Conservations of MacBeath Poncelet triangles vs. the confocal (elliptic billiard) family.
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- Опубликовано: 25 авг 2024
- Using our app [1] we show that the MacBeath Poncelet triangle family [2] conserves sum of squared sidelengths and sum of double-angle cosines. Compare with the confocal Poncelet family (elliptic billiard), which conserves the sum of sidelengths and sum of cosines. Note: these curious conservations extend, at least for the confocal case to N greater than 3 [3]. We conjecture the same is true for MacBeath for N greater than 3.
[1] I. Darlan and D. Reznik, "Loci of Centers of Ellipse-Mounted Triangles", GitHub, 2020. dan-reznik.github.io/ellipse-mounted-loci-p5js/?sc=14.731&cx=565&cy=264&clr1=f00000&clr2=00aa00&clr3=0000f0&clr4=9b1493&bg=fafae6&a=1.676&xn1=3&xn2=2&xn3=4&xn4=5&lc2=trilins&lc3=trilins&lc4=trilins&mt1=macbeath&mt2=macbeath&mt3=macbeath&mt4=macbeath
[2] E. Weisstein, "MacBeath inconic", MathWorld, 2003. mathworld.wolf...
[3] A. V. Akopyan, R. Schwartz, and S. Tabachnikov, "Billiards in ellipses revisited", European Journal of Mathematics, 2020.
Like in orher Poncelet cases, the inradius r is a function of circumradius R and semi-perimeter s. Here for MacBeath Poncelet s^2 - r*(4*R + r) is a constant. I am confident to prove your invariant with Cayley condition (for Poncelet 3-orbit) and my parametrization of elliptic billiard (I have the trilinear coordinates of the foci for an ABC isosceles 3 orbit with A on minor axis plus axis lengths).
tu as de brillants outils, j'attends ta démonstration...
J'ai une démonstration algébrique avec mes outils en coordonnées trilinéaires. On part d'un triangle isosceles ABC inscrit dans le cercle avec BC = a, AB = AC = b, et on calcule les coordonnées paramétriques d'une 3-orbite générale P1P2P3 (notamment du fait que le centroid G est fixe, car le Nine Point center et l'orthocenter le sont)...à la fin on obtient que la somme des carrés des longueurs des cotés de P1P2P3 est invariante égale à a^2 + 2*b^2. Quand le centroid est fixe, c'est plus facile, car je paramétrise une droite P2P3 tangente à l''ellipse. Le rapport de proportion des longueurs des semi-axes de l'ellipse est une fonction directe de b/a.