Видео

대우 증명법과 귀류법의 맥을 잘 이해한 것 같아 매우 기쁩니다. 귀류법의 모순은 계속 이어지는 연역구조에서 앞 부분에 있는 어떤 명제에 대해서 모순이 되면 성립합니다.

예, 맞습니다. 대학에서도 아마 고급물리학 시간에 다루는 내용일 겁니다. 강의의 구성을 기초부터 전공 공부하기 전까지로 두기 때문에 마지막 내용에 대학 물리학 내용이 일부 들어가게 되었습니다. 살아가는데 모든 것을 다 알 필요가 없듯이 동영상 내용도 그러합니다. 너무 개의치 마시고 가볍게 듣거나 지나가셔도 무방할 것입니다. 이 채널을 방문하신 것만으로도 과학에 대한 관심이 많은 것을 알 수 있습니다. 유튜브에는 이보다 어려운 내용도 아주 많고 더 좋은 강의도 많습니다. 이 채널에서는 기초적인 내용을 논리적이고 체계적으로 익힐 수 있으니 나름 성과를 얻으시길 바랍니다.

격려의 말씀에 감사드립니다.

격려에 감사드립니다. 재미로 보는 동영상이 아니니, 집중하여 생각하면서 공부하는 것에 접근하기가 쉽지 않은 것 같습니다. 유튜브 알고리즘이 구독수와 조회수, 좋아요 등에 따라 노출 정도가 정해진다고 하니 숫자가 올라가는데 시간이 오래 걸리겠습니다. 그래도 지치지 않고 계획한 강의는 모두 올리려고 합니다. 이공계의 발전에 조금이라도 도움이 되면 다행이라고 생각합니다.

도움이 되셨다니 다행입니다. 감사합니다.

도움이 되셨다니 다행입니다. 감사합니다.

좋은 질문과 참고 영상을 보내주셔서 감사합니다. 참고 영상에서 "학교 수학"의 개념과 '교수학적 변환'이 있다는 것을 알았는데, 교사들의 수고가 새삼 느껴집니다. 질문에 대해서 눙지과학교실의 입장에서 답변을 드리도록 하겠습니다. 참고 영상에 나온 초등 4학년의 질문은 정당합니다. 그리고 그것을 제대로 설명하는 것이 쉽지 않습니다. 무정의 용어를 도입하여 피해 갈 수도 있지만, 영상에 나온 내용에서 답을 찾을 수 있습니다. 평면을 무한이 켜켜이 쌓아도 입체가 되지 않습니다. 평면이 쌓이면 그냥 평면이 쌓여 있는 것입니다. 수로 비유하면 그냥 유리수가 무한이 놓여 있는 것이지요(이산무한). 하지만 평면이 쌓이지 않고 (무한)연속으로 움직이면 그 자취가 입체를 만들어 냅니다. 마찬가지로 점이 (무한)연속으로 움직이면 그 자취가 선이 됩니다. 선이 선의 방향과 다른 방향으로 (무한)연속으로 움직이면 면을 만듭니다. 여기서 이해해야 하는 것은 기하학(수학)은 유클리드 때부터 추상적인 학문이었습니다. 머리 안에 있는 기하의 세계를 현실 세계에 적용하여(Mapping) 실용적인 도구로 사용합니다. 실제의 공간이 어떠한지 명확하지 않은데, 등방성과 균질성을 갖춘 무한 연속 공간(유클리드 공간)일 수도 있고, 비유클리드 공간일 수도 있습니다. 실제 공간이 어떻든 변하지 않는 속성은 무한연속 또는 연속무한이라는 것입니다. 점이 움직일 때 실수 같은 연속무한의 성질이 반영되어 선과 면과 공간을 형성하게 됩니다. 그러므로 선의 생성과 면의 생성, 공간의 생성을 설명하기 위해서는 먼저 연속무한과 무한연속을 이해하고 설명하여야 하는데 쉽지 않습니다. 그래서 연속무한이 관여하면 대부분의 경우에 직관으로 받아들이고 지나가지요. 미적분은 연속무한을 전재로 한 수학이라고 할 수 있습니다. 연속무한에 대해선 차후에 기회가 있으면 한번 살펴보도록 하겠습니다. 감사합니다.

@@sciencelecture @sciencelecture 실은 제가 미술전공입니다. 입체의 개념을 그림으로 쉽게 표현하기위해 아이들한테 면의 이동, 면의 회전으로 알려줍니다. 그 예로 종이의 쌓임이나 드릴로 평면을 회전시켜서 말이죠. 이거를 수학의 정의와 접목을 시키려니 그 간극이 잘 좁혀지지 않아 질문을 드린겁니다. 댓글 중에 수학은 추상의 학문이라는 부분에서 힌트를 얻었습니다. 미술은 눈으로 인지할 수 있는 현상과 물질을 다루기에, 이 둘 사이에서 오는 관점의 괴리가 있었나 봅니다. 그렇다면 선생님께서 미술에서 보는 입체와 수학에서 보는 입체의 차이를 어떻게 생각하시나요? 자꾸 생각의 꼬리를 물지만 바쁘실텐데 이걸로 마지막 질문을 해보겠습니다^^;;

사물을 보는 관점은 주체의 성격에 따라 다르다고 생각합니다. 수학에선 입체도 논리 위에서 구축한 구조물이므로 달리 생각할 여지가 없다고 하겠습니다. 잘 모르지만 미술은 미를 추구하는 주체로서 시각을 통해 입체의 미를 탐구하고 드러내는 작업을 한다고 생각합니다. 미를 추구하더라도 수학에서 규정한 기본 추상성은 바탕이 되어 있어야 하겠지요.

@@sciencelecture 답변 감사합니다^^ 이데아라는 개념을 두고 플라톤과 아리스토텔레스의 견해라 비슷하면서도 다르듯이 입체라는 것을 수학과 미술이라는 주체가 어떻게 바라보고 추구하느냐의 차이라고 생각이 듭니다. 질문에 성심성의껏 답변해주셔서 정말 감사합니다!!

안녕하세요? 오늘 올린 동영상 " 곡선 도형의 넓이 구하기"가 선생님에게 참고가 될 것 같아서 알려드립니다. 이 동영상에서 어떻게 점이 연속인 선을 만들고, 또 선이 어떻게 면을 만들고, 또 면이 어떻게 입체를 만드는지 그 원리를 설명하였습니다. 내용이 다분히 철학적이라 기초 강의에서는 다루지 않으려고 하였는데, 선생님의 댓글을 보고 마지막 동영상에 포함했습니다. 댓글에 인용한 "평면이 쌓이면 입체가 된다."는 초4의 질문에 대한 동영상을 올린 선생님에게도 참고가 될 것 같으면 그 분에게도 소개해 주셔도 좋겠습니다.

도움이 되셨다니 다행입니다. 아주 기쁩니다.

기쁩니다. 댓글 격려에 감사드립니다.

아주 좋은 깨침입니다. 계속 앞으로 나아가 보세요. 더 큰 안목을 얻게 될 것입니다. 응원하겠습니다.

또한 제가 이해를 하지 못하고 혼자 고민했던 대부분의 것들이 공리나 정의를 제대로 공부하지 못했기 때문이라는게 지나간 시간이 너무 아깝기도 하고 그러네요.. 어릴때 열심히 공부할걸 그랬어요 참

깨침 속에서 진전이 있는 것 같아 아주 기쁩니다. 기초를 잘 다지면 그 다음 공정은 어려움 없이 순리대로 이루어집니다.

요즘 바빠서 못듣다가 오늘은 버스타면서라도 듣습니다 ㅋㅋ

개설자에게는 힘이 되는 말씀입니다. 응원합니다.

좌변과 우변이 모두 동류항+~ 이 말이 좀 이상한것같기도 한데.. 여튼 둘 다 인수분해를 풀어서 내림차순으로 나열하였을때 순서대로 모든 항들의 모양이(문자수와 숫자) 동일하다 라는 의미입니다!

𝑃(𝑥)=𝑎_𝑛 𝑥^𝑛+𝑎_(𝑛−1) 𝑥^(𝑛−1)+⋯+𝑎_2 𝑥^2+𝑎_1 𝑥+𝑎_0이고 𝑄(𝑥)=𝑏_𝑛 𝑥^𝑛+𝑏_(𝑛−1) 𝑥^(𝑛−1)+⋯+𝑏_2 𝑥^2+𝑏_1 𝑥+𝑏_0라면 𝑃(𝑥)=𝑄(𝑥)는 우변을 이항하여 식을 정리하면 𝑃(𝑥) - 𝑄(𝑥)=(𝑎_𝑛- 𝑏_𝑛)𝑥^𝑛+(𝑎_(𝑛−1)-𝑏_(𝑛−1)) 𝑥^(𝑛−1)+⋯+(𝑎_2-𝑏_2 ) 𝑥^2+(𝑎_1-𝑏_1) 𝑥+(𝑎_0-𝑏_0)=0이 됩니다. 이 식이 x에 대해서 항등식이 되기 위해서는 모든 계수가 0이 되어야 하므로 𝑎_𝑖=𝑏_𝑖가 됩니다. 계수가 0이 되어야 항등식이 되는 근거는 ax=b라는 식이 항등식이 되기 위해서는 a=0이고 b=0이 되는 부정의 경우가 된다는 것을 이해하면 되겠습니다. 변수가 하나 이상인 경우의 항등식은 항등식이 되는 변수 외의 변수는 상수로 취급하여 항등 조건을 적용하면 됩니다.

물론 지수가 음수일 때는 근호 안의 수가 음수이어도 성립합니다. 앞 페이지에서 나온 3제곱근 -27= -3이지요.

기호는 약속이므로 임의로 만들수가 있습니다. 기호의 기능 중에서 다른 사람과 소통하는 기능이 중요한데, 자신이 만든 기호로 소통이 안 된다면 만들 필요가 줄어들겠지요. 현재 소통이 잘 되는 많은 사람이 알아보는 기호는 인도 아라비아 숫자이지요. 이 숫자는 만국 공통 언어(기호)입니다.

@@sciencelecture 저의 질문들에 답변남겨주시는것 큰 도움이 되었습니다. 감사합니다!

아주 좋습니다. 열심히 하시고 언제든 질문하세요.

곱셈 연산은 실수 집합에서 닫혀 있습니다. 그리고 실수에서 역원은 역수로 표현됩니다. 그러므로 실수인 무리수의 분수표현은 가능합니다. 무리수의 지수 표현은 아래 동영상을 참고하세요. ruclips.net/video/hPYpu5yDQ_g/видео.html

생활속에서 수학이 너무 많이 쓰이니까 이 내용이 저에겐 이해가 어렵네요

수의 대소 기능은 수가 가지는 성질을 생활 속에서 적용하여 유용하게 사용하는 것입니다. 실용적인 수학이 되지요. 말씀하신 대로 애초에 수의 대소를 수직선의 왼쪽이 크다고 정의하였다면, 3개가 5개보다 작다고 얘기하면서 실제 감각은 5개가 3개보다 크지요. 그러므로 이런 혼란을 피하는 것이 필요하므로, 대소의 정의를 오른쪽이 크다로 하는 것이지요. 그렇지 않으면 크다 작다는 정의를 다시 하는 방법도 있습니다.

@@sciencelecture감사합니다. 그런데 좌표평면을 배우고 수직선에대해 다시 생각하게되어 또 질문이 생겨서요.. 2차원 좌표평면은 두개의 수직선을 직교시켜서 만들고, 3차원은 수직선 세개를 각각 직교시켜서 만든다고 하였습니다. 그런데 3차원은 부호에대한 언급(엑스,와이축은 반시계방향이 양의방향) 이있는데 2차원 좌표평면은 부호에 대한 언급이 없는것 같아서요.. 엑스축(축 이름은 마음대로 바꿔도될것같기는한데..보통 내가 보기에 가로로 놓인축) 은 수직선과 방향이 같나요? 사실 제가 학창시절에 도형의 평행이동단원을 잘 이해를 못해서 혼자서 수직선을 마음대로 바꿔보고.. 또 그래프의 대칭이동도 축을 바꿔보고 그런 제대로 알지못하는 상황에서 여러 시도를 해보다가 머리속에서 섞인 후 수학공부를 안하다보니 커서도 이해가 잘 안가네요..ㅠ 그러니까 좌표평면에 부호 방향이 정해져있는가? / 수직선 오른쪽이 큰 방향이라고 하였는데 수직선과 축이 헷갈려서 화살표 방향을 왼쪽으로 한 엑스축은 커지는 방향이 왼쪽인데 이렇게 축을 그려도 되는가? 입니다

1차원 공간인 직선은 숫자 1개로 표현할 수 있습니다. 수직선이지요. 2차원 평면은 1차원에서 더해진 차원을 표현하기 위해 다른 숫자 1개가 필요하여 결론적으로 숫자 2개가 있으면 평면을 표현할 수 있습니다. 같은 원리로 3차원 공간은 숫자 3개가 필요하고, 각각의 차원에서 숫자를 표현하는 수직선을 축이라고 합니다. 3차원 공간에서 축의 위치와 방향은 미리 순서를 정해서 약속을 해 두었습니다. 대소를 약속한 것과 같습니다. 1차원, 2차원, 3차원 축의 순서로 표현하고, 축의 양과 음의 방향은 왼쪽나사법칙을 적용하여 왼쪽나사 법칙에 맞는 방향이 양의 방향이 됩니다. 그러므로 3차원 직교좌표계에서 어느 축을 x로 하던 문제가 없습니다. 좌표계에 대해서는 벡터 동영상을 참고하시기를 바랍니다.

예, 조그만 어려움이 있더라도 계속하다 보면 저절로 알게 되는 순간이 오므로 멈추지 마시기를 바랍니다.

7:18

쉽지 않은 내용인데, 도움이 되었다니 아주 기쁩니다.

도움이 되었다니 기쁩니다.

그리고, 각이라는것은 60분법으로 표시된 정해진 게(단위길이와 다르게 마음대로 정할수없는..) 있고 그걸 추상적인 수로 나타내는게 호도법이라는 건가요?

수학에서 다루는 수는 cm, m 같은 단위가 없습니다. 그저 1이지요. 1이 정해지면 실수를 이용하여 수를 연속적으로 표현하게 됩니다. 그러므로 넓이도 그저 1을 정해야 하는데, 길이 1에 근거하여 길이가 1인 정사각형을 기준으로 정한 것입니다. 이것은 일종의 약속입니다. 길이가 2인 정사각형의 넓이를 1로 정할 수도 있는데, 뛰어난 수학자가 헷갈리는 방식으로 정의하지는 않겠지요. 부피도 똑같은 구조입니다. 만약 필요하다면 또다른 1을 정힐 수도 있습니다. 모든 것이 정의이고 약속입니다. 각에 대한 질문도 여기서 답을 하면, 각도 수학의 대상으로 수로 표현할 수 있습니다. 그런데 각은 도형이라 어쩔 수 없이 길이를 이용하게 되는데, 길이가 가지고 있는 실세계의 속성을 지우기 위해 분수를 이용하여 호도법을 도입하였다고 이해하면 되겠습니다.

아래 동영상을 참조하세요. ruclips.net/video/PQclzdTD6uI/видео.html

정말 어렵기도 하고 헷갈리는 내용입니다. 한 번씩은 똑같은 질문을 하게 되는 것 같습니다. 일반적으로 말씀드리면 수학을 구성하고 있는 길고도 긴 연역구조에서 가정에 해당하는 P는 이미 참으로 알고 있는 정리에서 시작해도 전혀 문제가 없습니다. 이번 명제는 공교롭게도 앞의 명제와 뒤의 명제가 선후의 관계에 있어서 순서를 그르치면 연역구조가 깨지므로 잘못된 증명이 된다고 이해하시면 되겠습니다.

동위각과 엇각의 위치에 있는 한 쌍의 각이 같으면 나머지 동위각과 엇각의 위치에 있는 3쌍의 각이 같아지는데, 직관으로 이해하기보다는 증명과정을 따라가면서 저절로 이해되도록 하는 것이 좋겠습니다.

⁠@@sciencelecture감사합니다. 한쌍의 각의 크기가 같으면 나머지 세쌍이같다는것은 평행할때만 성립하는것 같은데 왜 증명전에 이걸 알고 이걸 토대로 증명하시는걸까요? 아니면 평행할때만 성립하는게아닌가요..? 평행할때만 동위각 엇각 그려봐서 아무리 해도 평행하지않은데 한쌍이 같은게 안그려지는것같아요(제 머리로는)

물론 2직각이 아닌 경우는 2직각보다 크거나 작은 두가지 경우가 있습니다. 명제가 같은 쪽의 각의 합이 2직각보다 작은 경우를 규정하고 있습니다. 한쪽이 2직각보다 작으면 다른 쪽은 2직각보다 크겠습니다. 그러므로 명제의 대우는 크거나 작은 경우를 모두 부정하므로 2직각이면이 됩니다.

갑자기 몸이 불편하여 23일부터 병원에 입원을 하여 답이 늦었습니다. 사실 저도 뭐가 맞는지, 우주의 생성과 변화는 어떻게 이루어지는지 탐구하다가 오늘에 와 있습니다. 적지 않은 나이이신데, 늦더라도 끊기지 말고 쉬엄쉬엄 끝까지 가보시기 바랍니다. 진리를 찾는 선생님의 여정을 적극 후원합니다.

30:16 이런 부분에 감사합니다 ㅎㅎ

쉽지 않은 내용인데 도움이 되었다니 다행이고 기쁩니다. 계속 정진해보세요.

계속 나아가 보세요.

도움이 되셨다니 아주 기쁩니다. 대충하지 않고 같은 고민을 한 결과이겠지요.

좋습니다.

예를 들어 설명해 보겠습니다. 유클리드 기하 공간은 어느 곳이든 성질이 같고(균질성), 어느 방향이든지 차이가 없는(등방성) 공간입니다. 그러므로 우리가 유클리드 기하학에서 배우는 도형의 성질은 균질성과 등방성을 가지고 있습니다. 이같은 성질은 추상성이 뒤받쳐주고 있지요. 그런데 실세계 공간은 균질하지도 않고 등방성도 가지지 않습니다. 하지만 그 차이가 의미 있을 만큼 크지 않아서, 없는 것으로 근사하는 것이지요. 예를 들어 지표면의 상태가 고르지 않고 심지어 곡면이지만 좁은 범위에서는 그 차이가 미미하므로 평면으로 근사하여서 땅의 크기를 재고 있는 것을 생각해 보시기 바랍니다.

​@@sciencelecture 수학, 과학이라는 학문이 실세계 공간을 완벽하게 설명하지 못해도 지금까지 큰 문제가 없었기에 계속 사용되는 것이군요... 그렇다면 수학자 그리고 과학자는 근사적인 것에 대한 불안감을 항상 안고 사는 건가요? 예를 들면 우주로 보낼 로켓을 만들어야 하는데, "우주에서는 근사적인 것이 문제가 될 수도 있지 않나?" 라는 고민 같은 것을 항상 안고 사나요? 항상 감사합니다.

계속 나아가세요!

추상의 힘입니다.

아주 좋습니다. 끝까지 이어가 보세요.

​@@sciencelecture 넵!

(2)에서는 PA와 PB가 같습니다. 그리고 "그게" 가 가리키는 대상이 명확하지 않아 질문을 이해하기 어려우므로 다시 해 주시기 바랍니다.

도움이 되어서 기쁩니다.

아주 어렵지만 중요한 질문입니다. 수학은 100% 추상적인 지식체계를 가지고 있습니다. 그 추상성은 정의와 공리 위에 연역적인 방법으로 구축되어 있습니다. 그런데 자연 현상을 연구하는 과학자는 이같은 추상적인 수학을 이용하여 연구를 하고 있고, 오늘날의 과학기술을 발전시켰습니다. 자연체계 또는 자연세계를 근사하여 수학의 체계에 대응시키는 방법으로 자연을 수학으로 이해하는 것입니다. 예를 들어서 자연(우주)의 변화는 수학 공간(유클리드 공간이든 구면 공간이든)을 우주에 맞추고 미분이라는 수학을 이용하여 이해하는 것이지요. 그러므로 가설을 세우고 모델링을 잘 하는 것이 중요합니다. 그리고 자연현상을 이해하는데 논리체계는 수학을 이용하지만, 명제의 참은 귀납적으로 확인합니다. 귀납적으로 확인된 명제는 연역적으로 증명을 하지 않아도 됩니다. 설명이 쉽지 않은데, 여유를 가지고 천천히 생각해 보기 바랍니다.

선생님 정말 감사합니다. 정말 신기하고 재밌습니다.

깊이 있는 공부와 사유를 높게 평가합니다. 2번부터 먼저 답하도록 하겠습니다. 차이가 있고 없고의 판단은 인간이 하는 것입니다. 있다는 것(존재)과 살아가는 것(생명과 삶)과 아는 것(앎)은 인간이 주체가 될 때 의미를 가지는 것입니다. 인간의 인식체계 밖에 있는 것은 인간에게는 의미가 없는 것입니다. 인류가 지구에 나타나기 전의 우주는, 존재하지도 않았던 인간에게는 의미가 없다고 하겠습니다. 1번 질문에서, "차이가 없으면 존재하지 않는다."라는 것은 개별 개체의 존재를 의미합니다. 여러 마리의 원숭이가 있더라도 모두 “똑 같다”면 각각의 개체를 구분할 수 없으므로 원숭이만 존재합니다. 물론 개별 원숭이는 그 경계가 있으므로(주위와 차이가 있으므로) 개체로서 존재할 수 있습니다. 원숭이가 없어지는 것은 아닙니다.

​@@sciencelecture 어렵지만 생각하는 것 그 자체만으로도 재밌네요. 답변해주셔서 감사합니다.

안다는 것이 무엇인가? 하는 내용은 쉽지 않은 근본적인 질문에 해당합니다. 항상 명제가 맞는지 맞는다면 어떻게 맞는지 확인하는 습관을 기르도록 해보세요.

주어진 명제가 참인 것을 증명하는 방법에는 연역법과 귀납법 모두를 적용해 볼 수 있습니다. "눙지과학교실의 강의는 훌륭하다."는 명제를 연역법으로 증명하기 위해서는 먼저 훌륭하다는 판단근거가 명확하여야 합니다. 그렇지 않으면 P이면 Q이다라는 논리구조를 적용할 수가 없기 때문입니다. A의 P와 B의 P가 내용이 다르면 하나의 명제가 아니라 서로 다른 명제를 두고 다투는 것이라고 할 수 있습니다. 또 판단근거의 내용은 뒤로 하고, 주관적으로 “모든” 사람이 훌륭하다고 선언한다면 귀납적으로 참인 명제가 되지만, 이후에 한 사람이라도 생각을 바꾸거나 달나라에 가 있어서 의견을 말하지 못한 우주인이 달에서 돌아와 아니라고 말하면 거짓이 되는 것입니다. 하지만 이런 예는 허망한 것이므로 처음부터 거짓으로 판단하는 것입니다.

​@@sciencelecture 자세하게 설명해 주셔서 감사합니다.

아주 좋은 질문입니다. 귀납법으로 참이라고 증명된 명제는 일반화의 비약 과정을 반드시 거쳐야 합니다. 모든 경우를 다 확인할 수가 없으므로 충분히 검증이 되었다고 생각되는 선에서 참으로 받아들입니다. 이렇게 참으로 받아들인 명제는 미래에 언제든지 거짓이 될 수 있는 한계를 가지고 있습니다. 귀납법으로 증명된 참인 명제를 미래에 거짓으로 만드는 것은 반례입니다. 그러므로 어떤 명제가 참일 때도 있고 거짓일 때도 있는 것이 아니라 반례가 나오기 전까지는 참이고, 반례가 나온 다음에는 거짓이 되는 것입니다. 예를 들어 귀납적으로 증명된 뉴턴 역학이 200년 이상 참이었지만, 아인슈타인이 특수상대성이론을 발표함으로써 거짓이 되었습니다. 지금도 뉴턴역학이 아주 유용하므로 학교에서 열심히 배우고 있지만, 계의 속도가 아주 빠르지 않은 상태에서 근사적으로 참인 내용으로 배우는 것입니다.

​@@sciencelecture 자세하게 설명해 주셔서 감사합니다. 그런데 "반례가 나온 다음에는 명제가 거짓이 된다."라는 부분이 잘 이해가 되지 않습니다. 제가 어느 부분에서 잘못 생각하고 있는 건가요? "백조는 희다."라는 문장은 반례인 검은백조가 발견되기 전까지는 귀납법에 의해 참인 명제로 인정됩니다. 만약 검은백조가 발견된다면 발견된 모든 백조가 모두 흰 것은 아니므로 "백조는 희다."라는 문장은 참이 아니게 됩니다. 이때, 발견된 모든 백조가 모두 희지 않은 것도 아니므로 "백조는 희다."라는 문장은 거짓인 문장도 아닙니다. 결국 "백조는 희다."라는 문장은 참(흰 백조)인 경우도 있고, 거짓(검은 백조)인 경우도 있기 때문에 명제가 아닙니다. 이러한 경우에는 반례에 의해 거짓인 명제가 되는 것이 아닌, 명제가 아니게 되지 않나요?

좋은 질문입니다. 명제에는 명제가 규정하는 대상 또는 영역이 있습니다. 말씀하신 명제에서는 백조이고, 수를 다루는 수학에서는 집합으로 표현합니다. 덧셈 연산을 할 때 정수 집합에서 할 수도 있고 실수 집합에서도 할 수 있는데, 정수 실수 등이 영역입니다. “백조는 희다”라는 명제에서는 영역을 명확하게 표현하지 않았지만 모든 백조를 영역으로 받아들이고 있습니다. 만약 영역을 명확하게 하려고 하면 영역을 한정하는 한정사를 사용하여야 합니다. 대표적인 한정사는 모든(all)과 어떤 하나(one, a)가 있습니다. 그러므로 검은 백조가 발견된 상태에서는, ‘백조는 희다“ 또는 ”모든 백조는 희다“라는 명제는 거짓입니다. 한정사의 관계는 부정 연산을 하면 선명하게 드러납니다. ”모든 백조는 희다.”가 거짓이므로 이를 부정하면 참이 됩니다. 그러므로 부정 명제인 “어떤 백조는 희지 않다.”도 참이 되지요. 그러므로 흰 백조도 참이고 검은 백조도 참인 모순 관계는 성립하지 않습니다. 한정사를 사용하면 모순을 해결할 수 있습니다. 미적분과 통계가 끝나면 집합과 명제도 강의할 계획이지만 많이 늦어질 것 같으므로 의문이 있으면 언제든지 말씀하세요.

​@@sciencelecture 대상의 영역을 명확하게 표현하지 않으면 모든 대상이라고 받아들여야 하는군요. 언어는 사람들의 약속들로 이루어져 있는 것인데 저 혼자 이상하게 생각을 했네요... 가르쳐 주셔서 감사합니다. 궁금한 것이 생기면 질문하러 오겠습니다!

아페이론이 최강(?) 이라고 높이 평가하였는데, 아페이론이 절대적으로 옳은 것은 아니지요. 인류 역사에서 보면 2600년 전에 그리스에서 살았던 한 사람이 세상을 이해한 방식이지만, 만물의 근원을 추상체(이름이 아페이론)에서 찾았다는 것은 엄청난 발전을 이룬 것이라고 하겠습니다. 뉴빅뱅이론에서 설명한 한알을 구성하는 한알소도 아페이론으로 이해할 수도 있겠습니다.