 y=28/27
Ab hier können wir so weitermachen und landen kurze Zei später bei
x=10 y=44/11=4
und bei
x=4 y=50/5=10
und ganz zum Schluss (wenn die 0 auch gilt)
x=0 y=54/1=54
Natürlich kann man die Feststellung treffen, dass die Summe aus Zähler und Nenner immer 55 ist, der Zähler immer gerade und der Nenner immer ungerade. Bei einer solch überschaubaren Aufgabe lohnt sich das aber nicht.
Die Lösung ist y(x)=(54-x)/(x+1) und x ungleich -1; also z.B. x = 0 und y = 54, um zwei Unbekannte eindeutige zu bestimmen braucht es zwei Gleichungen.
Ich bin so vorgegangen: Das Ergebnis 54 ist ja die Summe aus den Elementen x, y und deren Produkt. So habe ich mir erst mal das Produkt xy aufgezeichnet als Rechteck, bestehend aus Kugeln (Kreisen). Die waagerechte Reihe nenne ich x und die senkrechte y. Nun zeichne ich noch eine weitere Reihe x dazu sowie eine weitere senkrechte Reihe y. Nun habe ich meine Lösung 54. Kann ich die auch als Produkt ansehen? Ja, wenn ich in der Ecke eine Kugel hinzufüge. Das neue, größere Produkt lautet also (x+1)*(y+1). Die gesuchte Lösung ist um eins kleiner, lautet also (x+1)*(y+1) - 1 = 54. Oder (x+1)*(y+1)=55. Und nun dürfen wir uns glücklich schätzen, dass es nur zwei (vernünftige) Faktoren von 55 gibt, nämlich 11 und 5. Und weiter wie gehabt... Was sich hier etwas umständlich liest, wird ganz einfach mit einer Skizze, die ich hier leider nicht anbieten kann.
Ganz ehrlich: Ich finde Ihren Ansatz und Ihre Vorgehensweise sehr kreativ und intelligent. Respekt 👍
Y=10 und x=4 geht auch 2 Lösungen, schöne Aufgabe zum Ausklammern üben
X = 4, Y = 10
x=0 y=54
x=4 y=10
x=10 y=4
x = 54 y=0
Heute habe ich ein Alibi, weshalb ich diese Aufgabe erst gar nicht lösen können muß: Bin nicht an Oxford interessiert, da ich doch schon in Harvard bin… 😉😁
Nein , ich habe etwas anderes X = 13 , Y = 14 , XY =27 = 54
hmmmm.... xy heißt x mal y und nicht x+y. Sorry.
14*13=182 kleiner Witz