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ありがとうございます。

計算複雑性理論は量子複雑性理論へと進化し、それは現在では「量子情報理論」の一分野になっていると思います。 量子情報理論は、量子コンピュータの「エラー訂正技術」などに実際的応用を持つ一方で、「エントロピー論」を媒介として現代の物理学の基礎理論として活発に研究されています。それは、コンピュータ・サイエンスの理論というより、物理学への接近を強めています。Suskindや日本の笠-高柳らがそうした流れを先導しています。 一方、型の理論の現在形は、Veovodskyが始めた Homotopy Type Theoryです。この分野では、数学の基礎理論としてのCategory論のHoTTバージョンへの書き換えが進んでいます。従来のCategory論をClassic Category Theoryと呼ぶこともあります。新しい型の理論は、新しいCategory論と一体のものになろうとしています。 少し単純化して言うと、計算複雑性理論は物理学の基礎の領域で、型の理論は数学の基礎の部分でもっとも活発に研究されているのかもしれません。 お尋ねの両者の「接面」に該当するは分かりませんが、僕が興味を持った理論を二つ紹介します。 一つは、『MIP* = RE定理」と言われるもので、量子複雑性の議論から、長く解かれていなかった数学の問題と物理学の問題を同時に解決しました。 「コンピュータ・サイエンスの現在 -- MIP*=RE定理とは何か？」www.marulabo.net/docs/cs-mipstar/ 「MIP*=RE 入門-- Interactive Proofとnonlocal ゲーム --」 www.marulabo.net/docs/mipstar/ もう一つは、エントロピー論へのカテゴリー論の応用の動きです。 「エントロピー論とカテゴリー論」 www.marulabo.net/docs/info-entropy5-addendum/ 「エントロピー論の現在」 www.marulabo.net/docs/info-entropy5/ あと、個人的な哲学的・認識論的関心からは、「人口知能論」に両者の議論を援用するのは面白いと思っています。両者の「古典論」で十分だと思います。

@@MaruyamaLectures ご返信ありがとうございます。MIP*=RE定理のようにコンピューター・サイエンスが数学と物理の未解決問題をともに解決するケースがあるのですね。レクチャーの紹介もありがとうございます。また、カテゴリー論もエントロピーのような物理のようなトピックにも応用できることに驚きました。 ところで、先生のレクチャーは『言語の意味と数学的構造』から拝見しております。ここでおっしゃっている、「人工知能論への哲学的・認識論的関心」というのは、例えば『言語の意味と数学的構造』における「意味と形式は切り離せないという考え方」やこちらで言及していたファースの「状況の文脈」等のことだと思います。 認識論自体は広範な分野だと思うのですが、認識論自体が私は不勉強でして、概論的、もしくは入門的に「認識論とは何か」ということを知る手段（書籍等）を知る良い方法があれば教えていただけますと幸いです。

ポアンカレ予想を解いたペレルマンも、理解されなかったですね。

カテゴリー論の「応用」の見方が、ちょっと違うような気がします。 このセミナーで取り上げた言語理論DisCoCatの理論展開で中心的な役割を果たしているのは、カテゴリー論的な、次のような認識です。 ある理論Tともう一つの理論Mがあって、TからMへのFunctor Fが与えられた時、理論Mは理論Tのモデルとみなせる。あるいは、このMとFが、理論Tの「意味」を与えると見なすことができる。 こうした見方を、発見者の名前を取って、Lawvere のFunctorial Semantics と言います。カテゴリー論の成立期のもっとも重要な定理の一つです。この定理は、それ以前にもよく知られていた「理論」と「モデル」の関係を、カテゴリー論的に捉え返したものです。 DisCoCatは、このFunctorial Semantics を、言語理論に「応用」しようとしたのです。 「Functorial Semanticsの考え方を使えば、Syntax（文法の世界）をSemantics（意味のの世界）に対応づけられるはずだ」と。 このアプローチのメリットは、Syntaxの世界は、Chomsky-Lambek 以降それなりに形式化されているのに対して、Semantics の世界には、形式化された理論が存在しないというギャップを埋めることができる可能性があるということです。 「つまり、きれいな意味のモデルを１つ見つけるために圏論を使う、みたいな応用の仕方でしょうか？」 とおっしゃいますが、彼らの念頭にまずあったのは、「カテゴリー論のFunctorial Semantics の考え方を使えば、意味の形式的理論が構築できるはずだ」という考えです。こうした研究の目的・方向がカテゴリー論で与えられたのであって、単なる手段として、カテゴリー論を使ったわけではないと思います。（「圏論を使う」というのが、どういう意味なのかよくわからなかったのですが） それにしても、SyntaxからSemanticsへのFunctorを、どう構成すべきかという問題に、Functorial Semanticsが直接答えてくれるわけではありません。出発点（文法理論）と研究の方向(Functorial Semantics)が与えられただけです。そこから、実際の数学的作業が始まります。 うまいFunctorの構成を見つけて出来上がった、形式的な意味の理論は、「キレイ」というより、奇妙なものに僕には思えました。

コメントありがとうございます。 リプライが長くなりそうなので、別のページを作ろうと思っています。 途中までのリプライです。 --------------------------- 僕は、人間の様々な認識能力の中で、数学的な認識能力に一番興味があります。 自然の認識の変化でも、科学と技術の発展でも、それらの変化の背後にある一番大きな推進力であり基礎にもなっているのは、数学的な認識だと考えています。 人間の認識について少し単純化した議論だし、いろいろ異論は多いと思いますが、僕は、人間の知能の中核は「数学する能力」だと考えています。 ただ、現在主流の「人工知能」技術は、GPT-3.5を使ったTheorem Proverの失敗の総括で、Ilyaが述べているように、たとえ高校生レベルの問題でも数学の問題を解くことには全く手が出ないのです。 （Ilyaの発言とは明記されていないのですが、あんなことをはっきり言えるのは、彼しかいないと思います。違っていたらごめん。一方、Chat-GPTの論文には、彼は名を連ねていません。このことにも、僕は注目しています。） なぜ、大規模言語モデルは、数学ができないのか？　それには理由があると思います。 大規模言語モデルは、機械翻訳モデルから派生したものです。それはある言語の文法的に正しい文を受理し、他の言語の文法的に正しい文に変換・生成する能力を持ちます。それはそれで素晴らしいものです。 そこでの意味理解は、基本的には、翻訳的意味理解ともいうべきものです。それは、 　「 "I love you" の意味は、"私はあなたを愛している" ということである。」 と考えることです。 あるいは、同じことだと思いますが 　「システムTが、 "I love you" を"私はあなたを愛している" に変換できるなら、システムTは、"I love you" の意味を理解している」 と考えることです。 システムTは、入力に与えられた語の並びS1を、別の語の並びS2に変換するシステムと考えることができます。ただ、こうした変換が可能であるためには、システムTに課せられる最低限の条件があります。それは、S1もS2も「文法的」に正しい語の並びでなければならないということです。 " I you love"は英語の文法にあっていませんのでシステムTは、それを入力として受け付けることはできません。また "私愛するあなた”は、日本語の文法にあっていませんので、システムTは、そうした出力をすることはできません。 システムTが、こうした文法性の要件を満たしているとして、次のように考えることができるでしょうか？ 「システムTが、文法的に正しいシーケンスS1を文法的に正しいシーケンスS2に変換できる時、システムTはS1の意味を理解していると考えることができる。」 これは少しおかしいですね。こう言えるのは、出力S2の意味を我々が理解できる場合だけですね。少し変更しましょう。 「システムTが、文法的に正しいシーケンスS1を文法的に正しいシーケンスS2に変換でき、S2の意味を我々が理解できる時、システムTはS1の意味を理解していると考えることができる。」 これは、機械の意味理解についてのいい解釈かもしれません。大方の場合はそれでうまくいきそうです。機械の意味理解を、人間がその意味を理解できることに還元しているのが気になりますが、そこは当面は目をつぶることにしましょう。 ただ、こうした意味の理解だと、数学の問題の意味を考えると、そうそうに少し困ったことが起きます。多分、それは人間の意味理解の能力が、非常に広いからだと思います。一つの逃げ道は、数学のことなど考えないことなのですが。 「 1 + 1 = 2 」という文を考えましょう。この構文的に正しい式をシステムTは、「1たす1は2である」と正しい日本語に変換できるでしょう。我々はこの日本語の意味を理解できますので、Tは「 1 + 1 = 2 」の意味を理解していると考えることができます。 今度は、「 1 + 1 = 3 」という文を考えましょう。この構文的に正しい式をシステムTは、「1たす1は3である」と正しい日本語に変換できるでしょう。ただ困ったことに、我々はこの日本語の意味を、そのまま理解できるのです。ですから、先の解釈に従えば、Tは「 1 + 1 = 3 」の意味を理解していると考えるしかないのです。たとえ、我々は、「それは、数学的には間違っている」とわかっていたとしても。 別の言い方をすれば、変換システムT自体には、数学的には真である「 1 + 1 = 2 」と数学的には偽である「 1 + 1 = 3 」を区別する能力はないのです。「 1 = 1 」と「 1 = ０ 」の区別のできないシステムに、数学的能力を期待することはできません。 もっと一般的に言えば、ある命題が現実の世界で真であるとか、物理的実在の世界で真であるとかの判断を機械に期待することはできません。ただ、そのことで機械の無能力さをあげつらうのは、僕の本意ではありません。それは、まず、なによりも、現実の中で生き、物理的実在に取り囲まれている人間に求められている仕事なのですから。 それでは、機械に数学的能力を期待するのは、難しいのでしょうか？　大規模言語モデルの上に数学的能力を構築するのが難しいからといって、まったくそうではないのです。 機械には、そうした回り道をせずとも、直接に、自分の力だけで、論理的・数学的に正しい推論を行う能力を持っているのです。 （途中です）