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vielen herzlichen Dank für diese tolle Erklärung. Ich mache Statistik als Wahlpflichtfach und hatte Blockvorlesung in den Semesterferien. Dieses Video von Ihnen hilft mir sehr, insbesondere, weil ich nicht von einer Mathematisch-technischen Faklultät komme.

This is slightly confusing, and potentially teach the wrong intuition, in that you appear to show there is a volatility impact on terminal wealth. But shouldn't be an expectation of volatility drag on cumulative wealth. Your comparison is not quite "(static) apple to (stochastic) apple". In the ODE (non stochastic) case, you had assumed a constant and positive compounding rate for the stock. But in the SDE, stochastic case, the stock compounding rate is drawn from a normal distribution with mean 0 and stdev of sigma. Therefore in your SDE, the expected compounding rate is 0, while the "expected" compounding rate in your ODE is finite, which you labeld beta! You wouldn't compare the static apple to a fussy stochastic apple with a mean diameter of 0, would you? Now, if the more interesting question here is whether a stochastic process with the same log normal mean as a non stochastic process, would there be a drag on cumulative wealth due to the volatility? To answer that question we need to solve a SDE with the same mean drift as the ODE, but add a stochastic term representing the geometric brownian motion (Wiener process): dS_t =a x S_t x dt+b x S_t x dW_t, where a is the drift (same as your beta) or average compounding rate, and b is the standard deviation of the compounding rate for one time period. dW is the geometric brownian shock ~ N(0,1), or white noise. You can integrate this by first express this Ito process into a Stratonovich form: dS_t =(a - 1/2*b^2) x S_t x dt+b x S_t * dW_t where "x" is the Ito, and "*" is the Stratonovich form of SDE. We can use separation of variable to integrate this but first we have to separate the variables, dividing both side of the Stratonovich form of the SDE by S_t: dS_t/S_t = (a-1/2*b^2) x dt + b * dW_t Now integrate both sides, from t=0 to t you get S_t = So * exp[(a-1/2*b^2)*t +b*sqrt(t)*epsilon] where epsilon ~ N(0, 1). People often erroneously assume 1/2*b^2 is a volatility drag on performance. Let's see is it a drag or not on average expected terminal wealth, S_t. To find the difference in mean terminal value, lets take the expectation of the S_t, and realizing that only epsilon is random you get: E[S_t]=So * exp[(a-1/2*b^2)*t ] * E[exp(b*sqrt(t)*epsilon)] Recall E[exp(X)]= exp(sigma^2/2) if X ~N(0,sigma). I am omitting the derivation, which essentially involves the integral of INTEGRAL[exp(X)*pdf(X) dX], where pdf(X) is normal gaussian in X. This means. E[S_t]= S0* exp(a*t), the "volatility drag" 1/2*b^2t, cancels out by the Expectation of cumulative random process. So there is NO drag. And therefore the fussy stochastic apple has its average shape as the static apple. So in your case, the S_t=S_0*exp[sigma*Wt-1/2*sigma^2*t] your sigm =: b, and 0=: a in my equation. And therefore the final discrete dS_t will have a mean 0, which does not compare to your ODE case where there is a finite drift.

Thanks for the great video! One question if I may, at 8:29 if your delta t is not 1, your dWt still using standard normal? I just want to clarify the relation between dWt, standard normal, and dt. Is dWt always ~N(0,1) under any dt? Many thanks in advance if anyone can advise.

Thanks for this video

Very instructive video thanks sir. May I know where the intuition comes for adding the variance term in order to correct the solution of the PDE for Wienner process ?

The video is very interesting, thank you! However, I didn't quite understand how Ito's lemma allows to take into account continuous variations of the interest rate

I wish all your videos were on english, because your explanations are just excellent. I was familiar with Ito but u just gave me a new intuition, Thank you so much

Brilliant!

Vielen Dank für das tolle Video! Wenn ich das richtig verstehe, dann geht es in der letzten Gleichung darum, ob sich der Konsum- oder Investitionsverzicht *für die Beteiligten* lohnt. Warum diese Einschränkung? Mir zum Beispiel ist bei der Investitionsentscheidung nicht nur mein Wohl (oder das Wohl meiner Mitkonsumenten) wichtig, sondern das Wohl *aller* Menschen (gegenwärtiger und insbesondere auch künftiger Menschen). Wenn man dem kleinen Männlein mit den grünen Flausen im Kopf ein Gewissen modelliert, das nicht nur das eigene, sondern das Wohl aller berücksichtigt, wird die Antwort dann dahingehend eindeutiger, dass es sich noch häufiger oder vielleicht sogar fast immer lohnt, Investitions- und Konsumverzicht zu betreiben, sofern dieser eine noch so kleine erwartete Reduktion von CO2-Äquivalenten zur Folge hätte? Vielleicht könnte man das auch in der Nutzenfunktion des grünen Männleins abbilden: Ist es möglich, dass sein Nutzen von dem Nutzen anderer Akteure abhängt, sodass das Folgende, was Mill dereinst gesagt haben soll, eingepreist wird? "Nein, ich sorge mich um das öffentliche Wohl, weil in mir die Eigennützigkeit die Form öffentlichen Geistes angenommen hat, und wenn ich dies das angemessene Ziel nenne, meine ich, dass ich wünsche, alle anderen Menschen übernähmen es als solches mit der Absicht, es zu erreichen, womit die Erreichung meines eigenen größten Glücks zusammenhängt." LG

Good job sir, i always try to watch intuitive videos of math and the solve the equations understanding why you use that

Mir erschließt sich nicht, wieso die Funktion h(x,y)=(x-1)y keine stationären Punkte besitzt. Wenn man die Ableitungen nach x und y gleich null setzt ergibt sich doch y=0 und x=1. Durch die Hesse-Matrix lässt sich auf einen Sattelpunkt schließen. Beide Werte sind doch im Definitionsbereich (x,y) = (IR ≥ 1 X IR ≥0) enthalten, oder nicht?

I’m taking a financial mathematics course this semester. Thanks for this

Enlightening. Thanks

Excellent!!!-A CQF alumni

Good!

Mir ist nicht ganz klar, woraus bei 2.6 ersichtlich wird, dass h(x-y) ebenfalls eine zweidimensionale Funktion ist. Für mich sah h nach einer Konstante aus, weil in der Klammer (x-y), statt (x,y) wie bei g(x,y), steht. Was bedeutet es denn für eine zweidimensionale Funktion, wenn in der Klammer F(x-y) steht?

It took you 25 mins to explain what my teacher tried to explain in 6 months

🎅🏻🎄

Danke, wünsche Ihnen auch frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr.

🎄

Thanks

thank you for this video :) very helpful!

one the simplest and most excellent expositions I ve seen. Bravo!

When in the minute 15:53 you said that "this means that this ( formula) is the solution to our differential equation", this means that the formula is capable to predict all the values of the function ahead on time? Or means that is a solution for all the points that you already have and you can't predict nothing with the solution to the differential equation? Thanks for your answer

Sir, please more videos in english on Financial Mathematics

I would love to see more financial mathematics videos covered in english!!! This was really helpful. Thank you :)

Dear Hendrik, Thanks very much for an awesome video. Could you please share the Excel sheet which you produced in the video?

Das war ein sehr hilfreiches Video. Gibt es von Ihnen hierzu irgendwie ein Skript/Vorlesungsnotiz oder so?

This is the first time I got SDE's and how to use Ito's Lemma. Thank you!

Would love you to go through ito integration in similar detail

Hätte ich das Video mal vor 20 Jahren zu meiner Diplom-Arbeit gehabt 😂

Just stumbled upon this explanation. Really nice, thanks a lot! I have a question though. At 15:00 you show the formula for the correct solution and there I can see that there is a term -A2 which is "t". But in this case we basically end up with the function similar to exp(-t), because "t" is increasing and Wt is not. And the solution can't look like what we need. So did you correct the formula afterwards? How does "t" actually contribute to exp(sigma*Wt - t*sigma^2/2) formula?

Thanks for the clear explanation! greeting from malaysia👍👍👍

Very good, although I do think its useful to include a note on the quadratic variance of the Wiener process being equal to dt, for the application of Ito's lemma.

muss bei der 4.2b) die stelle 3halbe nicht einen positiven x wert haben?

Ist es nicht unmöglich, zu beweisen, dass gilt f(0) = 0, denn die Funktion f (falls die nicht mengenwertig sein soll, was ich hier einfach mal ausschließe) ist durch die Gleichung y^5 - y = 𝛾x ja nicht eindeutig definiert? f(0) = 1 würde auch die Gleichung erfüllen, ist somit also nicht auszuschließen. Ohne f genauer zu definieren, lässt sich also das in der Aufgabenstellung 9.1 behauptete nicht beweisen. Dieses Problem zieht sich auch durch die anderen Teilaufgaben.

Professor, I have tested the equations on my computer, and I found that the denotation "t" used is actually the step size, instead of the actual t {0,1,2,3,4,5,6,7,8....} . may I ask why is that ?

thank you for the brilliant content, professor. I have known that a standard Brownian motion has property : W(t) - w(S) FOLLOWS N(0, t-s) . May I ask if the dW used here is also following N (0 , step size) assuming step size used here is 1?