um die 2010er war ich im Studium der Ingenieurswissenschaften.. habe dort Festigkeitsberechnungen mit Inventor kennengelernt und die FEM angewendet. 10 Jahre später bin ich Informatiker .. und dank ihren Vorlesungen kommt nun 1 und 1 zusammen.. für mich ist diese Videoreihe einfach mehr als Wertvoll. :O
der "end"-Befehl auf der letzten Folie (ab 16:46) löst einen Fehler in MATLAB aus und wird nicht benötigt. Danke, für das informative Video. Hier der funktionierende Code: dx=0.1; xanf=-10; xend=10; x=[xanf:dx:xend]'; N=length(x); D=-2*diag(ones(N,1)); M=4*diag(ones(N,1)); for i=1:N-1 D(i,i+1)=1; D(i+1,i)=1; M(i,i+1)=1; M(i+1,i)=1; end f = sin(x); b=((M*f*dx^2)/6); %Randbedingungen D(1,:)=0; D(1,1)=1; D(N,:)=0; D(N,N)=1; uL=2; b(1) = uL; uR=3; b(N)=uR; u=D\b; plot(x,u);
Gucken Sie sich am besten nochmal die Definitionen bei 9:16 an... Dabei einfach mal gucken was bei einem Integral herauskommt wenn j = i; j=i+1 oder j = i-1 ist. Diese Zusammenhänge gelten nur für 'equidistante Gitter'.
Ich verstehe nicht, wie der Trick mit der partiellen Integration funktioniert. Ist die partielle Integration nicht einfach eine andere Schreibweise für das Ausgangsintegral? Wie kann ein Integral, dass null ist nach einer Umformung plötzlich ungleich null sein? Und ist nicht eine Voraussetzung der partiellen Integration von df/dx * g, dass die Funktionen f und g stetig sind? f wäre ja hier die erste Ableitung von phi_i und damit nicht stetig.
Kleines Beispiel: Seien f_1(x) = 1-2x f_2(x) = 0 f_3(x) = 2x f_4(x) = 2-2x Wenn unser Gitter nur aus x_0 = 0, x_1 = 1/2 und x_2 = 1 besteht, dann gilt phi_0(x) = f_1(x), falls x=1/2 phi_1(x) = f_3(x), falls x=1/2 hier passiert dann in der Vorlesung: 0 = int_0^1(phi_0"*phi_1) = phi_0'(1)*phi_1(1) - phi_0'(0)*phi_1(0) - int_0^1(phi_0'*phi_1') = - int_0^1(phi_0'*phi_1') != 0 Wenn ich versuche das Integral auf die Intervalle aufzuteilen, auf denen die Funktionen stetig sind, sieht das bei mir so aus: 0 = int_0^1(phi_0"*phi_1) // Aufteilen auf die beiden Intervalle = int_0^1/2(phi_0"*phi_1) + int_1/2^1(phi_0"*phi_1) // Ersetzen der stetigen Stücke durch die entsprechenden Funktionen = int_0^1/2(f_1"*f_3) + int_1/2^1(f_2"*f_4) // partielle Integration = f_1'(1/2)*f_3(1/2) - f_1'(0)*f_3(0) - int_0^1/2(f_1'*f_3') // Ausrechnen... + f_2'(1)*f_4(1) - f_2'(1/2)*f_4(1/2) - int_1/2^1(f_2'*f_4') = -2 - 0 - (-2) + 0 - 0 - 0 = 0 Damit bin ich durch die partielle Integration kein bisschen weiter gekommen. Wo ist mein Denkfehler?
Es geht glaube ich eher darum, sinnvolle Gleichungen zum lösen (also mit denen man weiterarbeiten kann) zu gewinnen. Der erste Gleichung, in denen die zweite Ableitung auftaucht, gibt das nicht her; aber nach der Umformung bekommt man entsprechende Gleichungen zum weiterarbeiten.
um die 2010er war ich im Studium der Ingenieurswissenschaften.. habe dort Festigkeitsberechnungen mit Inventor kennengelernt und die FEM angewendet. 10 Jahre später bin ich Informatiker .. und dank ihren Vorlesungen kommt nun 1 und 1 zusammen.. für mich ist diese Videoreihe einfach mehr als Wertvoll. :O
der "end"-Befehl auf der letzten Folie (ab 16:46) löst einen Fehler in MATLAB aus und wird nicht benötigt. Danke, für das informative Video.
Hier der funktionierende Code:
dx=0.1;
xanf=-10;
xend=10;
x=[xanf:dx:xend]';
N=length(x);
D=-2*diag(ones(N,1));
M=4*diag(ones(N,1));
for i=1:N-1
D(i,i+1)=1;
D(i+1,i)=1;
M(i,i+1)=1;
M(i+1,i)=1;
end
f = sin(x);
b=((M*f*dx^2)/6);
%Randbedingungen
D(1,:)=0;
D(1,1)=1;
D(N,:)=0;
D(N,N)=1;
uL=2;
b(1) = uL;
uR=3;
b(N)=uR;
u=D\b;
plot(x,u);
Super Video, hat mir sehr geholfen!
Ich habe nur eine Frage: wie kommt bei Minute 12:18 das dx**2 zustande? Auf der Folie zuvor steht nur dx.
Da u zweimal nach x abgeleitet wird, muss es hier rein.
Kann jemand erklären, wie man auf die beiden unteren Gleichungen bei 12:14 kommt?
Also d_ii und d_i,i+1
Gucken Sie sich am besten nochmal die Definitionen bei 9:16 an... Dabei einfach mal gucken was bei einem Integral herauskommt wenn j = i; j=i+1 oder j = i-1 ist. Diese Zusammenhänge gelten nur für 'equidistante Gitter'.
Ich verstehe nicht, wie der Trick mit der partiellen Integration funktioniert. Ist die partielle Integration nicht einfach eine andere Schreibweise für das Ausgangsintegral? Wie kann ein Integral, dass null ist nach einer Umformung plötzlich ungleich null sein? Und ist nicht eine Voraussetzung der partiellen Integration von df/dx * g, dass die Funktionen f und g stetig sind? f wäre ja hier die erste Ableitung von phi_i und damit nicht stetig.
Kleines Beispiel: Seien
f_1(x) = 1-2x
f_2(x) = 0
f_3(x) = 2x
f_4(x) = 2-2x
Wenn unser Gitter nur aus x_0 = 0, x_1 = 1/2 und x_2 = 1 besteht, dann gilt
phi_0(x) = f_1(x), falls x=1/2
phi_1(x) = f_3(x), falls x=1/2
hier passiert dann in der Vorlesung:
0 = int_0^1(phi_0"*phi_1)
= phi_0'(1)*phi_1(1) - phi_0'(0)*phi_1(0) - int_0^1(phi_0'*phi_1')
= - int_0^1(phi_0'*phi_1') != 0
Wenn ich versuche das Integral auf die Intervalle aufzuteilen, auf denen die Funktionen stetig sind, sieht das bei mir so aus:
0 = int_0^1(phi_0"*phi_1) // Aufteilen auf die beiden Intervalle
= int_0^1/2(phi_0"*phi_1) + int_1/2^1(phi_0"*phi_1) // Ersetzen der stetigen Stücke durch die entsprechenden Funktionen
= int_0^1/2(f_1"*f_3) + int_1/2^1(f_2"*f_4) // partielle Integration
= f_1'(1/2)*f_3(1/2) - f_1'(0)*f_3(0) - int_0^1/2(f_1'*f_3') // Ausrechnen...
+ f_2'(1)*f_4(1) - f_2'(1/2)*f_4(1/2) - int_1/2^1(f_2'*f_4')
= -2 - 0 - (-2) + 0 - 0 - 0
= 0
Damit bin ich durch die partielle Integration kein bisschen weiter gekommen. Wo ist mein Denkfehler?
Es geht glaube ich eher darum, sinnvolle Gleichungen zum lösen (also mit denen man weiterarbeiten kann) zu gewinnen. Der erste Gleichung, in denen die zweite Ableitung auftaucht, gibt das nicht her; aber nach der Umformung bekommt man entsprechende Gleichungen zum weiterarbeiten.