Conservations of MacBeath Poncelet triangles vs. the confocal (elliptic billiard) family.

Using our app [1] we show that the MacBeath Poncelet triangle family [2] conserves sum of squared sidelengths and sum of double-angle cosines. Compare with the confocal Poncelet family (elliptic billiard), which conserves the sum of sidelengths and sum of cosines. Note: these curious conservations extend, at least for the confocal case to N greater than 3 [3]. We conjecture the same is true for MacBeath for N greater than 3.
[1] I. Darlan and D. Reznik, "Loci of Centers of Ellipse-Mounted Triangles", GitHub, 2020. dan-reznik.github.io/ellipse-mounted-loci-p5js/?sc=14.731&cx=565&cy=264&clr1=f00000&clr2=00aa00&clr3=0000f0&clr4=9b1493&bg=fafae6&a=1.676&xn1=3&xn2=2&xn3=4&xn4=5&lc2=trilins&lc3=trilins&lc4=trilins&mt1=macbeath&mt2=macbeath&mt3=macbeath&mt4=macbeath
[2] E. Weisstein, "MacBeath inconic", MathWorld, 2003. mathworld.wolf...
[3] A. V. Akopyan, R. Schwartz, and S. Tabachnikov, "Billiards in ellipses revisited", European Journal of Mathematics, 2020.

[@dominiquelaurain6427]

Like in orher Poncelet cases, the inradius r is a function of circumradius R and semi-perimeter s. Here for MacBeath Poncelet s^2 - r*(4*R + r) is a constant. I am confident to prove your invariant with Cayley condition (for Poncelet 3-orbit) and my parametrization of elliptic billiard (I have the trilinear coordinates of the foci for an ABC isosceles 3 orbit with A on minor axis plus axis lengths).

[@dreznik]

tu as de brillants outils, j'attends ta démonstration...

[@dominiquelaurain6427]

J'ai une démonstration algébrique avec mes outils en coordonnées trilinéaires. On part d'un triangle isosceles ABC inscrit dans le cercle avec BC = a, AB = AC = b, et on calcule les coordonnées paramétriques d'une 3-orbite générale P1P2P3 (notamment du fait que le centroid G est fixe, car le Nine Point center et l'orthocenter le sont)...à la fin on obtient que la somme des carrés des longueurs des cotés de P1P2P3 est invariante égale à a^2 + 2*b^2. Quand le centroid est fixe, c'est plus facile, car je paramétrise une droite P2P3 tangente à l''ellipse. Le rapport de proportion des longueurs des semi-axes de l'ellipse est une fonction directe de b/a.