Видео

Семинар проходит в корпусе НИУ ВШЭ на Покровском бульваре, 11. Подробную информацию можно найти на странице семинара: cs.hse.ru/latg/seminar.

Здравствуйте! Вы имеете в виду алгебру многочленов Q[x₁,…,xₙ] или поле частных Q(x₁,…,xₙ)? В первом случае достаточно рассмотреть автоморфизмы вида xₖ↦xₖ+a, а во втором, помимо этого, можно применить теорию Галуа.

@@AlexanderPerepechko Ну это я как раз-таки именно теорию Галуа и пытался вывести, но на этом застопорился. Долго думал, но так и не смог доказать. Вроде бы помню, что из этого следует, что любой многочлен с группой симметрии G(группа Галуа данного многочлена) будет иметь рациональное значение. А до этого момента вся теория Галуа мною была самостоятельно постигнута, потому что она простая и без технических сложностей: 1)Для разрешимости необходимо, чтобы группа полностью раскладывалась на цепочку циклических фактор-групп 2)Между сопряженными алгебраическими числами существует симметрия. 3)А поле расширения - совсем легко: фактор-кольцо многочленов по данному многочлену. И остаётся по сути только одно это недостающее звено. С ним, я думаю, я мог бы легко простыми словами полностью кратко и доступно описать теорию Галуа с полной мотивацией и с естественным ходом мысли.

@@AlexanderPerepechko xk -> xk+ a - это как? Можно чуть подробнее намекнуть? Вроде я выводил, что для поля расширения рациональных чисел автоморфизмом может быть только перестановка иксов. Просто я реально долгими месяцами думал как это доказать, но не смог. Это неочевидная штука Для симметрических многочленов это легко доказать с помощью сумм степеней всех иксов. Но это не элегантно. А вот если группа Галуа меньше полной, то это не работает, и, видимо, прокатывает только чистое, элегантное, чисто-алгебраическое доказательство

@@jaqatil Возьмите автоморфизм, прибавляющий к одной из переменных x_1..x_n константу, а остальные переменные переводящий в себя. Проверьте, что никакой многочлен, отличный от константы, не переходит в себя относительно всех таких преобразований.

@@AlexanderPerepechko Но это же не будет автоморфизмом. Потому что P(x_k) = 0, но P(x_k + a) не обязан. Я именно в смысле поля корней уравнения. Именно хочу доказать, что у любого нерационального числа есть автоморфизм, который переводит его в другое. Например, 10+3√2 переходит в 10-3√2