Zespół powstał w 1985 w Krakowie, z inicjatywy Janusza „Gonzo” Miki, po częściowym rozpadzie punkowej kapeli Wee Wees, której był wokalistą. Pierwszy koncert Genezyp Kapen zagrał w 1985 podczas festiwalu Poza Kontrolą w Warszawie.
W 1991 grupa odbyła trasę po Litwie (m.in. koncert w Wilnie), a rok później nakładem firmy Fala ukazała się kaseta „Polski Bronx” zawierająca 14 utworów. Kilka z nich znalazło się na licznych punkowych składankach.

W ciągu 17 lat aktywności scenicznej krakowska formacja zagrała ok. 120 koncertów, występując m.in. z zespołami takimi jak: Deuter, Dezerter, Izrael, T. Love czy francuski Skaferlatine. W 2002, zespół zawiesił działalność, jak się okazało, na... 16 lat.
Reaktywowany w 2018 Genezyp Kapen powrócił do składu z lat 90. Tworzą go obecnie: wokalista i basista Janusz „Gonzo” Mika; gitarzysta Jacek Buzdygan; perkusista Jarek Gil oraz saksofonista Rafał Mazur. Od 2018 grupa znów koncertuje.