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4 paradoxes de la logique mathématique | Infini 17
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- Опубликовано: 7 авг 2024
- Cette épisode explore 4 paradoxes fondamentaux de la logique mathématique.
1:32 Paradoxe du barbier (relié au paradoxe de Russell)
3:14 Paradoxe de Berry
4:34 Paradoxe de Richard
6:07 Paradoxe de Skolem
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L'axiome du choix | Infini 15
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j'adore tous vos vidéos.Continuez mon cher, c'est ce genre d'activités extrêmement utiles pour des milliers d'étudiants ou de simples passionnés des sciences-comme moi- que vos publications font le bonheur ! Vous ne savez pas à quel point on aime voir quelque chose d' UTILE et de vraiment vraiment SENSÉ sur youtube...vu le nombre hallucinant de bêtises qui y circulent comme les théories des complots de tous genres, des dogmes religieux ou n'importe quoi...encore BRAVO !
je déteste les métaphores. une pomme, ça ne fait pas de lien entre 2 autres pommes. c'est encore plus confus quand on cherche à imager :/
Salut Lê, je voulais te remercier de partager ton savoir mathématiques. Pas toujours facile à comprendre pour un littéraire mais petit à petit tu ouvres les portes de ma compréhension ! Si tu donnes une conférence bientôt j'y viendrais avec plaisir. D'ici là continue de nous régaler !
Et vous Nicolas, que conseilleriez-vous pour avoir un esprit plus littéraire ?
Dans le cas où l'on veut lister de manière physique (écran ou papier (peut importe le nombre de page)) une infinité de nombres dans une échelle de temps infinie, est-ce que l'on peut lister tous les nombres ?
Pour répondre il faut savoir que pour lister quelque chose, il faut plus de temps que la quantité dans une échelle non infinie. Exemple dans une heure un Humain ne peux pas lister un milliard de nombre sur une feuille. Il n'a pas assez de temps. Mais dans une échelle infinie, on peut lister une infinité de nombre du coup ! Mais comment le démontrer ? Est-ce juste ? Merci d'avance de votre aide !
Je demanderai simplement à l'ange : "D'où viens-tu ?"
L'ange répond le paradis. Le démon aussi, car il ment.
PS : je trouve ces petites énigmes très sympas, et rend youtube beaucoup plus interactif ! C'est la première fois que je commente et c'est grâce à toi, bravo pour tes vidéos !
Pour le défi lê c'est une énigme assez connue, il me semble devoir inclure un paradoxe dans un paradoxe pour que cela fonctionne, bien qu'à mon avis si je lis les commentaires j'aurais la réponse assez vite ! Très bonne vidéo comme à ton habitude !
Pour revenir sur un paradoxe que tu as deja évoqué ( Achille et la tortue ) je voulais te proposer un défi qui en découle : Considerons que chaque fois qu'Achille avance de 12 pas la tortue avance de 1 pas. Si Achille avance alors de 1 pas, la tortue avance de 1/12 pas... Alors on se dit qu'il y aura toujours un écart entre eux, même s'il devient de plus en plus petit. Nous savons pourtant qu'Achille rattrape effectivement la tortue mais où ?
On s'interroge devant la course des aiguilles d'une montre : il est exactement midi. L'aiguille des minutes va 12 fois plus vite que celle des heures.
Combien de fois les aiguilles se superposeront-elles avant minuit ? A la seconde près quels sont les instants où elles se superposeront ?
Et si on voulait aussi superposer l'aiguille des secondes ?
salut cher Lé : hardcore 1 sur les tenseurs renvoie à des vidéos antérieures que je ne trouve pas (eg les 14 et 18) : as-tu un site où se trouvent toutes TES vidéos (et pas mélangées avec d'autres). Bravo pour tes performances !
Sinon on ne demande pas quelle est la bonne porte, on les entrouve pour vérifier ce qu'il y a derrière épissétou :) :) :)
Mdr pas mal pas mal
Celle-ci m'a fait éclater de rire !
Merci c'est gentil😙☺
Attention sarcasme: super, wah, bravo.
Sérieusement, t'as deux entités surnaturelles devant toi et tu joues les gros bras ? Pas si malynx le lynx haha
Petite question qui me vient à l'esprit : on comprend assez aisément la notion d'infinie/finie quand on parle d'ensembles, la notion de dénombrable/indénombrable un peu plus compliquée a comprendre reste cependant assez naturel (on la sent plus ou moins intuitivement). Oui mais comme tu l'as si bien dit dans ta vidéo, grand nombre de paradoxes proviennent en réalité d"une sur interprétation qui ne peut arrivé quand on utilise le formalisme mathématique à la condition qu'il soit définie de manière consistante. Ma question est donc la suivante, comment pouvons nous définir formellement la notion de finitude et de dénombrabilité dans le cadre des ensembles ?
C'est exactement la question que je me pose actuellement.
Notamment la phrase 3:45 : Cependant il y a une infinité de nombre et seulement un nombre fini de façon de combiner 100 caractères.
Les caractères sont ils finis ?
Ça m'intrigue.
@Science4All (français)
Pour le problème de l'ange/démon, il y a plusieurs demandes possible soit en posant une question sous la forme "si je te demandais... que me répondrais-tu ?" ou "si tu étais un ange/démon..." mais j'en ai trouvé une plus sympa ;)
La solution que j'aime bien. Il suffit de lui demander: "Quelle porte mène à ton royaume ? " L'ange pointera le paradis (la vérité) et le démon mentira et montrera le paradis !
Un peu facile, ça ressemble à l'énigme du dieu Vrai, Faux et aléatoire en beaucoup plus simple (pour ceux qui veulent chercher, je recommande) !
Continue comme ça, super vidéo ;)
A plus,
Vincent, doctorant en physique (nous aussi on aime les maths ;) mais pas les paradoxes ! )
EDIT: je viens de voir que d'autres personnes y avaient aussi pensé !
le problème ne dit pas que le diable habite en enfer
Mais le problème est là tellement il est déguisé il peut d'auto définire comme ange et là en a moins de certitude
"Indique-moi la porte menant chez toi"
C'est très malin ça !
Frédéric Bouley ah ouais fallait y penser !! GG
^_^
Ben le démon va montrer la porte du paradis, vu qu'il va mentir... ?
wgolyoko Ouais mais le démon est obligé de mentir dc il montre forcément la bonne porte.
Super série, merci pour ton boulot !
Quand tu dis "nous qui sommes à l'extérieur du sac de pommes, nous pouvons lister les pommes à l'aide d'entiers naturels qui ne sont pas dans ce sac" (10.30), peux tu éclaircir le statut de ce type d'argument ? N'y a t il pas toujours un mathématicien pour effectuer une opération non contenue dans l'ensemble dont il (le mathématicien) parle ? Merci encore !
Il suffit que le barbier soit une femme :D
n on on dit barbiere
@@kheylemiquekheylemique3247 non, mais pas sûre que ça se dise barbière... :D
@@kheylemiquekheylemique3247 barbière n'existe pas
Oui, elle existe dans la chanson ancienne et populaire suivante :
A Paris il est une barbière qui est belle comme le jour ( bis)
Et puisqu'on dit qu'elle est tant belle, et bien j'irai la voire un jour ( bis )...
ou imberbe 😂... bien vu en tout cas
slt, je me demande
est ce que la fonction cos de zeta est une surface dans l'interval. ]-∞; 0] ?
je ne comprends rien mais tu es captivant.See ya!
J'ai une question si ton sac de pomme est une bouteille de Klein ça fonctionne (ta pomme y est sans y être) et ton paradoxe n'en est pas un si ?
bonjour, j'ai pas regardé toutes les vidéos de la série donc ça a peut être déjà été demandé, mais tanpis : qu'est-ce qu'il y a juste avant l'infini ?
Si la page wikipédia était fausse, il faudrait que ton pote logicien ou toi faisiez les modifications. Sinon, super épisode. J'adore les paradoxes de Richard, Berry. ;)
Alors, pour le Défi Lê je dirais qu'il faut lui demander ceci:
"Si tu étais l'inverse de ce que tu es et que je te demandais quelle est la porte du Paradis, quelle porte m'indiquerais tu ?" Il suffit de prendre la réponse inverse.
En effet:
Si c'est un ange, dans ce cas il me dira ce qu'un démon conseillerait, c'est-à-dire la porte de l'enfer. En prenant l'autre porte, j'arrive au Paradis.
Si c'est un Démon, il me dira l'inverse de ce que me conseillerait un ange (la porte du Paradis) donc il me dirigera vers l'enfer. Encore une fois en prenant la porte opposée j'arrive au Paradis.
Voilà ^^
Maintenant s'il y a 3 portes dont une qui mène vers une voiture de Luxe et les deux autres vers une chèvre ... non je plaisante X)
Bien pensé ! Mais il y a plus simple !
J'aime beaucoup ce genre de proposition car elles font des hypothèses énormes :
Le démon à une vision "Vrai" de qui il est et de la "valeur" de chaque porte.
Imagine que le démon se parle à lui même pour répondre à la question (attribuer une valeur aux variables du problème) :
1 - "Si tu étais l'inverse de ce que tu es" .... qui est l'inverse de moi ? .... si je suis un démon, alors l'inverse est un ange et donc je dois répondre que l'inverse est un démon. Non ?
2 - Et si mon inverse est un démon (en se mentant à soit même), il va montrer la porte des enfers et donc je dois mentir et te montrer la porte du paradis ... et c'est le drame.
Donc en répondant à la question en deux temps, il fournirait une autre réponse que si il évalue la proposition en une fois (ce qui semble illogique).
Dans ta "logique" (et celle de tout le monde, moi y compris), le démon EST un démon (et est au courant ... ce qui fait intervenir une notion de "méta" vérité) et donc il doit évaluer la question "en une fois" puis appliquer une négation ... Mais, c'est vraiment sa "logique"/son processus de raisonnement au démon ?
Cette remarque marche sur les autres réponses qui ont été proposées en fait.
Ma question est : comment le démon sait qu'il est un démon et comment il sait qu'elle est la porte du paradis ? et je pense que sans faire intervenir un savoir/une vérité "extérieur" au problème, tu ne peux pas trouver de question pour être certain d'avoir la bonne porte.
En parlant de la logique du démon (qui n'est pas "définit" ici), vu que le personnage répond toujours, je peux lui poser une question sur un problème indécidable ? Il se passe quoi alors ? l'ange bug ? le démon répond au hasard ?
La plus grande tragédie de l'informatique et des mathématiques, c'est quand on a montré que toutes les questions n'avaient pas de réponses.
Plus simple : " Laquelle de ces portes mène vers tes semblables ? "
je prends la chèvre
et s'il aucun semblable existe?
Tout d'abord un grand merci pour ces vidéos très stimulants.
Pour ton petit problème, j'aimerais l'aborder sous un angle:
On a deux entités (Interrupteurs logiques); une toujours vraie (l'ange) et l'autre l'opposé (le diable), alors une des solutions possibles est juste une composition des deux Interrupteurs qui a pour valeur de sortie, la valeur opposée de la valeur d'entrée vue qu'elle est commutative, d'où une réalisation peut s'avérer comme :" quelle est la porte de l'enfer qui m'aurait indiquée ton opposé?"
sauf que tu sais pas c qui sont oppose sa pourrait etre lange ou le demon donc ta question nest valable
La logique mathématique serait la "vraie" logique ?
Vu mon parcours j'ai tendance à être d'accord, mais je ne peux m'empêcher de me demander si ce n'est pas juste un biais, ou au moins une récupération de notre part.
Qu'ont les philosophes à dire sur le sujet, par exemple ?
Il n'y a pas qu'un logique mathématique. En fait, il y en a autant que tu veux, il suffit de les définir. Notamment la logique propositionnelle, la logique du premier ordre, qui est la plus utilisée, et les logiques d'ordre supérieur forment les "langages" de la logique et ce que tu peux exprimer.
Tu peux encore séparer en fonction des axiomes que tu utilises pour la démonstration : il y en a essentiellement trois "intéressantes"/qui se recoupe avec notre définition intuitive de la logique, d'une démonstration et du vrai. La logique minimale, la logique intuitionniste et la logique classique.
Un peu plus éloigné des différentes logiques, tu as souvent beaucoup de modèle pour une même théorie. ça veut dire que même ce qui te semble "logique" peut être vrai, ou faux, en fonction du modèle, c'est plus ou moins les sacs de pommes dont parlait Lê.
Pour la deuxième partie, les philosophes parleront de la logique sans que ça n'ait rien à voir avec la logique mathématique. J'avais un prof de logique qui enseignait aussi en philo qui, en répondant à la question de ce que serait un cours de logique pour matheux et philosophes disait que ça serait extrêmement pénible pour les premiers.
- Alors, La théorie des ensembles : D'abord, il y a l'ensemble vide.
- Mais peut-on vraiment parler d'ensemble vide ?
C'est deux notions très différentes, et en mathématiques tu choisis la logique que tu veux utiliser. Il y en a juste qui sont plus intéressantes que d'autre.
ça me paraît curieux comme réponse parce que pour moi c'est comme si tu me disais que je ne pouvais pas parler de la discipline de la géométrie parce qu'il existe plusieurs géométries (euclidienne, sphérique, etc.).
Là je parlais bien de la discipline de la logique mathématique même si je suis plutôt bien au courant de l'existence de différentes logiques (premier ou second ordre, classique / intuitionniste / linéaire, etc.).
Je ne doute pas vraiment qu'une logique qui ne soit pas la logique mathématique paraisse peu rigoureuse à des mathématiciens. Je remarquais seulement que dans notre milieu il y avait une tendance à considérer que la logique mathématique est la "vraie" logique, alors qu'historiquement le terme recouvre davantage.
En fait je serais vraiment intéressé de savoir si à l'heure actuelle il y a encore des choses intéressantes à dire dans la logique qui ne soient pas de la logique mathématique, ce qui fournirait un contre-exemple à l'idée que la logique mathématique serait la "vraie" logique.
J'ai bien conscience que "intéressant" est subjectif, donc je vais préciser en demandant quelque chose qui est encore étudié aujourd'hui pour soi-même et pas pour son intérêt historique.
Il faut demander à l'ange/démon "que me dirais-tu si je te demandais quelle porte mène au paradis?"
Si c'est un ange, il dois dire la vérité, et donc m'indiquer la bonne porte
Si c'est un démon, il doit mentir sur son mensonge, et donc indiquer la bonne porte
Voilà!
Continue tes vidéos, elles sont super !!
la question que je poserait serré la quelle de c 3 porte et celle qui mene au paradie?
Pour le paradoxe des 2 portes:
on pose la question: "quelle porte m'aurais conseillé ton contraire ? (ange ou démon)"
Dans ce cas:
-si c est l'ange qui parle, il dit la verité donc va dire ce qu'aurais dit le démon donc la mauvaise porte
-si c est le demon qui répond, il ment et diras donc le contraire de ce qu'aurais dit l'ange donc le contraire de la verité, donc la mauvaise porte.
Dans les deux cas la réponse sera la mauvaise porte, il ne reste donc plus qu'a choisir l'autre porte et le tour est joué! :D
c juste et faux a la foi car tu sais pas si c lange ou pas genre imagine cest lange tu lui pose ta question il vas peut etre pas repondre en disant le demon aurait dit il vas peut etre dire il aurait dit donc ta question est juste seulement ci lange te dit qui est son oppose et il ne te le diras peut etre pas dans sa question
Super
hey. tu m as un peu perturbé... l ennonce qui dit que le cardinal de N est plus petit que celui de R est donc une sur interprétation?? la seule chose qu on a réussi à démontré c est qu il n y a pas d bijection entre les deux mais ça voudrait quand même dire que les deux peuvent être "identiques" ?? sinon très intéressante comme vidéo. continue ;)
Pour savoir quelle porte prendre il suffit de lui demander : Si tu devais choisir une des portes, prendrais-tu la porte rouge (en imaginant qu'il y en ait une bleu et une rouge) pour aller la ou tu vies ?
Si la porte rouge mène à l'enfer alors l'ange dira non et si c'est un démon il dira non aussi car il doit mentir.
Si la porte rouge mène au paradis alors l'ange dira oui et si c'est un démon alors il dira oui aussi car il doit mentir.
Bien réfléchi
à propos des bijections et des différents ensembles je me posais une question depuis ta vidéo 14
pour faire une bijection de N² sur N, on peut dire que tout couple (à;b) est associé à un unique entier de N.
pour faire une bijection de N³ sur N, tout triplet (a;b;C) est associé à un unique entier de N.
mais pour faire une bijection de N(puissance son cardinal), il faudrait que chaque nombre de N (puissance beaucoup) soit associé à un unique entier.
or, il y a une infinité de nombres premiers, donc on peut associer (a;b;C;d;E..........) au produit de P1^a × P2^b×.......
c'est sûrement (ou plutôt à coup sur) faux, mais je trouve pas où, et je cherche depuis un moment. si je pouvais avoir un éclaircissement... merci :)
PS : désolé pour le vocabulaire pas très mathématique, je suis encore qu'au lycée :(
Pour le barbier, si n troll un peu (car on voit ou tu veux en venir) on peu dire que si le barbier ne veux pas se raser alors il sera contrains par la loi en tant que barbier de le faire. Alors que si il veux se raiser, ça sera l'individu qui a pour métier barbier qui se rase et non en tant que professionnel qui applique la loi. J'ai faux ?
Salut, j'aimerais savoir où as tu acheté ton t-shirt avec la citation de Albert Einstein. Je veux le même😍
Mon prof de maths nous a fait le coup de la diagonale de cantor (que j'avais vu déjà l'an dernier parce-que je suis 5/2) quelques jours après ta vidéo sur le sujet
La remarque des commentaires précédents sur l'unicité de l'écriture d'un nombre m'a intrigué donc je suis allé demander des explications à mon prof: sa démonstration avait-elle une faille?
Il m'a expliqué qu'il avait bien prit soint de créer un nombre qu'avec des 1 et des 2 (il travaillait en décimal, pas en binaire), comme ça, il n'avait pas le problème de l'inifinité de 9
En gros, sa construction était: "Je met 1 si le chiffre n'est pas un 1 et sinon je met 2"
Du coup, je lui ai demandé si il y avait une façon de démontrer qu'il n'y avait que les cas avec des 9 qui posait problème et il m'a simplement répondu qu'en étudiant la série des (an-bn)/10^n avec an la nième décimale de notre nombre et bn la nième décimale d'un autre nombre de notre liste initiale, on doit pouvoir montrer que ça ne fait pas 0
De tout ça, je suppose qu'il ne faut surtout pas travailler en binaire pour cette démonstration vu qu'on a besoin de 2 chiffres qui ne sont pas égaux à base-1...
"Si je te demandais quelle porte est celle du paradis, laquelle me montrerai-tu ?" - La porte désignée est celle du paradis
Cas 1: L'ange est honnête et nous montre la porte du paradis
Cas 2: Le démon ment 2 fois rendant la réponse vraie car non non est équivalent à vrai.
Je pense que tu as déjà connu la bonne réponse, mais là c'est raté !
Si tu demandes au démon de te montrer la porte du paradis, il va simplement te montrer celle de l'enfer... Avec ta question, l'ange et le démon ne montrent pas la même porte.
Antoine Delègue tu peux mentir 2 fois en disant la même chose si tu ments, tu ments.
Puis pour le cas de la vidéo tu n'as le droit qu'à une seule et unique question.
+EnjoyDadidou je ne vois pas pourquoi ça ne marcherait pas...
Si on demande au démon quelle est la porte du paradis, il montrera celle de l'enfer.
Par contre si on lui demande quelle porte il aurait désignée si on lui avait posé la question, il ne peut pas montrer la porte des enfers sinon il cesserait de mentir(il indiquerait la porte qu'il aurait effectivement montrée si on lui avait posé la question)... donc il doit désigner la porte du paradis pour continuer à mentir.
Non ?
Ah d'accord je n'avais pas compris ça comme ça...
C'est pas mal mais si le démon comprend la question dans le bon sens (contrairement à moi :p), elle agit du coup un peu comme deux questions
Ma confusion venait du fait que j'avais lu la question comme si c'était juste "désigne moi la porte du paradis", mais en lisant bien ta proposition finalement je la trouve correcte. Astucieux la double négation !
Personnellement j'avais pensé à demander: "quelle porte me désignerait l'autre gardien si je lui demandais la porte de l'enfer ?".
Résultat, soit vérité + mensonge, soit mensonge + vérité, dans les deux cas cela fait une négation, donc la porte désignée sera celle du paradis.
Pas tout pigé, mais R est en bijection avec P(N), et le cardinal de P(N) est strictement supérieur au cardinal de N. On est bien sur taille des ensembles non ?
Est que l'on sait si il est ou non un ange/demon?
D'ou viens-tu ?
si c'est l'ange il dira le paradis
Le démon mentira et indiquera aussi le paradis !
Smal Martin t’es un génie mec
Smal Martin sauf marche sauf'si'on dit'que le demon?"peut" mentir, il peut mais il peut'aussi dire la verité
sauf qu'il a droit à une question. il saura peut être si c'est un ange ou un démon mais il ne connaîtra pas la porte à prendre
Il peut juste te dire paradis sans te montrer quelconque porte..
Il répond pas a la question et tu as le droit qu’a une seul question !
Wah t'es vraiment trop fort 👍🏻
Le 6.28 est bien en référence à pi*2 ?
Pour l'ange, il faut lui demander quelle porte il m'indiquerais comme étant celle de l'enfer si il avait le comportement opposé au sien.
Normalement, il nous indiquera forcément la bonne porte.
I'm So Olympic Non, soit A celui qui dit la vérité, et B celui qui ment.
Supposons que l'on demande à B ce que dirait A si on lui demandait quelle est la mauvaise porte. Étant donné que B sait que A nous indiquerait effectivement la mauvaise porte, il va nous indiquer la bonne porte.
Si on demande a A ce que dirait B,alors sachant que B montrais la porte du paradis, A va donc montrer cette dernière.
J'espère ne pas avoir été trop confus dans mon explication.
Non ca ne marche pas.
Si c'est un ange et qu'on lui demande d'indiquer la porte de l'enfer en raisonnant comme le démon, alors il va se mettre à la place du démon et mentir, indiquant la porte du paradis
Si c'est le démon et qu'on lui demande d'indiquer la porte de l'enfer en raisonnant comme l'ange, alors il va se mettre à la place de l'ange et dire la vérité, en indiquant la porte de l'enfer
Résultat, c'est comme si tu inversais les rôles, l'ange ment et le démon dit la vérité
Il va bien se mettre a la place de l'ange, mais il ne faut pas oublier qu'il ment toujours. Il va donc dire le contraire de ce que dirait l'ange.
Dans ce cas il ne faut pas lui demander de répondre en se mettant à la place de son opposé, mais plutôt
"Que me répondrais ton inverse si je lui demandais qu'elle porte mène au paradis?"
Là, ils répondraient tous les deux l'enfer
C'est l'idée
Quelle est la porte que tu représentes sur le plan spirituel?
Quelle porte ton alter égo me conseillerait il d'ouvrir ?
Surtout, ouvrez l'autre porte...
Question: je veux aller en Enfer quelle porte me conseil tu ?
tu lui demande si 2=9 si il repond oui alors tu sais que c'est le demon (puisqu'il ment toujours), si il repond non alors tu sais que c'est l'ange (parcq il dit toujours la vérité ) , en suite tu prend l'ange (j'admet que l'ange/demon est bien un ange ) et le balance dans une porte au pif , si il revient alors sa veut dire qu'il etais en enfer (car l'enfer n'est pas sa place) , si il revient pas sa veut dire qu'il est au paradis (car le paradis est sa place) voila cqfd puis de toute façon si tu sait fair les 10 traction réglementaire c'est pas un ange/demon qui vas te mettre en PLS
Sinon tu le tabasse jusqu'à ce qu'il te dise la vérité xD
une patate qui a l'air extremement apetissante mdr tu ma tue avec tes tractions
Où tu ne demandes rien et touche simplement chaque poignée ^^
tres bonne idee
Pour corriger ta preuve, il suffit juste d'écrire en base trois, et en remplaçant les 0 par des 1, les 2 par des 1 et les 1 par des 0 ça devrait marcher, non ?
Ou pour faire ça proprement en base 2, il faudrait imposer l'écriture finie (ou infinie, au choix) de tes réels, et si ton nombre contient un infinité de 1 consécutifs, tu en choisis un (la nième décimale), et tu inverse le nombre qui correspondait dans la liste avec un nombre plus loin dans la liste, qui a un 1 en nième décimale (ça existe parce que sinon les nombres avec 1 pour nième décimale serait en nombre fini...), et tu réitère ce processus ad infinitum : ton énumération n'en pâti pas, et toute les décimales de ton nombre contre-exemple sont définies.
Alors, tu as un nombre qui n'est pas dans l'énumération et qui n'a pas une infinité de 1 consécutifs.
Ouf.
La base trois en fait c'est plutôt cool.
Bonjour,
Question d'une personne néophyte en mathématiques, te sera-il possible un jour de nous faire une vidéo qui montre comment construire à partir de ZF les nombres naturels, puis les nombres relatifs, puis les rationnels, puis les réels ? Car les constructions me semblent encore très flou alors que c'est pourtant une notion que l'on utilise très souvent les nombres réels !
J'en profite aussi pour te féliciter pour ta chaine qui est d'un très bon niveau et permet de se plonger dans le monde des maths sans trop de douleur !
Je pense faire un épisode Hardcore à ce sujet :P
Les méthodes traditionnelles pour cela ne me satisfont pas, j'ai commencé à en développer d'autres, mais n'ai pas fini (ayant tellement de sujets à aborder...). Déjà, ZF ne me satisfait pas comme point de départ, je commence par ma propre axiomatisation admettant à la fois ensembles et fonctions comme objets premiers. Puis la représentation des entiers naturels comme étant chacun l'ensemble des entiers plus petits, bonne comme cas particulier d'ordinaux, ne me semble pas pertinente pour d'autres contextes, de sorte que j'aborde ça autrement, en tant qu'objet universel d'une catégorie d'algèbres (partie 3 de mon cours, seulement en anglais pour le moment : settheory.net). Pour aller plus loin (ce que je n'ai pas encore fait), l'important à mon avis n'ést pas ce que les nombres "sont" mais quelles sont leurs propriétés algébriques, de sorte que je préfère commencer par des constructions algébriques générales... pour les nombres réels je préfère la construction de Dedekind, que j'exprimerais sous forme de complétion de treillis (voir mon texte sur les correspondances de Galois)
Pour le défi, la difficulté réside dans le fait qu'il faille poser une question, et non ordonner. Voilà pourquoi tous les impératifs sont à jeter car lange/démon ne répond qu'aux questions. Donc je proposerais cette question : "est ce que cette porte conduit à ton monde?" En désignant n'importe quelle porte au hasard.
Si on indique le paradis les deux diront oui, sinon ils diront non. Voilaaa
Pas mal ces paradoxes !
Depuis quand tu es prof sur Digischool ?
Salut Lê !
Encore une vidéo paracétamol :) Excellent
Par contre est ce que tu ne fais pas un raccourci (2:15) entre inclusion et appartenance ?
En gros entre le sac et les pommes.... car si une pomme extraite de l'ensemble peut entrer dans un autre sac, il constitue alors un sous ensemble, qui n'est pas une pomme mais un ensemble d'une pomme...
A€A ? (€ = appartenant) Non mais A C A (A inclus dans A), un ensemble de sous ensemble n'est pas le même objet qu'un ensemble. Tout dépend de comment on considère mathématiquement la frontière entre le sous ensemble et un élément de l'ensemble de base qui n'est pas dans ce sous ensemble
Car comme tu le sous entends, les mots eux mêmes doivent être bien définis. Le barbier n'est pas un élément de l'ensemble de la population mais un élément de cet ensemble, couplé à un opérateur pour moi il doit être "dual" en ce sens, et être un villageois et un barbier, donc en tant que villageois il peut ou peut ne pas se raser lui même, après le barbier le rasera (donc lui même) par contre il pourra prendre double peine s'il ne s'exécute pas (pas rasé, douze coups de fouet, en tant que villageois, et douze de plus car en tant que barbier il n'a pas fait son travail)
Ou alors je dois reprendre un cachet ^^
On demande a l'un : "Si je demande a l'autre quelle porte est la bonne, laquelle me dira t il?" . La reponse est toujours fausse dans les deux cas. Il suffit de prendre l'autre porte.
C'est qui "l'autre" ?
Aurelien Perdriaud remplace l'un par A et l'autre par B. Pour A = ange ou pour A = diable tu peux essayer ça marche
Carlo Mascherini ah ouais exact
Carlo Mascherini non je pense qu'il faut toujours dire
"Si je demandais à l'autre qu'elle porte mène au paradis"
Parce que dans ton cas si c'est l'ange il te montrera la porte du paradis mais si c'est le demon il te montrera la porte de l'enfer puisqu'il mentirai ...
Tandis que en demandant à l'autre l'ange sais que le diable aurait dis l'enfer donc il montre l'enfer et le diable sais que l'ange aurais montre le paradis donc il ment et montre l'enfer et dans les deux cas l'autre porte est le paradis ...
Mais il y a pas "d'autre" dans son énigme !!
je n'est pas fait d'étude! mais super intéressant ta vidéo MERCI
3.10 " Si je devais te demandé de mentir pour m'indiqué quel porte choisir, que me dirais tu ? "
Si l'ange est un ange, il t'indiqueras la mauvais porte pour mentir, on prendras donc l'autre.
Si l'ange est enfaite une démons, et donc ment, on prendras donc l'autre aussi.
mon prof de math me l'a faite en 2nd mdr
mais à la base ya pas 2 anges jumeaux ? un qui ment et un qui dit la vérité ? moi c'est comment sa qu'on me l'avais faire et ducoup la question étais :" si je devais demandé à ton frère quel porte choisir, que me dirai il ?" ainsi il suffit je choisir l'opposé, car lange diras la vérité, et donc un mensonge en imitant son frère, et le démon forcément un mensonge.
Merci !
Bon sang j'adore les maths.
Cette histoire de pomme a mis mon cerveau en compote!
3:10 La question à poser à l'ange serait : "Si je te demande si la porte noire est celle du paradis, est-ce que tu vas me répondre oui?"
Vu qu'il y a une question dans la question, on contourne le système du mensonge.
J ai lu cet article（ www.science4all.org/article/univalence/ ） de toi. Est ce qu il y en a de videos?
Bientôt ;)
ca m'intéressera beaucoup
T’es une tête je kiff ta vidéo ! J’ai rien piger car j’ai un niveau bas des maths mais bon tres plaisant a regarder
Voilà mon cerveau après cette vidéo :
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Brave Guerrier ...
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je ne comprends presque rien, mais je trouve tes vidéos très intéressante !
Je ne comprends pas
L'impossibilité de la bijection entre N et R n'est pas équivalent à une "différence de taille"?
Et du coup, on peut lister les réels de manière dénombrable ou pas?
Encore une chose, l'existence des paradoxes logiques sont dus à "la" logique elle-même, ou à autre chose?
Petite remarque rapide (donc peut-être fausse). Le problème dans la preuve du fait que l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable vient sans doute de l'utilisation de la base 2.
En effet, deux développants en base b correspondent au même réel s'ils sont égaux sauf qu'à partir d'un moment, on a (k+1)0000000000... d'un côté et k(b-1)(b-1)(b-1)...
Donc quand on liste les éléments de [0, 1[, on peut poser que u_n n'est jamais le développement k(b-1)(b-1)... Et pour définir le réel non listé, on dit que le n-ième chiffre de v est distinct du n-ième chiffre de u_n ET de (b-1). On a donc la garantie que v n'est pas un développement du type k(b-1)(b-1)...
Mais pour faire ça, il faut que b soit au moins égal à 3. Et il faut aussi prouver que l'affirmation du 2e paragraphe.
" Si tu était le démon, quel porte me dirait tu de prendre ? "
Gg
pour la petite énigme. Il faut demandé a l'ange/démon (on ne sait pas), dis moi ce que me dirait ton opposé si je lui demandais quelle est la porte de l'enfer, ensuite il va m'en montré une et ce serra bien évidement la porte du paradis.
car si on demande a l'ange, il va nous dire la vérité, que son opposé nous montrera la mauvaise porte (donc PAS celle de l'enfer que je lui demande)
et si on demande au démon, il va mentir, sachant que l'ange va nous montré la porte de l'enfer que je lui aurai demandé, il montrera lui la porte du paradis pour me tromper (car il me prend quand mm pour un sacré con)
heuuuu sinon en math j'aimerais bien voir ce que ca donne sous forme de formule.
Sinon super tes vidéos !!!
Tout système logique est inéluctablement incomplet ! Kurt
A propos du premier paradoxe je trouve un moyen évident de le contourner mais puisque c'est un vrai paradoxe je vois pas mon erreur, help !
En fait, le barbier se rasera lui même au final puisque personne d'autre n'est en droit de le raser. Le problème c'est de savoir si il le fait en tant que barbier ou non. En différenciant la personne du travailleur on a plus de problème.
En ramenant ça au problème de Russel (orthographe ?), cela semble signifier qu'il faut différencier l'ensemble des éléments qu'il contient.
Est-ce la le problème ? Si l'ensemble se contient alors on ne peut pas différencier n'importe quel élément de l'ensemble puisqu'il en existe au moins un qui est l'ensemble ?
Merci !
Si j'étais comme toi quel serait la porte que je mérite ?
Les théorèmes d'incomplétude de Gödel - Science étonnante #37
=> Il vient juste de te griller la priorité !
Ou.. Les grands esprits se rencontrent ...
3:13 Quelle est la porte menant au monde d'où tu viens ?
Bas non il peux venir de partout
EXPLOSION DE CERVEAU !!
Dans le paradoxe de Richard, pour "diagonliser" l'ensemble des nombres définissable il faut que cet esemble soit dénombrable, non?
Il l'est. Mais ce qu'est un nombre "définissable" est mal définis, mais si tu prends un nombre fini de symboles, ou même un nombre dénombrable de symboles, et que par définition d'un nombre tu entends "suite de symbole finie et valide" alors tu as bien un nombre dénombrable de définition.
ok
est-ce que tout les nombre réels sont définissable par une équation mathématique ? si oui, est qu'on peut toujours trouver une équation mathématique de moins de 100 caractères qui donne pour résultat le nombre voulu ?
Alors je dirai que oui pour la première question avec l'argument suivant : Tu prends par exemple une fonction f de R dans E inclus dans R qui soit strictement croissante. Des lors, pour tout x dans R, il existe y dans E tel que f(x)=y. Par exemple, tu prends f(x) = x^3 . Ainsi, tout x de R est définissable par une equation mathématique.
Et pour la deuxieme partie de la question, il se trouve que oui étant donné que mon exemple fait moins de 100 caractères
Quel porte montrerais tu si tu étais ton inverse(*)? Et on choisit la porte qu'il ne montre pas
(*) l'inverse de l'ange est le demon et l'inverse du démon est l'ange
le démon va montrer sa porte à lui parce qu'il ment donc il ne montre pas l'inverse
j'ai une question.. est ce que Le Démon vient de l'enfer et l'ange du paradis.. j'imagine que cela fait partie du paradoxe dans ces cas là nous pourrions demander : "D'où viens tu?" Dans les deux cas le démon ou l'ange nous présentera la porte du paradis. Pensez vous que ça marche?
Au fait, pour le probleme du binaire et des nombres a deux ecritures, ce que tu as fait , c est montrer qu'il n'y a pas de bijections entre les entiers et l ensemble des ecritures de nombre.
Il faut juste trouver une bijection(en fait juste une injection) entre ce deuxieme ensemble et les reels .
Pour cela, on peut diviser chaque ecriture par deux , et ainsi liberer un bit d'information (le premier chiffre sera 0)
On utilise ce bit pour dire de quelle ecriture du nombre il s'agit , soit celle avec une infinite de 1 soit une infinité de 0.
'Si tu es un menteur, indique moi la porte menant vers l'enfer, sinon, indique moi la porte du paradis" ca marche ou pas ?
quel bel amour du français!
"Quelle porte ne m'aurait pas montré le démon si je lui avais demandé quelle est la porte qui mène au paradis ?" En posant cette question quoi qu'il arrive on me montrera la porte du paradis :-)
Il y a quelques années, une grande marque d'eau minérale française nous vantait les vertus de son produit .. une eau 'acratopège' ... ce mot est d'origine difficile à établir mais cela viendrait du grec de ἀκρατής "sans force", donc "sans propriété particulière". Ainsi, et c'est un coup de génie du publicitaire, on cherche à vendre une eau dont la principale propriété est d’être ... sans propriété particulière ... moi je dis chapeau ... bon mais si l'étymologie est plutot acra -- taupe--agé (des acras de vieille taupe ) alors mon explication ne tient plus je le concède .... Pour le reste bravo pour tes vidéos c'est cool ...
Concernant le paradoxe de Berry, il y a un truc que je n'ai pas bien compris : la phrase de moins de 100 caractères qui définit un entier ne pouvant pas être défini en moins de 100 caractères "occupe" une des combinaisons possibles avec ces 100 caractères non ? De fait, cet entier ainsi défini n'est pas réellement le plus petit car il ne fait que remplacer un autre qui aurait été défini par une combinaison similaire
Je ne sais pas si j'ai été clair, à vrai dire ce n'est pas totalement clair pour moi non plus... x)
C'est exacte ! Du coup, on tombe sur un paradoxe, parce que le langage courant n'est pas une théorie mathématique valable. C'est pour éviter ce genre de problèmes qu'on utilise des langages formels et bien définis pour les mathématiques.
Serwyn D'accord merci beaucoup !
J'ai toujours eu du mal avec ce "plus petit nombre qui ne peut être défini en moins de100 caractères".
Pour moi cela signifie qu'on a déjà usé de toutes les combinaisons de toutes les manières avec tous les symboles (etc) possibles et imaginables, et que donc fatalement cette combinaison de 80 caractères a déjà servi à définir un autre nombre. Donc ce nombre est déjà passé avant et il n'y a pas de problème.
C'est exactement la question que je me pose actuellement.
Notamment la phrase 3:45 : Cependant il y a une infinité de nombre et seulement un nombre fini de façon de combiner 100 caractères.
Les caractères sont ils finis ?
Ça m'intrigue.
Pour la preuve de l'indénombrabilitée de R avec la diagonale de Cantor il faur rajouter comme condition que l'écriture en base 2 ne peut pas se terminer par une suite infini de 1. Comme dans la définition de L'écriture décimale d'un réel(avec les 9).
Oui mais justement si on tombe sur une infinité de 8 en construisant la diagonale, en ajoutant 1 à chaque chiffre, on tombe sur une infinité de 9, donc potentiellement un chiffre qui a été listé plus haut avec son écriture contenant une infinité de zéros, non?
Bon, mais dans ce cas très particulier, on peut prendre le nombre correspondant à la diagonale à laquelle on retranche 1 à chaque chiffre. Il contient une infinité de 7 et n'a donc qu'une seule écriture. Le problème en base deux c'est que ces nombres sont les mêmes!
Humm étant donné l'axiome de récurrence la théorie de péano n'est pas justement une théorie du second ordre ?
Quel porte mène vers chez toi, a ce moment là les deux répondront forcément la porte qui mène vers le paradit
J'ai répondu la meme chose 4 mois après sur la 17^^suis d'accord en supposant qu'on sait que l'ange vient du paradis et le démon de l'enfer, ce qui n'est pas dit...^^
Dans ma 1ere minute le nombre de quillemets que t'a imité à bec tes doigts
Dans le paradoxe du barbier il y a 1 cas où le paradoxe est résolue, celui où le barbier est imberbe, n'ayant pas besoin de se raser il ne peut transgresser la loi du village. Au plaisir
Le plus petit nombre qu on ne peut ecrire en moins de 100 caracteres n'est il pas egal a 10 puissance - 101 (en gros 0,000...01 pour qu'il y ai 101 nombres) ?
Le problème n'est pas le nombre de chiffre à utiliser mais vraiment le nombre de caractères: quand t'écris 10^(-101), t'as seulement 9 caractères pour décrire ce nombre ('1', '0', '^', '(', '-', '1', ...)
Même le nombre TREE(3) ne s'écrit qu'en 7 caractères ("T', 'R', 'E', 'E', '(', '3' et ')') et du coup, même si ce nombre est extrêmement grand, il peut s'écrire en moins de 100 caractères
Le paradoxe ici, c'est que si tu admets l'existance d'un plus petit nombre qui s'écrit en moins de 100 caractères, tu peux l'appeler "le plus petit nombre qui s'écrit en moins de 100 caractères" et... je ne vais pas m'amuser à compter le nombre de caractères que contient cette phrase mais je suis sur qu'elle fait moins de 100 caractères (61, merci python)
Du coup, il est possible de décrire ce nombre en moins de 100 caractères
À tout ça, je pense que si on définit un ensemble des nombres qui ne peuvent pas s'écrire en moins de 100 caractères, on ne peut pas définir le min de cet ensemble
Or, c'est un ensemble dénombrable (car inclu dans N donc il suffit de décaller les indices de temps en temps pour faire une bijection) et c'est également un ensemble qui admet une relation d'ordre
Pourtant, il me semble (je ne connais pas de théorème disant ça mais c'est avec un peu de pensée) que les ensembles dénombrables qui admettent une relation d'ordre, admettent un min... C'est bien que cette ensemble ne peut pas exister, je pense
Je pense qu'il faudrait demander au démon (Ou l'ange) : qu'elle est la porte que tu m'indiquerais si j'étais face à l'autre facette de toi (C'est à dire qu'elle porte tu m'indiquerais si tu étais un ange alors que tu es un démon et inversement) Et l'on prend la porte opposé à celle indiqué par l'ange(Ou le démon)
Quand je dit "porte que tu m'indiquerais" Je veux dire porte menant au paradis bien sur
Yep c'est la bonne réponse
Et il faut prendre la porte que l'entité ne montre pas.
Quelle est la porte que le démon indiquerait comme étant celle de la liberté ? Et tu ne prends pas la porte qu'il te montre mais l'autre
"Je ne sais pas, si tu es un ange ou si tu es un démon, mais si tu ne serais pas l'un des deux que tu es en réalité mais l'autre, quelle porte m'indiquerais-tu donc être celle qui mène au paradis?"
Je prends l'autre.
Ah bien vu car les 2 vont mentir
Écris mieux, on comprend vraiment rien
Question à poser (si mon affirmation est vrai en supposant que la porte refermant le paradis est celle de droite alors j'augmenterai paradoxalement mes chances de pouvoir aller au paradis soit la question sera de tel) : La porte de droite e mène-t-elle au paradis ? Si vrai j'y vais, Si faux je vais dans l'autre
1:50 c simple c juste qd c dans ses heures de travail ou pas
Je dirais que des vidéos de qualité amènent des viewers de qualité. C'est pour ça que t'a de bons commentaires ;)
peut on parler de logiciel du vivant ?
Il suffit de démontrer que ]0,1[ n'est pas dénombrable par ton argument et en base 10
Mais le sac de pomme ne fait t'il pas lui même un bilogisme ?
pour l'histoire des nombres definis en moins de 100 caractere il y a un probleme puisque la phrase"le plus petit nombre ne pouvant pas etre defini avec moins de 100 caracteres" designe a la fois le nombre dont la phrase parle( en francais ) et un autre nombre(defini par la combinaison des caracteres) donc c'est un probleme de langage: si on utilise a la fois une regle de combinaison de caracteres pour designer les nombres et la langue française pour designer le nombre on a une incoherence.
illustration:
car est une conjonction de coordination en français et designe une voiture en anglais
Très humblement, car n'étant pas un mathématicien, je suis d'accord avec les réserves sur l'argument de la diagonale de canton et les suites stationnaires à 1 en base 2, ou à 9 en base 10. c'est une erreur fréquemment faite dans les publications de vulgarisation ... l'article Wikipedia fr.m.wikipedia.org/wiki/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor évite ce problème en construisant une suite ne comprenant que des 1 et des 2 (en base 10). pour s'en sortir en base 2, il faut passer en base 4, c'est à dire en traitant 2 décimales d'un coup : 00=>01, 01=> 10, 10=>01, 11=>00, ce qui permet de construire un réel qui n'est pas dans la liste, et qui ne reste pas stationnaire à 1
Loi du Barbier, article 6,28, aka loi Tau?
"On se rends compte que ce n'est pas toujours une question de taille" on parle toujours d'ensemble ?
😂
ptn
Pour ceux qui veulent un exemple plus simple à comprendre :
Les gâteaux et les morceaux :
Imaginez une boulangerie qui vend des gâteaux et des morceaux de gâteau.
1. Gâteau entier (Ensemble des nombres entiers) : Imaginez que chaque gâteau entier représente un nombre entier (1, 2, 3, …). Peu importe combien vous avez de gâteaux, vous pouvez toujours les compter un par un. Ils sont dénombrables.
2. Morceaux de gâteau (Ensemble des nombres réels) : Maintenant, imaginez que chaque morceau de gâteau représente un nombre réel entre 0 et 1 (ce qui inclut des nombres comme 0.1, 0.12, 0.12345, etc.). Il y a tellement de morceaux (à cause de toutes les décimales possibles) qu’il semble impossible de les compter un par un comme nous l’avons fait pour les gâteaux entiers. Nous disons généralement qu’ils sont indénombrables.
Le “paradoxe” avec la boulangerie :
Supposons maintenant qu’un magicien arrive et vous dit qu’il a une méthode magique pour associer chaque gâteau entier à un morceau de gâteau spécifique de telle manière que tous les morceaux sont comptés.
Cela semble impossible, n’est-ce pas? Comment peut-on associer chaque gâteau dénombrable à un morceau de l’ensemble indénombrable des nombres réels?
Relier à Skolem :
De la même manière, le paradoxe de Skolem suggère qu’il est possible de “compter” (dans un certain modèle) l’ensemble des nombres réels, qui est normalement considéré comme indénombrable. C’est ce qui le rend si contre-intuitif. Dans notre analogie, la méthode magique du magicien est similaire à l’idée qu’il existe un modèle dans lequel l’ensemble des nombres réels est dénombrable.
La résolution :
La clé est de comprendre que, bien que dans notre conception “habituelle” (ou modèle standard) les morceaux de gâteau soient indénombrables, il pourrait exister une autre façon “magique” (ou un autre modèle) de les regarder où ils deviennent dénombrables. Cela ne rend pas notre conception originale incorrecte; cela montre simplement qu’il existe différentes façons d’envisager la situation, certaines étant plus contre-intuitives que d’autres.
Merci