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Bonjour, si a=3, mis à part pour u0 = 0 et u0 = 1, on peut montrer que la suite (un) converge vers 2/3. Pour l'existence de la limite, le raisonnement n'est pas aisé si on travaille avec un u0 quelconque. Daniel Perrin dans l'article que je mentionne utilise le théorème de Coppel, mais qui n'est pas au programme de sup. L'idée sinon est de trouver un intervalle stable par f définie par f(x) = 3x(1-x) et contenant u0. Empiriquement on peut constater que la convergence devient de plus en lente à mesure que a se rapproche (par valeurs inférieures) de 3. Plus précisément, 2/3 est un point fixe neutre de f car f'(2/3) = -1. Ainsi, on obtient, grâce par exemple à l'inégalité de Taylor-Lagrange, l'existence d'une constante C>0 telle que pour tout n suffisamment grand (dépend de u0), (u_n - 2/3) est majoré en valeur absolue par C/(n+1).

comment une aire rend compte d'une distance ? a quel moment on constate que ca s'annule en 1 ? c'est quoi ce 1 ?

@@Gaelaxie Prenons l'exemple d'une voiture qui circule à la vitesse constante de 100 km/h pendant 3h. Pour trouver la distance parcourue par cette voiture, tu fais d = v * t soit 300 kms parcourus. On peut aussi visualiser ce calcul de la manière suivante : - Dans un repère (orthonormé), on trace la courbe de la vitesse en fonction du temps : on obtient un droite parallèle à l'axe des abscisses car on a une fonction constante. - Le calcul d = v * t représente exactement le calcul de l'aire du rectangle obtenu graphiquement, dont les côtés sont délimités par l'axe des abscisses, la droite (horizontale) d'équation y=v et les droites (verticales) d'équation x = T(ini) et x = T(final). Maintenant, si la vitesse n'est plus constante, tu peux toujours représenter la vitesse en fonction du temps, tu obtiens une courbe (plus forcément une droite) et l'aire sous la courbe (plus précisément du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses entre les instants T(ini) et T(final)) représente toujours la distance parcourue par le véhicule. Pour la seconde partie de ta question : A partir de la fonction inverse, continue sur ]0; +infini[, on peut définir sur ]0;+infini[ une infinité de primitives de cette fonction. On fait le choix de regarder celle qui s'annule en 1. C'est pas totalement arbitraire, on peut observer que ces primitives transforment les multiplications en additions, donc il est pertinent de s'intéresser à leur évaluation en 1, qui est l'élément neutre pour la multiplication. Et comme il y a autant de primitives que de valeurs possibles pour l'image de 1, on s'intéresse, par commodité, à celle qui vaut 0 en 1. C'est plus naturel par exemple que de regarder celle qui vaut -37,5 en 1. C'est un peu la même idée quand on s'intéresse aux fonctions dérivables égales à leur dérivée. C'est le point de départ d'une définition possible de l'exponentielle. Sauf que ça ne suffit pas, la fonction constante égale à 0 vérifie cette définition ... Donc pour définir complètement ce que sera la fonction exponentielle, on lui impose, en plus d'être égale à sa fonction dérivée, de ne pas être constante égale à 0. Par exemple en fixant exp(0) = 1.

Tout d'abord merci pour ce commentaire très sympathique ! Je te souhaite bon courage pour ton oral 😉 Concernant ta remarque, tu as parfaitement raison. Au dénominateur, la somme des deux termes en bleu clair est bien égal à (N-1 parmi N) et non (N parmi N) et c'est bien d'ailleurs ce qu'on veut pour conclure. Donc très bien vu, c'est une inattention de ma part.

Oui tout à fait 😅

Vous avez raison, je serais plus vigilant dans le choix de mes illustrations à l'avenir, mea culpa 😅

Merci beaucoup pour votre commentaire ! Ravi que cela vous ait plu 🙂

Certains élèves l'ont utilisé sans la spé physique bien sûr, c'est tout à fait possible. Pour ceux faisant la spé physique on pourrait détailler un peu plus la partie "loi de refroidissement", éventuellement en évoquer d'autres aussi. Mais en l'absence de la spé physique, la partie mathématiques se suffit à elle-même.

@@demathsenpi7512 ça peut tenir 10 minutes ou il faut qu'on ajoute des choses ?

@@lurio8288 Tu peux évoquer des méthodes complémentaires, telles que le nomogramme de Hennsge, discuter des limites du modèle (température ambiante constante, etc). Il y a de quoi tenir 10 minutes en tout cas. Bon courage à toi !

Ici u(n) désigne une proportion, donc on veut que la suite u prenne des valeurs entre 0 et 1. Considérons la fonction f : x |-> ax(1-x) telle que pour tout n, u(n+1) = f(u(n)). On veut donc que sur l'intervalle [0;1], f prenne aussi des valeurs comprises entre 0 et 1 (ainsi on s'assure que si 0 <= u(0) <= 1, ce sera le cas pour les termes suivants de la suite (récurrence simple)). On étudie la dérivée de f, définie par f'(x) = a(1-2x). Ceci permet d'obtenir le tableau de variations de f sur l'intervalle [0;1]. On remarque alors que le maximum de f sur [0;1] est a/4. Comme dit précédemment, on ne veut pas que f prenne des valeurs plus grandes que 1 sur [0;1], ceci conduit donc à prendre a inférieur ou égal à 4. Concernant a positif, c'est une une condition nécessaire pour que f prenne des valeurs positives. Finalement, on demande 0 <= a <= 4 dans ce modèle.

@@demathsenpi7512 Merci beaucoup !

Salut, j’étudie pour mon grand oral, la théorie du chaos et ses applications, notamment avec la suite logistique, et je n’ai pas compris le passage de P(n) a U(n) Pourrais-tu me l’expliquer ???

@@antoinetomi7356 Pour tout entier n>0, on a U(n) = P(n)/Pmax. Le coefficient a obtenu vérifie alors a = k*Pmax en reprenant les notations de la vidéo.

@@demathsenpi7512 Bonjour, excusez moi mais pourquoi le maximum est de a/4 ?

c une methode pour trouver graphiquement une suite definie comme u(n+1)=f(u(n)) mais ce serait un peu dur de l'explique en commentaire je l'ai vue en premiere et terminale

Ouii je vais faire sa aussi

J'ai fait ça l'année dernière et j'ai eu 18 je te conseille bambino

@@adamsk1355 je l’ai fait pour mon bac blanc et j’ai eu 17 mdrrr

@@adamsk1355est ce que tu aurasi toujours ton oral

Oui bien sûr !

N'est-ce pas 🙂

Merci beaucoup pour votre commentaire 🙂

Merci beaucoup pour la confiance accordée ! 😊

😃

Merci à vous ! 😊

Merci à vous 😊

3 + 3*5 = 3*(1+5) = 3*6. Ceci permet de trouver que d = 6 convient.

Oui vous avez raison, merci pour la précision, je serai plus vigilant à l'avenir sur le choix des images. Content que la vidéo vous ait plu

C'est une bonne remarque et un manque de vigilance de ma part. Cette valeur de phi(n) n'est effectivement pas accessible. Dans mon exemple je n'ai pas fait attention à cela, je voulais avant tout présenter l'algorithme d'Euclide et sa remontée, pour trouver les coefficients de Bézout.

Merci ! 😊

Je vous remercie pour l’attention portée à cette vidéo. De quelle censure parlez-vous exactement ?

@@demathsenpi7512 Ma réponse élogieuse a été censurée à nouveau. ! ! !

@@gilberttheisen9270 C’est étonnant, j’avais laissé les paramètres par défaut de RUclips. Sur cette vidéo je viens de modifier les paramètres pour que les commentaires puissent s’afficher dorénavant.

@@demathsenpi751219/8/2023. Ou ! enfin ! pour la 3è fois je vais pouvoir vous faire part de mes 2 découvertes, mais avouez que cela fut laborieux. Si je suis à nouveau censuré, j'arrête car ce serait perdre mon temps d'écrire pour être effacé ensuite. Je commençais mon commentaire par : Démonstration magistrale. Votre exposé est clair et précis. En plus ,vous êtes un des très rares à avoir vu la proximité du triplet de PYTHAGORE avec la conjecture de FERMAT. Le 5 juin 2022 ,je faisais la découverte de 2 équations qui m'ont rendu perplexe tant elles étaient faciles à trouver et totalement inconnues, je le pense, des mathématiciens. Je fais court, ne voulant pas sans cesse me répéter. 1 ) Equation du triplet de PYTHAGORE étendu à l'infini. De Z² = X² + Y² cela devient Zpuissance(N)=X² + Y² , avec +1 <= X < Y < Z < + infini et +2 <= N < + infini. Tous des nombres entiers positifs. 2) EQUATION UNIVERSELLE cachée de FERMAT mais retrouvée. Zpuissance(N +1)= Xpuissance(N) +Ypuissance(N) , avec +1 <=X <= Y < Z < + infini et +2 <= N < + infini .Tous des nombres entiers positifs. Il y aura TOUJOURS une différence de ""+1"" entre la puissance de Z et celle des X et Y. Les calculs sont têtus ! Il n'y a qu'une seule solution pour un nombre donné pour chaque puissance(N). Pour Z=3 les 2 équations se rejoignent. Z au cube = X² + Y² en FERMAT = U² + T² en PYTHAGORE sauf pour les très petits cubes où on a une solution double par des procédés différents. Zpuissance(N+1) avec sa solution unique > Z puissance(N) de la conjecture qui la rend impossible quelle que soit la puissance de (N) jusqu'à l'infini. C'est désormais devenu une énigme à la ""COLUMBO"" ! Vous avez la fin avec l'EQUATION UNIVERSELLE et la conjecture impossible. A vous d'avoir le plaisir de trouver l'astuce de départ de la démonstration de FERMAT, du niveau des élèves de 4è. Les calculs sont tellement simples et la solution tellement courte que FERMAT n'a pas osé communiquer à ses confrères qui le méprisaient sa découverte. Aussi, d'une équation simple il en fit une conjecture impossible avec les outils mathématiques de son temps. Il mit toute son équation à la puissance (N) et déclara que c'était IMPOSSIBLE. Depuis près de 4 siècles, tous les mathématiciens de renon se sont attaqués, DE FRONT , à cette conjecture et s'y sont cassé les dents. Ils n'ont pas vu ,TOUS, qu'il fallait passer par l'EQUATION UNIVERSELLE plus facile à résoudre. C'est le plus grand CANULAR mathématiques de tous les temps ! ! Pour les applications numériques se reporter sur d'autres sites. J'oubliais ! PYTHAGORE jusqu'à l'infini, il y a aussi une démonstration .....merveilleuse comme disait FERMAT. Perplexe car depuis plus de 2.500 ans pour PYTHAGORE et près de 4 siècles pour FERMAT, PERSONNE n'a été aussi loin dans des calculs faciles, à la portée de tous. Espérons que vous avez fait le nécessaire pour que je ne sois pas censuré encore une fois.

Merci ! 😊

Je vous remercie pour votre retour positif. Je serai plus vigilant à l'avenir sur le choix de mes illustrations, très bien vu !

Merci beaucoup pour votre message 😊

@@demathsenpi7512 De rien. Salutations

Merci 🙂