Une autre méthode, avec la tangente hyperbolique, c'est de dire que comme (x,y) sont dans ]-1;1[ on a deux réels a et b tels que th(a)=x et th(b)=y (tangente hyperbolique) Et avec les formules trigo on a : (x+y)/(1+xy) = (th(a)+th(b))/(1+th(a)th(b))= th(a+b) Th étant à valeur dans ]-1;1[ on a donc que la fraction est dans cette intervalle
Instant 6:15. Je me trompe peut être mais on a juste l'implication dans un sens car à un moment de la chaine du raisonement on divise par 1+xy et donc on suppose que c'est different de zero (on part des hypotheses et cela implique le resultat). Qu'en pensez vous?
En fait, les conditions x et y dans ]-1,1[ implique que xy est dans ]-1,1[ donc que 1+xy soit différent de zéro. Il ne s'agit pas d'hypothèse mais de conditions imposées donc on peut considérer que 1+xy est différent de zéro.
L’identité fait penser aux formules de tangentes, serait-il possible de faire un changement de variable pour x et y en tan(x) et tan(y) de faire une découpe d’intervalle en raisonner avec les angles ?
De mon humble expérience, le moyen le plus puissant pour démontrer une inégalité est de transformer le problème en un exercice d’analyse réelle : cad en posant une fonction dépendant d’une variable réelle. (Donc pour répondre à ta question, oui c’est TRÈS utile).
Très utile , merci à vous monsieur
Merci à vous
La deuxième méthode est très intéressante, correction très claire comme d'habitude 👍
Bravo et merci
Une autre méthode, avec la tangente hyperbolique, c'est de dire que comme (x,y) sont dans ]-1;1[ on a deux réels a et b tels que th(a)=x et th(b)=y (tangente hyperbolique)
Et avec les formules trigo on a :
(x+y)/(1+xy) =
(th(a)+th(b))/(1+th(a)th(b))=
th(a+b)
Th étant à valeur dans ]-1;1[ on a donc que la fraction est dans cette intervalle
stylé !
Instant 6:15. Je me trompe peut être mais on a juste l'implication dans un sens car à un moment de la chaine du raisonement on divise par 1+xy et donc on suppose que c'est different de zero (on part des hypotheses et cela implique le resultat). Qu'en pensez vous?
En fait, les conditions x et y dans ]-1,1[ implique que xy est dans ]-1,1[ donc que 1+xy soit différent de zéro.
Il ne s'agit pas d'hypothèse mais de conditions imposées donc on peut considérer que 1+xy est différent de zéro.
@@prepa-maths ok merci
L’identité fait penser aux formules de tangentes, serait-il possible de faire un changement de variable pour x et y en tan(x) et tan(y) de faire une découpe d’intervalle en raisonner avec les angles ?
J y ai pensé aussi mais y a un moins d habitude dans la formule. Ça sent le piège...
Pensez à la tangente hyperbolique et votre idée est bonne
c'est souvent utile le fait de poser une fonction ?
De mon humble expérience, le moyen le plus puissant pour démontrer une inégalité est de transformer le problème en un exercice d’analyse réelle : cad en posant une fonction dépendant d’une variable réelle. (Donc pour répondre à ta question, oui c’est TRÈS utile).
Pour des inégalités comme exp(x)≥1+x, c'est parfait.
à 4'29"? Vous avez écrit 1-x>0 mais est ce que 1-x
à 6'13", on aurait pu dire que 0
Il faut articuler, on comprends à peine!
t'abuses