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C'est un peu cher 😅

Hélas ce n'est pas suffisant puisque cela montre exactement que pour tout x, on a f(x)=x ou f(x)=-x. Or, par exemple, la fonction f(x)=x si x>0, f(x)=-x si x<=0 ne vérifie pas l'équation fonctionnelle, alors qu'elle vérifie bien la condition ci-dessus.

@@lesmathsparseb8463 Analyse-synthèse. On vérifie après que les 2 solutions candidates vérifent bien l'équation fonctionnelle, ce qui est le cas.

@@jamesmarshall7756 Comme j'ai dit, tu montres que f peut valoir toutes les fonctions prenant la valeur x ou -x en x (il y en a une infinité indénombrable). C'est vrai, mais seules 2 de ces fonctions conviennent. Pour être plus formel, tu montres que si f est solution, alors il existe un sous-ensemble E de R tel que f(x)=x si x est dans E et f(x)=-x si x n'est pas dans E. Or, toutes les fonctions de cette forme ne vérifient pas l'équation fonctionnelle (comme l'exemple que j'ai donné). En fait, dans ton raisonnement, le signe de f(x) dépend de x. On peut avoir f(1)=1 et f(2)=-2.

Oui tu as raison.

Ok c est bon mais je pense qu'il y avait pas besoin de faire aussi compliqué: u_n s'écrit comme une somme de termes dont le premier et le dernier terme valent 1, ainsi il suffit de montrer que les termes à l'interieur tendent vers 0, le deuxieme et avant dernier termes sont 1/n, et pour les autres termes on peut utiliser C(k,n) >= C(2,n)= n(n-1)/2 par variations des coefficients binomiaux. Ainsi le reste de l'interieur de la somme est majoré par un A/n^2 (A independant de k) que l'on somme n fois donc tend vers 0. En conclusion ca tend vers 2.

c'est une démo qui prend 1 ligne

En optimisation par exemple. Donc ça a des conséquences directes en finance. C'est un exemple parmi tant d'autres.

Oui, c'est très joli 🙂 Merci à toi !

Salut, master de maths

Effectivement, c'est très proche de la solution de octavekoenig, et même la tienne est lycée-friendly. Les avantages de cette relation de récurrence, c'est quelle permet de déterminer le sens de variation de la suite mais aussi de donner une formule explicite de celle-ci (en fonction de la somme harmonique). EDIT : en fait, ça n'a pas l'air facile de déterminer une forme explicite, néanmoins cette relation permet d'établir un algorithme significativement plus efficace que l'algorithme naïf.

😂😅

En fait, il ne s'agit pas d'une série ici puisque les termes de la somme dépendent de n et de k. Comment comptes-tu majorer cette somme d'ailleurs ?

C’est justement la dépendance en n qui nécessite l’emploi du th de convergence dominée. Une fois que tu as enlevé les deux premiers et les deux derniers termes tu peux dominer 1/(k parmi n) par 1/(k parmi k+2).

@@octavekoenig8597 mmh j'ai du mal à voir où est ta CVD dans ta méthode (qui a l'air très intéressante). Si j'ai bien compris, tu majores cette somme par 2 + 2/n + la série des 2/(k+1)(k+2) qui converge... Mais après qu'est-ce que tu fais ? On peut pas dire que notre somme converge même avec cette majoration, puisque à l'inverse des séries à termes positifs, on n'a même pas la stricte croissance par exemple. Et comment tu calculerais la valeur de la limite avec cette méthode ?

Ah oups je crois qu’on s’est mal compris, tu dois confondre convergence dominée et limite monotone. La convergence dominée c’est un théorème de deuxième année de prépa. Je pensais que c’était une chaîne de maths de prépa, au temps pour moi.

@@octavekoenig8597 ah j'ai compris. Tu utilises en fait le cas particulier (et rare ?) de CVD pour la mesure de comptage ou pour la mesure de Lebesgue avec la suite u_n(x) = 1/(int(x) parmi n) qui cvs vers 0. On voit cette version en première ou deuxième année suivant les prépas effectivement. Cette chaîne est pour tous les niveaux, pendant et après le lycée. Si tu as des exos d'oraux intéressants, je suis preneur.

Ok j'essaierai de plus articuler à l'avenir. Merci pour le retour !

Je l'ai résolu seul effectivement. A force de faire des exos de maths olympiques, on acquiert des réflexes qui permettent de résoudre des "exos à astuces" comme celui-ci (d'ailleurs, il y en a d'autres du même type sur ma chaîne). Ce sont des exos qui demandent beaucoup de temps au début puisque l'astuce est pas facile à trouver, mais c'est comme tout : à force d'entraînement, c'est plus facile et plus rapide de trouver la solution (puisque justement on est à l'aise les techniques de calcul requises). Donc, si tu veux t'entraîner en maths olympiques, je te conseille le site mathraining qui est une plateforme exceptionnelle (je la recommande à tout le monde, peu importe le niveau, collège, lycée, prépa, université, école et même après !). Ca aide notamment en mathématiques scolaires, indépendamment du niveau. Merci pour le retour !

Il y a différents théorèmes de Fubini. Avec des sommes, avec des intégrales, mais aussi celui plus général sur certaines mesures. Toi tu aimerais un exo sur le théorème de Fubini pour des sommes ?

D'accord, merci pour le retour, j'essaierai de faire attention (mais ce Soleil est imprévisible...)

Entendu, merci. Je n'utilise que du noir à présent.

?

Noyau réduit à 0 !

donc injective (et donc surjective car c'est en dimension 3) donc application linéaire bijective c'est un isomorphisme. Une base de l'image est l'ensemble des vecteurs formés des colonnes de la matrice (déterminant forcément non nul car le noyau est réduit à 0)