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Oui. Le calcul des prédicats est la formalisation du premier niveau de la logique mathématique (la logique du premier ordre). Autrement dit, il s'agit de représenter certaines expressions mathématiques comme des objets mathématiques, de manière analogue à la théorie des polynômes qui vise à représenter des équations comme des suites finies. Le calcul des prédicats permet ainsi de donner une assise aux théories axiomatiques des ensembles modernes, comme ZF(C), en les représentant comme théories du premier ordre, c'est-à-dire comme ensembles d'objets mathématiques. S'agissant donc du soubassement de la logique mathématique formelle, il ne peut être construit à ce niveau sous peine de circularité, tout en nécessitant une théorie des ensembles. Il doit donc être développé sur un fondement intuitif, typiquement une théorie naïve des ensembles. Si cela vous intéresse, j'ai donné plus de détails sur le sujet et développé cette idée dans le sens d'une fondation alternative des mathématiques qui évite la logique formelle. C'est vulgarisé par exemple dans l'article de blog suivant : reglecompas.fr/theorie-naturelle-ensembles

@@mathesis-univers-mathematique Votre idée c'est qu'une théorie est une collection dénombrable d'énoncés. Un énoncé est donc "élément" d'une théorie. Il faut donc disposer au préalable des notions intuitives de collections dénombrables (ensembles) et de relation d'appartenance à une telle collection. Ai-je saisi votre pensée ?

My pleasure. I am delighted to see that this video is being followed by an English-speaking audience.

@@mathesis-univers-mathematique Pas natif, non :p

@@skit555 Je n'ai pas dit "native English--speaking" non plus ;)

Je suis en train d'en écrire un :) et je publierai prochainement une étude détaillée sur mon site internet. En attendant vous pouvez la trouver par exemple dans Henri Lemberg, 'Bien commencer ses études en mathématiques', un petit ouvrage bien écrit qui finit par cette construction. Attention toutefois : la preuve de complétude de l'objet R ainsi construit recèle une légère erreur de circularité; il faut démontrer en préambule que toute suite de Cauchy de rationnels converge vers sa classe d'équivalence. On trouve aussi la construction dans Lelong-Ferrand et Arnaudiès, 'Cours de mathématiques, Tome 2, Analyse', au chapitre I.

Merci. Pour l'instant je n'ai pas prévu de travailler des exos de type khôlle, la chaîne étant dédiée à l'exploration conceptuelle plutôt qu'à la technique. Mais qui sait, peut-être me mettrai-je à publier des exercices et problèmes résolus, c'est une bonne idée.

Thank you for your input. However, if I remember correctly Gödel's incompleteness result is valid for second order Peano's arithmetic as well (I should be able to find the reference, maybe in van Benthem's works).

Avec plaisir. Merci pour votre retour.

Merci ! Content de voir que certains apprécient l'expérience :) La Géométrie Différentielle Synthétique, c'est essentiellement une approche de la géométrie différentielle (théorie des courbes, surfaces, espace-temps...) qui s'appuie sur la géométrie algébrique (théorie des objets géométriques décrits par des systèmes d'équations algébriques) et la théorie des topos (univers d'objets mathématiques qui ressemblent à l'univers des ensembles), pour proposer une théorie basée sur des axiomes (synthétiques) plutôt que sur le calcul (analytique). Grâce aux concepts de la géométrie algébrique, on peut en effet représenter les phénomènes infinitésimaux qui apparaissent dans le calcul différentiel (les limites en un point d'une courbe, d'une surface ou de l'espace par exemple) de manière purement algébrique, comme des "infiniment petits" avec lesquels on peut calculer. La GDS propulse alors la GD dans un autre univers, où tous ses calculs et toutes ses constructions sont algébriques ! Il faut toutefois travailler avec la logique dite intuitionniste, la logique classique ne permettant pas (pour l'instant !) de manier cette théorie.

Peut-être qu'au contraire, d'autres spectateurs ont considéré que ce qui peut apparaître très complexe (l'infini) est en réalité assez simple (un ensemble est infini lorsqu'il garde la même taille si on lui enlève un élément)... 😀

@@mathesis-univers-mathematique Cela va de soi. En tout cas ça été gratifiant. Merci.

Merci, et félicitations. C'est normal, dans un exposé mathématique, de ne pas tout arriver à comprendre la première fois.

Merci. Peut-être dois-je faire un effort pour le son, mais j'ai du mal à comprendre comment sonne "le fond d'une canne".

Il n'y a pas de question naïve en mathématiques, c'est la science de l'évidence, où la difficulté réside dans la formulation rigoureuse des choses les plus simples. Vous avez bien raisonné ici, car la formulation est malheureuse : la décomposition est unique lorsqu'il ya *au plus* un facteur premier congru à 1 modulo 4, et qu'il apparaît alors avec l'exposant 1. Et on compte les décompositions dont l'un des carrés est 0, puisque ces décompositions sont essentiellement la norme d'un entier de Gauss.

Excellente question, qui a motivé le développement de la théorie algébrique des nombres modernes. Les ensembles de nombres où l'on traite ces questions en général sont appelés "'anneaux d'entiers de corps de nombres" : ce sont les clôtures intégrales de Z dans des corps extensions finies de Q. Tous ces anneaux ne sont pas factoriels (c'est-à-dire comme Z et Z[i]), et il a donc fallu inventer un concept commun, celui "d'anneau de Dedekind", qui les subsume tous. C'est dans ces anneaux qu'on généralise la notion de nombre premier, et puisque parfois les nombres premiers n'ont pas d'extension qui est un nombre, mais seulement un idéal, c'est en effet la notion "d'idéal premier non nul" qui généralise la notion de nombre premier dans un anneau de Dedekind, où ce sont en fait exactement les idéaux maximaux. La notion d'idéal a en fait été inventée pour cela, on appelait ça un "nombre idéal" du temps de Noether et Dedekind. Le théorème de factorisation des "nombres" trouve d'ailleurs dans ce contexte sa formulation la plus générale en termes d'idéaux, avec une décomposition cette fois-ci unique de tout idéal non nul en un produit de puissances d'idéaux premiers. Quant à la dernière question, un nombre premier qui reste un premier de Gauss est dit inerte. Les autres sont soit décomposés, soit ramifiés : voir par exemple "La ramification imaginaire des nombres premiers" sur mon blog : reglecompas.fr/ramification-imaginaire-nombres-premiers. Une version plus générale pour les extensions quadratiques est abordée dans "Entiers quadratiques et ramification des nombres premiers" : reglecompas.fr/anneaux-entiers-quadratiques-nombres-premiers. Ces notions s'étudient aussi en général dans les extensions d'anneaux de Dedekind, mais c'est plus difficile d'accès.

@@mathesis-univers-mathematique Merci beaucoup de cette réponse détaillée !

Oui, la factorisation n'est pas unique, mais dans l'exemple que vous donnez, on a b-ai=i(a+ib) et b+ai=i(a-ib) : la factorisation est unique à éléments inversibles près. C'est déjà le cas dans l'anneau Z des entiers relatifs, et en général dans tout anneau factoriel, de toute façon : quitte à multiplier les facteurs premiers par -1 on peu obtenir une autre factorisation.

Oui, tous les normes arithmétiques son multiplicatives. Voir 2:30

Si a,b,c sont trois nombres positifs tels que a²+b²=c² (c non nul), on a (a+b/c)²+(a-b/c)²=2(a²+b²)/c²=2, donc (a+b/c)² inférieur à 2, d'où a+b/c inférieur à rac(2).

Vous me semblez confondre axiomatisation et formalisation. Les anciens mathématiciens grecs (n'oubliez pas que Pythagore a paru avant Aristote et même avant Platon) avaient compris la nécessité des axiomes, car il faut partir d'une base qu'on ne peut démontrer. La formalisation vient plus tard, et quand je fais référence à la théorie des ensembles dans ces vidéos, c'est souvent justement au sens intuitif de Cantor. Mais le paradoxe de Russell apparaît même avec cette notion, et d'ailleurs Cantor le savait parfaitement, lui qui parlait de "pluralité inconsistance". Il est d'ailleurs l'auteur d'un paradoxe qui porte son nom et a trait à la pluralité de tous les cardinaux. D'ailleurs, pour disposer de "l'ensemble des entiers naturels" et en faire de l'arithmétique rigoureusement, il faut soit poser les axiomes de Peano, soit admettre l'axiome de l'infini avec une théorie axiomatique, même rudimentaire, des ensembles.

Merci beaucoup pour votre retour et vos encouragements ! Cela fait très plaisir d'avoir des avis positifs, et je suis content que ces cours vous soient profitables.

Merci ! Certains entiers naturels sont nécessaires pour formuler certains axiomes de la théorie naïve des ensembles (par exemple l'axiome de la paire dans ZF, conçue comme théorie informelle). Dans la théorie axiomatique des ensembles, les choses sont différentes puisque les axiomes (par exemple de ZF) sont des objets mathématiques, des formules du calcul des prédicats : vous n'avez alors pas besoin d'un concept d'entier naturel interne au langage pour écrire les axiomes. Mais : le calcul des prédicats présuppose une théorie naïve des ensembles, et donc à mon sens certains entiers naturels comme concepts primitifs, à défaut d'un concept de nombre entier naturel, (ce qui est autre chose). A moins qu'à l'aide de la conjonction logique "et", on puisse s'en passer, voir la discussion à ce sujet en commentaire de la réponse suivante sur Quora : fr.quora.com/La-math%C3%A9matique-est-elle-r%C3%A9ductible-%C3%A0-la-logique?q=les%20math%C3%A9matiques%20sont-elles%20r%C3%A9ductibles%20%C3%A0%20la%20logique

En effet, cela a été plus clair dans mon esprit avec les exemples.

Bonjour, merci pour votre commentaire. Vous faites ici une confusion. J'ai utilisé le verbe "dénombrer" ici au sens de "compter" (les éléments d'un ensemble fini), comme le contexte l'indique clairement. L'adjectif "dénombrable" signifie en général "équipotent à l'ensemble des entiers naturels", mais je ne l'ai pas utilisé ici. 😊 L'ambiguïté de la terminologie provient peut-être de l'anglais où "compter" se dit "enumerate", qu'on peut aussi traduire par "dénombrer", tandis que le "countable" qui dénote la puissance de l'ensemble N se traduit par "dénombrable". Mais lorsqu'on parle de "dénombrement" en combinatoire élémentaire, on parle bien de compter des ensembles finis. J'ajoute que c'est aussi le sens naturel de ce verbe...

@@mathesis-univers-mathematique salut , je voulais te dire que tu fais de superbes vidéos , c'est super de nous aider à comprendre ces concepts .... meme si je suis nul en mathematiques et que je comprends RIENZZZZ

C'est très bien dit, l'ensemble des nombres premiers est dénombrable. L'utilisation du terme dans le sense de fini c'est fausse. Merci d'accepter l'erreur.

Vous pouvez peut-être lire l'article complet sur le blog, donné en référence dans la description. Il est vrai qu'il ne s'agit pas d'un cours, et que l'explication détaillé demanderait plus de temps et de prérequis. Par contre, je ne vois pas pourquoi vous parlez de "nuancer" : la mathématique, comme science exacte, exclut précisément les nuances; je ne livre pas ici mon opinion sur les nombres rationnels.

@@mathesis-univers-mathematique Bonjour Mr, Nuancer dans le sens : Exprimer en tenant compte des différences les plus délicates…, on reste bien dans la vision d'une science exacte en nuançant mais comme vous dites il faut lire l'article complet sur le blog. Encore merci

Dans quel sens ?

Merci ! Vous pouvez trouvez une démonstration de la complétude de |R par inégalité triangulaire dans Henri Lemberg, "Bien commencer ses études supérieures en mathématiques". Une fois le principe de la construction compris, la complétude est quasiment une trivialité.